Đếm số lần xuất hiện và tổng số lần thử

Xác suất thực nghiệm bằng phân số · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-46-B1

Sau bài này, em có thể:

• Đếm sự kiện theo từng lượt và điều kiện đã chọn.
• Chọn tử và mẫu từ cùng đợt quan sát.
• Phân biệt lượt dự kiến, lượt hợp lệ và ô chưa phân loại.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Bảng giả định gồm $S,N,S,N,S$. Nếu sự kiện là “ra $S$”, ta đánh dấu các lượt $1,3,5$: có ba lần sự kiện xảy ra trong năm lượt hợp lệ. Số $3$ và số $5$ phải đi cùng nhau khi mô tả đợt này; không lấy một số từ bảng khác.

Mỗi dòng hợp lệ đóng góp một lượt vào tổng, dù sự kiện có xảy ra hay không. Một dòng dự kiến còn trống chưa đóng góp lượt đã quan sát; một dòng chưa đọc được cần được kiểm lại, không tự gán cho một kết quả.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Đếm từ vị trí

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Dãy giả định S, N, S, N, S có mấy lần S trong bao nhiêu lượt?

Bắt đầu từ đâu?

Đếm vị trí rồi kiểm độ dài dãy.

Gợi ý để em tự tìm

Các vị trí 1,3,5 mang S.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $S$ ở $1,3,5$ nên có $k=3$ lần; dãy có $T=5$ vị trí.

2. Ba lượt có $S$ và hai lượt có $N$ cho tổng $3+2=5$, khớp số lượt.

Tự kiểm

Tổng gồm cả lượt sự kiện không xảy ra.

Ví dụ 2. Sự kiện nhận nhiều nhãn

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Dãy xúc xắc giả định 2, 5, 4, 1, 6, 2. Đếm sự kiện “ra số chẵn” và tổng lượt.

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm chẵn ở từng vị trí, không chỉ đếm một số cụ thể.

Gợi ý để em tự tìm

2,4,6 đều làm sự kiện xảy ra.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các lượt $1,3,5,6$ lần lượt ra $2,4,6,2$, đều chẵn; có $k=4$ lần sự kiện.

2. Tổng dãy có $T=6$ lượt. Kết quả $2$ lặp ở hai vị trí phải tính hai lần xuất hiện.

Tự kiểm

Số nhãn chẵn có thể là ba, nhưng số lần chẵn trong dãy này là bốn.

Ví dụ 3. Cùng một đợt mới thành cặp

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Đợt A có 5 đỏ trong 8 lượt; B có 9 đỏ trong 12 lượt. Muốn mô tả riêng B, chọn hai số nào?

Bắt đầu từ đâu?

Khoanh cả sự kiện lẫn tên đợt.

Gợi ý để em tự tìm

Hai số phải cùng thuộc B.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ở đợt $B$, số lần đỏ là $k=9$ và tổng là $T=12$.

2. Cặp dùng cho B là $(9;12)$. Các số $5,8$ thuộc A nên không thay một số trong cặp này.

Tự kiểm

Không dùng 9 cùng 8 chỉ vì cùng có sẵn trong đề.

Ví dụ 4. Kế hoạch chưa là tổng quan sát

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Bảng dự kiến 18 lượt nhưng mới ghi được 11 lượt hợp lệ. Tổng lượt hiện có là 18 hay 11?

Bắt đầu từ đâu?

Đếm những lượt thực sự đã thực hiện và ghi hợp lệ.

Gợi ý để em tự tìm

Bảy ô dự kiến chưa có kết quả.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ta mới có $11$ lượt hợp lệ đã ghi, nên $T=11$.

2. $18$ là mục tiêu; $18-11=7$ lượt còn dự kiến không được cộng vào tổng quan sát.

Tự kiểm

Nêu thời điểm báo cáo để không hiểu bảng đã hoàn tất.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Xác định sự kiện và đợt cần mô tả. Gọi $k$ là số lần sự kiện xảy ra, $T$ là tổng lượt hợp lệ của đợt ấy. Đếm sao cho mỗi lượt được xét đúng một lần. Khi đã phân loại đủ, $k,T$ là số nguyên với $0\le k\le T$.

