Dùng mốc không trong tình huống thực tế

Số nguyên âm, trục số và số đối · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-09-B5

Sau bài này, em có thể:

• Đặt và đọc quy ước mốc 0, chiều dương và đơn vị trong bối cảnh quen thuộc.
• Phát hiện bản ghi thiếu thông tin; phân biệt đổi gốc, đổi chiều, đổi đơn vị và vị trí với thay đổi.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Đánh số tầng với tầng trệt là $0$: tầng trên dùng dương, tầng hầm dùng âm. Cùng số $-2$ ấy có thể mang nghĩa khác nếu cột đang ghi mét theo biển hoặc số phút trước giờ bắt đầu.

Trước khi diễn giải, nêu ba thông tin: mốc, chiều dương, đơn vị. Đọc thêm tên đại lượng hoặc cột dữ liệu: một số trong cột thay đổi không tự là vị trí cuối hay lượng đang có.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Chọn mốc cho các tầng

Cốt lõi

Em thử trước:

Quy ước tầng trệt là $0$, tầng trên dương và tầng hầm âm. Tầng hầm thứ hai ghi bằng số nào?

Bắt đầu từ đâu?

Nhận phía dưới mốc và số tầng được đếm.

Gợi ý để em tự tìm

Hầm hai ở dưới tầng trệt hai mức tầng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tầng hầm thứ hai thuộc phía âm theo quy ước.

2. Có hai mức tầng dưới mốc, nên ghi $-2$; đơn vị ở đây là tầng, không phải mét.

Tự kiểm

Không ghi $+2$ hoặc tự đổi thành $-2$ m khi chưa biết độ cao các tầng.

Ví dụ 2. Số có dấu ghi chiều thu hoặc chi

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong mô hình giả định, thu tiền mang dấu dương, chi mang dấu âm. Chi $30$ nghìn đồng ghi thế nào với đơn vị nghìn đồng?

Bắt đầu từ đâu?

Giữ số đo $30$ theo đơn vị đã chọn, thêm dấu theo loại giao dịch.

Gợi ý để em tự tìm

Chi dùng dấu âm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Khoản chi mang dấu âm theo quy ước, nên ghi $-30$ với đơn vị nghìn đồng.

2. Nó mô tả một khoản chi $30$ nghìn, không có nghĩa giá món hàng tự mang một độ lớn âm.

Tự kiểm

Không ghi $-30\,000$ nếu cột đã dùng đơn vị nghìn đồng; đó sẽ là lượng khác.

Ví dụ 3. Đọc cả hai phía và đúng mốc

Cốt lõi

Em thử trước:

Theo quy ước tầng trệt $0$, trên dương, dưới âm, diễn giải $+3,0,-3$.

Bắt đầu từ đâu?

Ba số có cùng loại đơn vị tầng và cùng mốc.

Gợi ý để em tự tìm

Dấu cho phía; số $3$ cho số mức tầng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $+3$ là tầng phía trên tầng trệt ba mức; $0$ là tầng trệt.

2. $-3$ là tầng hầm thứ ba theo phía dưới. Số $0$ là mốc riêng, không thuộc phía trên hoặc dưới.

Tự kiểm

Không nói hai giá trị $+3,-3$ chỉ cùng một tầng vì cùng chữ số $3$.

Ví dụ 4. Một bản ghi thiếu dữ kiện

Cốt lõi

Em thử trước:

Một giấy ghi “vị trí $-2$” nhưng không nêu gì khác. Có biết đó là tầng hầm hai hay một độ cao không? Cần thêm gì?

Bắt đầu từ đâu?

Chưa biết số đo thuộc loại đại lượng nào và theo mốc nào.

Gợi ý để em tự tìm

Cần mốc $0$, chiều dương và đơn vị.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Bản ghi chưa đủ để chọn cách hiểu cụ thể: $-2$ có thể đi cùng tầng, mét hoặc km trong các mô hình khác nhau.

2. Phải bổ sung mốc, đơn vị và chiều dương. Một ví dụ đầy đủ là “độ cao $-2$ m so với sàn chuẩn $0$ m, phía trên dương”, nghĩa dưới sàn $2$ m.

Tự kiểm

Ví dụ chỉ minh họa cách bổ sung, không khẳng định đó chính là dữ liệu thật của tờ giấy.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Chọn mốc $0$ và chiều dương phù hợp, giữ cùng đơn vị trong một thang số. Phía ngược chiều dương dùng số âm; ở mốc dùng $0$. Quy ước phải được công bố, không gán dấu từ thói quen khi ngữ cảnh chưa đầy đủ.

Đổi mốc, đổi chiều dương hoặc đổi đơn vị có thể làm số ghi thay đổi trong khi sự việc thật không đổi. Vị trí hay lượng hiện có khác với thay đổi; muốn chuyển giữa hai loại dữ liệu cần đủ thông tin ban đầu và diễn biến.

