Giao hoán và kết hợp với số tự nhiên lớp 6

Phép tính tự nhiên và các tính chất · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-03-B3

Sau bài này, em có thể:

• Dùng giao hoán, kết hợp của cộng và nhân để tạo nhóm tròn chục, trăm, nghìn.
• Giải thích vì sao không áp dụng các tính chất ấy tùy ý cho trừ và chia.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Gộp 8 thẻ đỏ với 12 thẻ xanh hay 12 thẻ xanh với 8 thẻ đỏ đều có 20 thẻ. Các nhóm vật vẫn được giữ nguyên dù thứ tự gộp đổi. Nhưng nếu đổi “bớt 12 từ 30” thành “bớt 30 từ 12” thì tình huống có còn như cũ không?

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Đổi thứ tự gộp

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $8+12$ và $12+8$. Đổi thứ tự hai nhóm có làm thay tổng không?

Bắt đầu từ đâu?

Xét số lượng của hai nhóm trước và sau khi đổi.

Gợi ý để em tự tìm

Cả hai lần đều giữ đủ 8 và 12.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $8+12=20$ và $12+8=20$.

2. Tổng không đổi vì vẫn gộp hai nhóm ấy, chỉ đổi thứ tự. Đây là tính giao hoán của phép cộng.

Tự kiểm

Không dùng lập luận này cho một phép bớt vì vai trò của hai số khi trừ khác nhau.

Ví dụ 2. Đổi nhóm để được một chục

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(3+7)+8$ và $3+(7+8)$. Chỗ nào đổi và chỗ nào giữ nguyên?

Bắt đầu từ đâu?

So thứ tự số trước rồi so vị trí dấu ngoặc.

Gợi ý để em tự tìm

Ba số vẫn là 3,7,8 theo đúng thứ tự.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhóm đầu: $(3+7)+8=10+8=18$. Nhóm sau: $3+(7+8)=3+15=18$.

2. Chỉ cách nhóm đổi, thứ tự không đổi. Cách nhóm $3+7$ thuận tiện hơn vì tạo 10.

Tự kiểm

Hai biểu thức vẫn giữ đúng ba số hạng; đây là kết hợp, không phải cần đổi chỗ.

Ví dụ 3. Đổi thứ tự thừa số

Cốt lõi

Em thử trước:

Ba khay, mỗi khay 4 viên bi, và bốn khay, mỗi khay 3 viên bi có cùng tổng không? Viết hai tích.

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt cách chia khay với tổng số bi.

Gợi ý để em tự tìm

Hai tích là 3 nhân 4 và 4 nhân 3.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $3\cdot4=12$ và $4\cdot3=12$, nên tổng số bi bằng nhau.

2. Đổi chỗ hai thừa số không đổi tích; đó là giao hoán của phép nhân, dù số khay khác nhau.

Tự kiểm

Kết luận là cùng tổng bi, không khẳng định hai cách chia khay giống hệt nhau.

Ví dụ 4. Đổi nhóm thừa số

Cốt lõi

Em thử trước:

So $(2\cdot5)\cdot3$ với $2\cdot(5\cdot3)$. Có được bỏ một thừa số khi đổi nhóm không?

Bắt đầu từ đâu?

Giữ đủ 2,5,3 và chỉ đổi cặp được tính trước.

Gợi ý để em tự tìm

Nhóm 2 với 5 tạo 10.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(2\cdot5)\cdot3=10\cdot3=30$; $2\cdot(5\cdot3)=2\cdot15=30$.

2. Hai tích bằng nhau do kết hợp. Mọi thừa số đều được giữ, không thừa số nào mất khi mở hay đặt ngoặc.

Tự kiểm

Kết quả 10 chỉ là tích một nhóm, chưa là tích của cả ba số.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a,b,c\in\mathbb N$, phép cộng có $a+b=b+a$ và $(a+b)+c=a+(b+c)$; phép nhân có $ab=ba$ và $(ab)c=a(bc)$. Giao hoán đổi chỗ các số, kết hợp đổi nhóm; không làm mất hoặc tự thêm số. Chỉ dùng những công thức này cho cùng phép cộng hoặc cùng phép nhân, không tự chuyển sang phép trừ, chia hay đổi dấu phép toán.

Ví dụ 5. Tạo nhóm tròn nghìn bằng cộng

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính thuận tiện $187+56+813$. Em nên ghép hai số nào trước?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm cặp có tổng tròn nghìn.

Gợi ý để em tự tìm

187 và 813 bù nhau thành 1 000.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Dùng giao hoán để đưa 813 gần 187, rồi kết hợp: $187+56+813=(187+813)+56$.

2. $187+813=1\,000$ nên tổng là $1\,000+56=1\,056$.

Tự kiểm

Kiểm danh sách số hạng trước và sau đều có đúng 187,56,813.

Ví dụ 6. Tạo nghìn bằng nhân

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính thuận tiện $8\cdot29\cdot125$. Em tìm cặp tạo 100 hay 1 000?

Bắt đầu từ đâu?

Nhận cặp 8 và 125.