Với hai nhãn đầy đủ như $S,N$, tổng số lần hai nhãn bằng $T$. Nếu còn ô chưa biết, giữ phần chưa biết riêng; chưa thể coi số đếm một nhãn bằng tổng dòng trừ số nhãn kia. Bài sau dùng $k,T$ để lập phân số khi $T>0$.

Ví dụ 5. Tổng từ hai nhóm đủ

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Một đợt chỉ ghi đỏ/xanh, mỗi lượt đúng một màu; đếm được 4 đỏ và 7 xanh. Tìm tổng lượt.

Bắt đầu từ đâu?

Hai nhóm không chồng và đã phủ hết các lượt.

Gợi ý để em tự tìm

Cộng hai số đếm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Có $4$ lượt đỏ và $7$ lượt xanh, không có lượt thuộc cả hai nhóm.

2. Tổng là $T=4+7=11$. Nếu xét sự kiện đỏ thì $k=4$; nếu xét xanh thì $k=7$.

Tự kiểm

Chọn sự kiện khác có thể đổi k nhưng không đổi T của cùng đợt.

Ví dụ 6. Bảng còn nhãn chưa đọc

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Bảng 10 dòng có 4 S, 5 N và một dòng chưa đọc được. Có kết luận chính xác số S là 5 không?

Bắt đầu từ đâu?

Giữ dòng chưa biết riêng.

Gợi ý để em tự tìm

Dòng còn lại có thể S hoặc N nếu được xác minh là hợp lệ.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đã biết $4S,5N$, tổng $9$ dòng phân loại. Chưa biết mặt ở dòng thứ mười.

2. Không kết luận chính xác $5S$. Nếu dòng ấy được xác minh là S thì tổng S là $5$; nếu N thì vẫn $4$. Cần kiểm nguồn hoặc báo thiếu dữ liệu.

Tự kiểm

Không gán ô chưa đọc cho S bằng phép lấy 10−5.

Ví dụ 7. Kiểm bất đẳng thức đếm

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Một bảng 7 lượt hợp lệ được báo có 8 lần sự kiện A. Báo cáo có hợp lí không?

Bắt đầu từ đâu?

Một lượt chỉ được tính một lần vào sự kiện.

Gợi ý để em tự tìm

Số lần sự kiện không vượt tổng lượt.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mỗi trong $7$ lượt đóng góp nhiều nhất một lần xảy ra, nên phải có $k\le7$.

2. Báo $k=8$ vi phạm giới hạn này. Kiểm lại đếm lặp, tổng lượt hoặc cách ghi trước khi dùng hai số.

Tự kiểm

Không lập phân số từ số đếm đã biết là bất nhất.

Ví dụ 8. Kiểm tổng chưa đủ kiểm sự kiện

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Dãy giả định 1, 3, 4, 6 có 2 số chẵn và 2 số lẻ. Bạn đánh dấu chẵn ở lượt 1,4. Tổng đúng nhưng vị trí đúng chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Đối chiếu điều kiện tại mỗi vị trí.

Gợi ý để em tự tìm

Lượt 1 ra 1; lượt 3 ra 4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Lượt $1$ ra $1$ là lẻ, còn lượt $3$ ra $4$ là chẵn. Vị trí chẵn đúng là $3,4$.

2. Số đếm chẵn vẫn là $2$, nhưng dấu vị trí ban đầu sai. Tổng khớp không chứng minh việc phân loại từng dòng đúng.

Tự kiểm

Khi cần kiểm bản ghi, giữ cả danh sách vị trí lẫn tổng.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Biết tổng nhưng chưa biết vị trí

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Năm lượt chỉ có S/N, tổng hợp đúng 2 S,3 N. Có thể suy ra lượt thứ 5 là N không?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm hai dãy phù hợp nhưng khác ở lượt cuối.

Gợi ý để em tự tìm

Đặt một S vào lượt cuối trong một dãy.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Dãy $S,S,N,N,N$ có $2S,3N$ và kết thúc bằng N; dãy $N,N,N,S,S$ có cùng số đếm và kết thúc bằng S.

2. Vì cả hai phù hợp tổng hợp nên không biết riêng lượt thứ $5$. Cần bảng từng lượt để trả lời.

Tự kiểm

Không suy vị trí từ số đếm tổng hợp.