Ví dụ 5. Chiều dương theo phương ngang

Cốt lõi

Em thử trước:

Chọn nhà ga là gốc $0$ km, chiều đông dương. Một điểm cách ga $4$ km về tây được ghi thế nào?

Bắt đầu từ đâu?

Phía tây ngược chiều dương đã chọn.

Gợi ý để em tự tìm

Giữ độ lớn $4$ km, dùng dấu âm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Điểm ở phía tây ga nên mang dấu âm theo quy ước đông dương.

2. Tọa độ dọc tuyến là $-4$ km; khoảng cách theo tuyến tới ga là $4$ km.

Tự kiểm

Không gán dấu theo thói quen trên/dưới; ở đây quy ước là đông/tây.

Ví dụ 6. Thời gian trước và sau một sự kiện

Cốt lõi

Em thử trước:

Chọn lúc bắt đầu hoạt động là $0$ phút, sau đó dương. Diễn giải “sớm $5$ phút”, “muộn $7$ phút” và đúng lúc bắt đầu bằng số có dấu.

Bắt đầu từ đâu?

Mốc là một thời điểm, đơn vị là phút chênh với mốc.

Gợi ý để em tự tìm

Trước mốc âm, sau mốc dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Sớm $5$ phút ghi $-5$ phút; muộn $7$ phút ghi $+7$ phút.

2. Đúng thời điểm bắt đầu ghi $0$ phút. Đây là độ lệch so với mốc, không phải tổng thời lượng hoạt động.

Tự kiểm

Giữ cùng một sự kiện làm mốc khi so hoặc diễn giải các số.

Ví dụ 7. Thay đổi kho không phải số đang có

Cốt lõi

Em thử trước:

Quy ước nhập kho dương, xuất kho âm. Xuất $8$ hộp được ghi $-8$ hộp trong cột thay đổi. Có nghĩa kho còn $-8$ hộp không?

Bắt đầu từ đâu?

Cột mô tả thay đổi khác cột số lượng còn lại.

Gợi ý để em tự tìm

Chưa biết số đang có trước khi xuất.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $-8$ hộp nghĩa xuất ra $8$ hộp, không tự là số lượng còn trong kho.

2. Ví dụ nếu trước có $10$ hộp và xuất đúng $8$, không nhận thêm, thì còn $10-8=2$ hộp. Muốn biết lượng cuối cần thêm dữ liệu ban đầu.

Tự kiểm

Không biến một ký hiệu thay đổi thành một lượng tồn kho; ví dụ dùng dữ liệu giả định có nêu rõ.

Ví dụ 8. Thay đổi 0 không bắt buộc lượng đang có 0

Cốt lõi

Em thử trước:

Cột “thay đổi tiền trong ngày” ghi $0$ nghìn đồng. Có thể kết luận người đó hết tiền không?

Bắt đầu từ đâu?

Đúng giá trị $0$ nhưng phải đọc tên đại lượng của cột.

Gợi ý để em tự tìm

Không thay đổi vẫn có thể đang có một lượng dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Không thể kết luận hết tiền, vì cột đang ghi thay đổi, không phải tiền hiện có.

2. Ví dụ đầu ngày có $100$ nghìn đồng và không thu hoặc chi gì, thay đổi là $0$ nhưng vẫn có $100$ nghìn.

Tự kiểm

Giá trị $0$ chỉ có ý nghĩa với đúng loại đại lượng đã được ghi.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Đổi đơn vị không đổi khoản chi

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Cùng khoản chi $30\,000$ đồng, một phiếu ghi $-30\,000$ đơn vị đồng, phiếu khác ghi $-30$ đơn vị nghìn đồng. Có mâu thuẫn không?

Bắt đầu từ đâu?

Quy đổi độ lớn về cùng đơn vị trước khi so hai bản ghi.

Gợi ý để em tự tìm

$30$ nghìn đồng bằng $30\times1\,000=30\,000$ đồng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phiếu thứ hai biểu thị khoản chi có độ lớn $30\times1\,000=30\,000$ đồng.

2. Cả hai đều dùng dấu âm cho chi và cùng một số tiền thực, nên không mâu thuẫn.

3. Các số viết khác nhau vì đơn vị khác nhau; không bỏ tên đơn vị rồi so riêng $30$ với $30\,000$.

Tự kiểm

Đã kiểm cùng chiều quy ước và quy đổi đơn vị, không chỉ nhìn ký hiệu số.

Ví dụ 10. Đổi chiều dương làm đổi dấu

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Cùng gốc nhà ga, một điểm ở tây ga $4$ km. Bạn An chọn đông dương, bạn Bình chọn tây dương. Hai bạn ghi thế nào, và có đang nói hai điểm khác nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

Giữ gốc, vị trí và đơn vị, chỉ thay chiều được chọn dương.