Gợi ý để em tự tìm

$8\cdot125=1\,000$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đổi chỗ và nhóm thành $(8\cdot125)\cdot29$.

2. Tính $1\,000\cdot29=29\,000$.

Tự kiểm

Thừa số 29 vẫn phải nhân sau khi nhóm còn lại cho 1 000.

Ví dụ 7. Nhóm thuận tiện nhưng không bỏ thừa số

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn tính $25\cdot13\cdot4=(25\cdot4)=100$. Chỉ phần bị bỏ và sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Đếm đủ ba thừa số trước và sau biến đổi.

Gợi ý để em tự tìm

Còn thừa số 13 chưa được dùng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Có thể nhóm 25 với 4, nhưng biểu thức đúng là $(25\cdot4)\cdot13$.

2. Tích bằng $100\cdot13=1\,300$, không phải 100.

Tự kiểm

Thay đổi ngoặc không phải xóa những số đứng ngoài ngoặc.

Ví dụ 8. Không áp dụng giao hoán cho trừ

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn nói $30-12=12-30$ vì đổi chỗ hai số không đổi kết quả. Kiểm trong $\mathbb N$.

Bắt đầu từ đâu?

Tính một phía và kiểm miền của phía còn lại.

Gợi ý để em tự tìm

12 nhỏ hơn 30 nên không bớt 30 trong miền số tự nhiên.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $30-12=18$ là số tự nhiên.

2. $12-30$ không có kết quả trong $\mathbb N$ vì $12<30$. Không được áp dụng giao hoán của cộng vào trừ.

Tự kiểm

Đã giữ đúng phạm vi số tự nhiên; chưa dùng một phép tính ngoài miền để thay đề.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Đổi nhóm phép chia có thể đổi giá trị

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

So $(48:6):2$ với $48:(6:2)$. Tất cả phép chia đều hết; có vì vậy được kết hợp tùy ý không?

Bắt đầu từ đâu?

Tính theo từng dấu ngoặc ở mỗi phía.

Gợi ý để em tự tìm

Vế đầu chia cho 6 rồi 2; vế sau chia cho thương $6:2$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(48:6):2=8:2=4$.

2. $48:(6:2)=48:3=16$. Vì $4\ne16$, không có tính kết hợp ấy cho phép chia.

Tự kiểm

Các số chia 6,2,3 đều khác 0, nên phản ví dụ không dựa vào một phép chia bị cấm.

Ví dụ 10. Tính tổng mà không cần biết từng số

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Biết $a,b\in\mathbb N$ và $a+b=8$. Tính $a+37+b+63$ mà không tìm riêng $a$, $b$.

Bắt đầu từ đâu?

Đưa hai số chưa biết về cạnh nhau; ghép hai số đã biết thành tổng tròn.

Gợi ý để em tự tìm

$37+63=100$ và $a+b$ đã được cho.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Giao hoán và kết hợp cho $a+37+b+63=(a+b)+(37+63)$.

2. Thay tổng đã biết: $8+100=108$. Mọi cặp $a$, $b$ thỏa giả thiết đều cho cùng kết quả.

Tự kiểm

Không cần giả sử $a=b=4$; cách đó chỉ kiểm một trường hợp, chưa giải thích mọi cặp.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Tính thuận tiện $275+468+725$.

Gợi ý bài 1

Ghép 275 với 725 rồi giữ số hạng còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $275+468+725=(275+725)+468$ nhờ đổi chỗ và đổi nhóm.

2. $275+725=1\,000$, nên kết quả $1\,000+468=1\,468$.

Tự kiểm

Số 468 không mất sau khi nhóm tròn nghìn.

Bài 2

Cốt lõi

Tính thuận tiện $25\cdot37\cdot4$.

Gợi ý bài 2

Tìm cặp thừa số tạo 100.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $25\cdot37\cdot4=(25\cdot4)\cdot37$.

2. $25\cdot4=100$, nên tích $100\cdot37=3\,700$.

Tự kiểm

Ba thừa số ban đầu xuất hiện đủ trong biểu thức mới.

Bài 3

Cốt lõi

Tính $16\cdot125\cdot5$; nêu một cách nhóm.

Gợi ý bài 3

Có thể tách 16 thành 8 nhân 2 để ghép với 125.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Vì $16=8\cdot2$, biểu thức là $8\cdot2\cdot125\cdot5$.

2. Đổi chỗ và nhóm thành $(8\cdot125)\cdot(2\cdot5)=1\,000\cdot10=10\,000$.

Tự kiểm

Tách 16 không làm thêm lượng vì 8 nhân 2 đúng bằng 16; đã nêu rõ hai nhóm được chọn.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn đổi $96:12$ thành $12:96$ vì phép nhân giao hoán. Trong $\mathbb N$, phép đổi này đúng không?

Gợi ý bài 4

Phép chia và phép nhân không dùng cùng tính chất.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $96:12=8$ vì $12\cdot8=96$.

2. $12:96$ không có thương tự nhiên: thương 0 cho tích 0, còn thương ít nhất 1 cho tích ít nhất 96, không thể bằng 12. Phép đổi sai.