Ví dụ 10. Sự kiện không chồng với chính nó

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Một lượt ra 6, sự kiện là “ra số chẵn hoặc lớn hơn 4”. Có đếm lượt ấy hai lần vì 6 thoả cả hai vế không?

Bắt đầu từ đâu?

Đếm số lượt sự kiện xảy ra, không đếm số lí do nó xảy ra.

Gợi ý để em tự tìm

“Hoặc” nhận kết quả 6 nhưng lượt vẫn chỉ một.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $6$ vừa chẵn vừa lớn hơn $4$, nên sự kiện xảy ra ở lượt ấy.

2. Ta chỉ tăng $k$ thêm $1$, không thêm $2$. Nếu đếm hai lần sẽ nhầm số điều kiện đúng với số lượt sự kiện xảy ra.

Tự kiểm

Một lượt luôn chỉ góp 0 hoặc 1 vào số lần của một sự kiện.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Tự luyện có hướng dẫn

Một bảng giả định 12 lần tung có S, N, N, S, S, N, S, N, S, N, N, S. Đếm số S và tổng số lượt.

Gợi ý bài 1

Đánh số và liệt kê vị trí S của dãy giả định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $S$ ở các lượt $1,4,5,7,9,12$, nên $k=6$.

2. Dãy có $T=12$ lượt; sáu vị trí còn lại là N, kiểm $6+6=12$.

Tự kiểm

Không gọi đây là số liệu tự thực hiện; đề cho bảng giả định.

Bài 2

Tự luyện có hướng dẫn

Đợt A có 7 lần đỏ trong 10 lượt, đợt B có 4 lần đỏ trong 8 lượt. Nếu mô tả riêng đợt A, tử và mẫu là số nào?

Gợi ý bài 2

Chọn cả hai số cùng thuộc đợt A.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Đợt A có $k=7$ lần đỏ và $T=10$ lượt.

2. Tử lấy $7$, mẫu lấy $10$ khi lập phân số của riêng A. $4,8$ thuộc B nên không ghép chéo.

Tự kiểm

Không dùng $\frac{7}{8}$ hay $\frac{4}{10}$ cho riêng A.

Bài 3

Tự luyện có hướng dẫn

Bảng dự kiến 20 dòng nhưng mới ghi 15 lượt hợp lệ. Có dùng 20 làm tổng lượt đã thử không?

Gợi ý bài 3

Dòng dự kiến chưa mang kết quả quan sát.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Mới có $15$ lượt hợp lệ được ghi, nên tổng đã thử là $T=15$.

2. Không dùng $20$ làm tổng đã quan sát; năm dòng còn lại là dự kiến. Nếu thực hiện tiếp, cập nhật bằng dữ liệu thật.

Tự kiểm

Phân biệt tổng hiện có với số lượt muốn đạt.

Bài 4

Tự luyện có hướng dẫn

Trong mô hình chỉ hai kết quả đỏ, xanh, đã ghi đỏ 9 lần, xanh 6 lần. Tổng số lượt là bao nhiêu?

Gợi ý bài 4

Hai màu đã chia hết các lượt hợp lệ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Mỗi lượt chỉ đỏ hoặc xanh, nên hai số đếm $9,6$ không chồng và phủ hết đợt.

2. Tổng số lượt là $T=9+6=15$.

Tự kiểm

Phép cộng dùng điều kiện một lượt đúng một trong hai màu.

Bài 5

Tự luyện có hướng dẫn

Dãy giả định N, S, N, S, S, N, N có mấy lần N và tổng bao nhiêu lượt?

Gợi ý bài 5

Đếm vị trí N rồi đếm chiều dài dãy.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $N$ ở $1,3,6,7$ nên $k=4$.

2. Tổng $T=7$; ba lượt S kiểm $4+3=7$.

Tự kiểm

Cùng một bảng cho cả k và T.

Bài 6

Tự luyện có hướng dẫn

Dãy giả định xúc xắc 5, 2, 6, 4, 1, 5. Đếm sự kiện lớn hơn 4.