Gợi ý để em tự tìm

Điểm ngược chiều dương của An nhưng theo chiều dương của Bình.

Lời giải và cách tự kiểm

1. An ghi $-4$ km vì điểm nằm tây, ngược chiều đông dương.

2. Bình ghi $+4$ km vì chiều tây được chọn dương. Hai bản ghi mô tả cùng một điểm, không phải điểm đã chuyển đi.

3. Để hiểu hoặc so bản ghi, cần biết quy ước chiều; riêng dấu âm hoặc dương chưa cho biết đông hay tây nếu thiếu quy ước.

Tự kiểm

Đã giữ cùng gốc và đơn vị, nên sự khác nhau đến đúng từ việc đổi chiều dương.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Chọn tầng trệt là $0$, tầng trên dương. Tầng hầm thứ ba được ghi bằng số nguyên nào?

Gợi ý bài 1

Tầng hầm ở phía dưới mốc nên mang dấu âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Tầng hầm thứ ba thấp hơn mốc ba mức tầng.

2. Ghi $-3$; không tự thêm đơn vị mét vì đang đánh số tầng.

Tự kiểm

Dấu âm giữ đúng phía dưới, chữ số $3$ giữ đúng thứ tự tầng hầm.

Bài 2

Cốt lõi

Trong mô hình thu chi, quy ước thu là dương, chi là âm. Khoản chi $45$ nghìn đồng ghi bằng số nguyên nào, đơn vị nghìn đồng?

Gợi ý bài 2

Cột dùng nghìn đồng, nên độ lớn số ghi là $45$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Chi mang dấu âm theo quy ước.

2. Ghi $-45$ đơn vị nghìn đồng để biểu thị khoản chi $45$ nghìn.

Tự kiểm

Không ghi $-45\,000$ trong cột nghìn đồng; đó không còn là khoản tiền được hỏi.

Bài 3

Cốt lõi

Một phiếu ghi “vị trí $-4$” nhưng không nêu mốc hoặc đơn vị. Cần bổ sung điều gì để hiểu trong thực tế?

Gợi ý bài 3

Kiểm mốc, đơn vị và chiều dương trước khi chọn cách diễn giải.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Cần bổ sung mốc $0$, đơn vị và chiều được quy ước dương; cũng phải rõ đang đo loại đại lượng nào.

2. Một cách bổ sung mẫu: “độ cao $-4$ m so với mực nước biển $0$ m, phía trên dương”, nghĩa thấp hơn mốc $4$ m. Mẫu minh họa không thay dữ kiện chưa được nêu của phiếu thật.

Tự kiểm

Không mặc nhiên coi mọi số âm là độ cao dưới biển khi phiếu chưa chỉ rõ ngữ cảnh.

Bài 4

Cốt lõi

Chọn một bối cảnh có mốc $0$ và hai phía; ghi ý nghĩa của $+3,0,-3$ trong bối cảnh đó.

Gợi ý bài 4

Nêu quy ước trước rồi giải thích ba giá trị nhất quán.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Ví dụ mẫu: độ cao theo mét, lấy mực nước biển là $0$ m, phía trên dương.

2. $+3$ m là trên biển $3$ m; $0$ m đúng mốc; $-3$ m dưới biển $3$ m.

3. Em có thể chọn bối cảnh khác nếu mốc, đơn vị và chiều dương rõ ràng. Kiểm ba cách diễn giải theo chính bối cảnh em chọn.

Tự kiểm

Không trộn tầng, mét và nghìn đồng trong cùng một thang giá trị mà không đổi mô hình.

Bài 5

Cốt lõi

Chọn ga là $0$ km, đông dương. Điểm ở tây ga $6$ km ghi thế nào?

Gợi ý bài 5

Tây ngược với chiều đông dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Độ lớn khoảng cách dọc tuyến là $6$ km.

2. Vì ở phía âm nên tọa độ theo quy ước là $-6$ km.

Tự kiểm

Dấu âm không biến khoảng cách $6$ km thành một độ dài âm.

Bài 6

Cốt lõi

Lấy giờ bắt đầu làm mốc $0$ phút, sau mốc dương. Thời điểm trước mốc $8$ phút được ghi thế nào?

Gợi ý bài 6

Phân biệt độ lệch so với giờ bắt đầu và tổng thời gian làm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Trước mốc thuộc phía âm, độ lệch là tám phút.

2. Ghi $-8$ phút theo mốc đã chọn.

Tự kiểm

Không diễn giải là đã làm việc một thời lượng âm.

Bài 7

Cốt lõi

Cột thay đổi kho dùng nhập dương, xuất âm. Bản ghi $+12$ hộp nói điều gì? Có khẳng định kho đang có đúng $12$ hộp không?