Tự kiểm

Không nói $12:96$ có số chia 0; nó chỉ không chia hết trong miền tự nhiên.

Bài 5

Cốt lõi

Tính thuận tiện $398+61+602+39$.

Gợi ý bài 5

Tìm hai cặp tạo tròn trăm hoặc nghìn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Đổi chỗ, nhóm thành $(398+602)+(61+39)$.

2. Hai nhóm bằng $1\,000$ và $100$, nên tổng $1\,100$.

Tự kiểm

Đã giữ đủ bốn số hạng một lần, không đếm lặp 602.

Bài 6

Cốt lõi

Tính $5\cdot43\cdot20$ thuận tiện.

Gợi ý bài 6

Ghép 5 với 20.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $5\cdot43\cdot20=(5\cdot20)\cdot43$.

2. $5\cdot20=100$, nên tích $4\,300$.

Tự kiểm

Phải còn thừa số 43 sau bước tính 100.

Bài 7

Cốt lõi

Tính thuận tiện $4\cdot16\cdot25\cdot5$.

Gợi ý bài 7

Có thể tạo hai nhóm thay vì nhân lần lượt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Nhóm $(4\cdot25)\cdot(16\cdot5)$. Giao hoán và kết hợp giữ đủ bốn thừa số.

2. Hai nhóm bằng $100$ và $80$, nên tích $100\cdot80=8\,000$.

Tự kiểm

Không lấy $100+80$ vì phép toán nối hai nhóm vẫn là nhân.

Bài 8

Cốt lõi

Bạn tính $47+153+62=(47+153)=200$. Chỉ số hạng bị bỏ và sửa.

Gợi ý bài 8

Đếm số hạng trước khi tạo nhóm tròn trăm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Còn số hạng 62 chưa được cộng; đúng là $(47+153)+62$.

2. Tổng bằng $200+62=262$.

Tự kiểm

Việc nhóm 47 và 153 đúng nhưng kết luận dừng ở 200 chưa tính hết biểu thức.

Bài 9

Cốt lõi

So $24:(2\cdot3)$ với $(24:2)\cdot3$. Có được chuyển ngoặc vì phép nhân kết hợp không?

Gợi ý bài 9

Hai biểu thức có cả chia và nhân, không chỉ ba thừa số nhân nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $24:(2\cdot3)=24:6=4$.

2. $(24:2)\cdot3=12\cdot3=36$, khác 4. Không thể dùng kết hợp của phép nhân để thay biểu thức chia như vậy.

Tự kiểm

Mọi phép chia đều hợp lệ; chính việc đổi cấu trúc làm thay giá trị.

Bài 10

Cốt lõi

Bạn tính $56+144+37=(56+37)+144$ và nói chỉ dùng kết hợp. Kết quả có đúng không, lý do cần bổ sung gì?

Gợi ý bài 10

Kiểm xem thứ tự của 144 và 37 có đổi không.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Giá trị ban đầu $(56+144)+37=200+37=237$; biểu thức sau cũng $93+144=237$.

2. Kết quả đúng, nhưng đã đổi chỗ 144 và 37 rồi đổi nhóm, nên phải dùng cả giao hoán và kết hợp, không chỉ kết hợp.

Tự kiểm

Phân biệt phép biến đổi đúng với lời giải thích đã đầy đủ hay chưa.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Biết $a,b\in\mathbb N$, $ab=12$. Tính $a\cdot25\cdot b\cdot4$; có cần tìm duy nhất $a$, $b$ không?

Gợi ý bài 11

Nhóm hai thừa số chưa biết và nhóm tạo 100.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Giao hoán và kết hợp cho $(ab)\cdot(25\cdot4)=12\cdot100=1\,200$.

2. Không cần tìm riêng $a$, $b$: chẳng hạn các cặp (1;12) và (3;4) đều thỏa tích 12 và cho cùng kết quả.

Tự kiểm

Hai ví dụ về cặp chỉ minh họa tính không duy nhất; công thức nhóm mới chứng minh kết quả chung.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Bạn nói $(90-30)-20=90-(30-20)$ vì chỉ đổi cách nhóm. Tính hai phía và chỉ giới hạn của quy tắc.

Gợi ý bài 12

Kết hợp đã học chỉ cho cộng và nhân, không phải phép trừ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Vế trái $(90-30)-20=60-20=40$.

2. Vế phải $90-(30-20)=90-10=80$. Vì $40\ne80$, nhận xét sai dù cả hai phía đều có kết quả tự nhiên.

Tự kiểm

Phản ví dụ không dùng hiệu ngoài miền; việc đổi nhóm của trừ tự nó đã không bảo toàn giá trị.

6. Tự kiểm sau khi học

Trước khi tính nhẩm, chỉ rõ cặp tạo tròn chục, trăm hoặc nghìn và giữ đủ các số. Bài phân phối tiếp theo cho phép liên hệ phép nhân với một tổng hoặc hiệu.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Phép tính tự nhiên và các tính chất. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.