Gợi ý bài 6

Giữ 5 và 6; loại 4 vì bằng cận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Sự kiện xảy ra ở lượt $1,3,6$, với kết quả $5,6,5$.

2. Vì vậy $k=3$, $T=6$. Số 5 xuất hiện hai lần ở hai lượt nên đếm hai lần.

Tự kiểm

Số kết quả khác nhau không phải số lần xuất hiện.

Bài 7

Tự luyện có hướng dẫn

A có 2 S trong 5 lượt, B có 8 S trong 15 lượt. Chọn k,T của riêng A.

Gợi ý bài 7

Đọc tên đợt trước mỗi số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Đợt A cho $k=2$ và $T=5$.

2. Không dùng $T=15$ của B hoặc cộng hai đợt khi câu hỏi chỉ yêu cầu A.

Tự kiểm

Cặp số mô tả đúng phạm vi được hỏi.

Bài 8

Tự luyện có hướng dẫn

Bảng đã có 6 lượt hợp lệ S/N nhưng chỉ đếm ra 2 S,3 N. Cần kiểm gì?

Gợi ý bài 8

So tổng hai nhóm với sáu dòng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $2+3=5$ thiếu một so với $6$ lượt đã cho.

2. Đối chiếu từng dòng để tìm bỏ sót hoặc nhãn chưa xác định; chưa biết lỗi cụ thể thì không tự tăng S hay N.

Tự kiểm

Một tổng thiếu báo có vấn đề, chưa chỉ ra mặt cần sửa.

Bài 9

Tự luyện có hướng dẫn

Bảng 14 lượt đầy đủ có 9 lần sự kiện A. Số lượt A không xảy ra là bao nhiêu?

Gợi ý bài 9

Mỗi lượt hoặc thoả A hoặc không thoả A.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Số lượt không xảy ra là $14-9=5$.

2. Kiểm $9+5=14$, hai nhóm phủ đủ và không chồng nhau.

Tự kiểm

Không dùng số kết quả có thể thay cho tổng 14 lượt.

Bài 10

Tự luyện có hướng dẫn

Bạn ghi $k=-1$ và $T=10$ cho số lần S. Có phù hợp số đếm không?

Gợi ý bài 10

Số lần xuất hiện không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Số đếm phải là số nguyên $k\ge0$, trong khi $-1<0$.

2. Cặp báo cáo không hợp lệ; cần tra bảng gốc để sửa, không tự thay bằng số gần nhất.

Tự kiểm

Chưa sửa nguồn thì chưa dùng cặp số này.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Hai sự kiện “ra số chẵn” và “ra số lớn hơn 4” đều xảy ra ở lượt ra 6. Nếu gộp sự kiện bằng từ “hoặc”, cộng hai số đếm nguyên xi có luôn đúng không?

Gợi ý bài 11

Xem lượt chung sẽ bị tính mấy lần.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Lượt ra $6$ thuộc cả hai nhóm; cộng hai số đếm nguyên xi tính lượt ấy hai lần.

2. Vì sự kiện gộp chỉ tính lượt này một lần, phải đối chiếu bảng và bỏ phần đếm lặp. Không cộng mù hai số đếm khi các nhóm chồng nhau.

Tự kiểm

Hai nhóm S/N cộng được vì không chồng; các sự kiện khác phải kiểm lại.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Một bảng 8 dòng có 3 S,3 N,2 ô chưa rõ. Giả sử xác minh được cả hai ô là lượt hợp lệ S/N, số S có thể nhận những giá trị nào?

Gợi ý bài 12

Xét số ô chưa rõ thực ra là S: 0,1 hoặc 2.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Nếu hai ô có $0,1,2$ lần S thì tổng S lần lượt là $3,4,5$.

2. Vì vậy các giá trị có thể là $\{3;4;5\}$. Chưa có dữ kiện chọn duy nhất một giá trị.

Tự kiểm

Không mở rộng ngoài 3 đến 5; chỉ có hai ô có thể bổ sung S.

6. Tự kiểm sau khi học

Em kiểm một bảng theo ba ý: sự kiện nào, đợt nào, có đủ nhãn hợp lệ chưa. Khi có số đếm đúng và tổng dương, chuyển sang lập phân số thực nghiệm.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Xác suất thực nghiệm bằng phân số. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.