Gợi ý bài 7

Đọc đúng tên cột trước khi suy lượng còn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $+12$ hộp nghĩa nhận thêm $12$ hộp vào kho, không tự là lượng đang có.

2. Chẳng hạn trước có $5$ hộp, sau lần nhập không xuất thêm thì có $5+12=17$ hộp. Vì vậy muốn biết lượng cuối cần dữ liệu ban đầu.

Tự kiểm

Ví dụ giả định giữ nguyên khoản nhập $12$ nhưng cho lượng cuối khác $12$ để bác suy luận.

Bài 8

Cốt lõi

Theo mốc tầng trệt, bản ghi tầng $-2$ có tự đồng nghĩa độ cao $-2$ m không? Giải thích thông tin còn thiếu.

Gợi ý bài 8

Số tầng và mét là hai đơn vị khác nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $-2$ chỉ tầng hầm thứ hai, chưa nói mỗi mức tầng cách nhau bao nhiêu mét theo phương đứng.

2. Không tự đổi thành $-2$ m. Cần độ cao các tầng so với cùng mức chuẩn mới ghi được độ cao bằng mét.

Tự kiểm

Giữ đúng đơn vị của bản ghi thay vì chỉ giữ lại chữ số và dấu.

Bài 9

Cốt lõi

Trong mô hình thu dương, chi âm, ghi riêng một khoản thu $15$ nghìn đồng và một khoản chi $15$ nghìn đồng, dùng đơn vị nghìn đồng. Hai bản ghi có giống nhau không?

Gợi ý bài 9

Cùng độ lớn tiền nhưng chiều giao dịch khác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Khoản thu ghi $+15$, khoản chi ghi $-15$ trong cột nghìn đồng.

2. Hai bản ghi khác nhau vì một khoản làm tăng, một khoản làm giảm lượng tiền theo mô hình. Không bỏ dấu chỉ vì cùng chữ số $15$.

Tự kiểm

Câu hỏi yêu cầu ghi riêng hai khoản, không tính số dư cuối khi chưa có dữ liệu ban đầu.

Bài 10

Cốt lõi

Tọa độ của người theo tuyến trước cửa là $0$ m tại một thời điểm. Có bắt buộc người đó đang đứng yên không?

Gợi ý bài 10

Vị trí tại một thời điểm chưa nêu cách chuyển động.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $0$ m chỉ nói người ở đúng mốc cửa tại thời điểm ấy.

2. Người có thể đứng yên tại cửa hoặc đang đi qua cửa đúng lúc đó. Hai tình huống cùng có vị trí $0$ nên chưa thể kết luận đứng yên.

Tự kiểm

Không chuyển giá trị vị trí thành kết luận về chuyển động mà chưa có thêm dữ kiện.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Ga là gốc $0$ km, đông dương. Trong các tọa độ $-4;-2;0;2;4$ km, chọn mọi điểm ở tây ga và cách ga không quá $3$ km.

Gợi ý bài 11

Phải kiểm cả phía tây lẫn độ lớn khoảng cách.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Phía tây chỉ có $-4,-2$ km. Điểm $0$ ở mốc nên không ở tây.

2. Các khoảng cách là $4$ km và $2$ km; chỉ $2\le3$, nên nhận duy nhất tọa độ $-2$ km.

Tự kiểm

Không nhận $+2$ km chỉ vì đủ gần; nó nằm sai phía.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Trên một tuyến đông/tây, cả hai cách ghi đều chọn đông dương và đơn vị km. Điểm $P$ được ghi $+3$ km theo gốc $A$, nhưng $-2$ km theo gốc $B$. Biết $B$ ở đông $A$ $5$ km, hai bản ghi có mâu thuẫn không?

Gợi ý bài 12

Xác định vị trí thật của $P$ so với hai gốc: từ $A$ đi đông $3$ km đến $P$, đi thêm $2$ km đến $B$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Gốc $B$ ở đông $A$ $5$ km; $P$ ở đông $A$ $3$ km, nên $P$ ở tây $B$ $5-3=2$ km.

2. Theo gốc $B$ với đông dương, tọa độ của $P$ đúng là $-2$ km. Hai bản ghi nhất quán với cùng một điểm.

3. Kiểm $3+2=5$ km theo tuyến. Điểm không chuyển vị trí; thay gốc đã làm số và dấu ghi vị trí đổi.

Tự kiểm

Đã giữ cùng chiều và đơn vị nhưng đổi gốc; không so riêng hai số rồi kết luận người ghi sai.

6. Tự kiểm sau khi học

Dùng trục số và quy ước đã rõ để so sánh số nguyên; kiểm riêng số âm,0 và số dương.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Số nguyên âm, trục số và số đối. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.