Kiểm hai phân số bằng nhau bằng tích chéo

Phân số bằng nhau và rút gọn · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-15-B1

Sau bài này, em có thể:

• Chọn đúng hai tích chéo và giữ dấu khi nhân.
• Dùng tiêu chuẩn hai chiều để nhận hoặc bác bằng nhau.
• Tìm tử chưa biết và kiểm điều kiện khi chữ nằm ở mẫu.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Một nửa cùng lượng với hai phần tư: $\dfrac12=\dfrac24$. Các tích $1\times4$ và $2\times2$ đều bằng $4$. Với phân số có dấu, ta vẫn có cách kiểm bằng hai tích số nguyên như vậy.

Em không nhân hai tử với nhau hay hai mẫu với nhau: mỗi tích chéo lấy tử bên này và mẫu bên kia. Các ví dụ đầu kiểm mẫu, dấu rồi mới kết luận.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Hai cách chia cùng một lượng

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{2}{4}$ bằng tích chéo. Em nhân cặp nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai mẫu khác $0$, rồi nhân tử bên này với mẫu bên kia.

Gợi ý để em tự tìm

Với hai phân số $a/b,c/d$, so $ad$ và $bc$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $2$ và $4$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(1)\times(4)=4$ và $(2)\times(2)=4$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $4=4$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Ví dụ 2. Giữ hai tích âm

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\dfrac{-2}{3}$ và $\dfrac{-6}{9}$ bằng tích chéo. Em nhân cặp nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai mẫu khác $0$, rồi nhân tử bên này với mẫu bên kia.

Gợi ý để em tự tìm

Với hai phân số $a/b,c/d$, so $ad$ và $bc$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $3$ và $9$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(-2)\times(9)=-18$ và $(3)\times(-6)=-18$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $-18=-18$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Ví dụ 3. Mẫu âm trong một phân số

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\dfrac{4}{-5}$ và $\dfrac{-8}{10}$ bằng tích chéo. Em nhân cặp nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai mẫu khác $0$, rồi nhân tử bên này với mẫu bên kia.

Gợi ý để em tự tìm

Với hai phân số $a/b,c/d$, so $ad$ và $bc$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $-5$ và $10$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(4)\times(10)=40$ và $(-5)\times(-8)=40$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $40=40$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Ví dụ 4. Hai tích khác nhau

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{4}{7}$ bằng tích chéo. Em nhân cặp nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai mẫu khác $0$, rồi nhân tử bên này với mẫu bên kia.

Gợi ý để em tự tìm

Với hai phân số $a/b,c/d$, so $ad$ và $bc$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $3$ và $7$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(2)\times(7)=14$ và $(3)\times(4)=12$. Hai tích khác nhau, nên hai phân số không bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $14\ne12$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a,b,c,d$ nguyên, $b\ne0$ và $d\ne0$, ta có $\dfrac ab=\dfrac cd$ khi và chỉ khi $ad=bc$. Hai tích bằng nhau cho hai phân số bằng nhau; hai tích khác nhau bác đẳng thức.

Điều kiện hai mẫu khác $0$ phải xét trước; kết quả tích chéo bằng nhau không làm một cách viết mẫu $0$ trở nên hợp lệ. Khi tìm chữ, giải điều kiện mẫu rồi thay nghiệm vào đẳng thức ban đầu để kiểm cả miền và giá trị.

Ví dụ 5. Hai tử bằng không

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\dfrac{0}{-5}$ và $\dfrac{0}{7}$ bằng tích chéo. Em nhân cặp nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai mẫu khác $0$, rồi nhân tử bên này với mẫu bên kia.

Gợi ý để em tự tìm

Với hai phân số $a/b,c/d$, so $ad$ và $bc$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $-5$ và $7$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(0)\times(7)=0$ và $(-5)\times(0)=0$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $0=0$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Ví dụ 6. Tích chéo trùng nhưng mẫu không hợp lệ

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn dùng $1\times0=0\times2=0$ để gọi $\dfrac10=\dfrac20$. Vì sao cách kiểm không được phép?

Bắt đầu từ đâu?

Tích chéo có giả thiết trước khi có kết luận.

Gợi ý để em tự tìm

Cả hai mẫu đều bằng $0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\dfrac10$ và $\dfrac20$ không là phân số hợp lệ vì mẫu $0$.

2. Quy tắc tích chéo chỉ áp dụng với hai mẫu khác $0$. Hai tích đều $0$ ở đây không tạo ra một đẳng thức phân số hợp lệ.

Tự kiểm

Không chấp nhận bước tính số đúng để che giả thiết sai ở đối tượng cần so sánh.

Ví dụ 7. Tìm tử chưa biết

Cốt lõi

Em thử trước:

Tìm số nguyên $x$ biết $\dfrac x8=\dfrac{-3}{4}$.

Bắt đầu từ đâu?

Tích chéo tạo một phương trình nhân số nguyên.

Gợi ý để em tự tìm

$4x=8(-3)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $8;4$ khác $0$. Tích chéo cho $4x=8\times(-3)=-24$.

2. $x=-6$ vì $4\times(-6)=-24$.

Tự kiểm

Thay lại: $(-6)\times4=-24$ và $8\times(-3)=-24$, xác nhận đẳng thức ban đầu.

Ví dụ 8. Hai dấu âm không làm sai bằng nhau

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\dfrac{-2}{-3}$ và $\dfrac{2}{3}$ bằng tích chéo. Em nhân cặp nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai mẫu khác $0$, rồi nhân tử bên này với mẫu bên kia.

Gợi ý để em tự tìm

Với hai phân số $a/b,c/d$, so $ad$ và $bc$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai mẫu $-3$ và $3$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(-2)\times(3)=-6$ và $(-3)\times(2)=-6$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $-6=-6$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Chữ nằm cả tử và mẫu

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm mọi số nguyên $a$ từ $-2$ đến $2$ để $\dfrac a{a+1}=\dfrac12$.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm giá trị mẫu cấm trước, rồi dùng tích chéo.

Gợi ý để em tự tìm

$a\ne-1$ và $2a=a+1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mẫu $a+1$ yêu cầu $a\ne-1$. Khi hợp lệ, tích chéo cho $2a=a+1$, nên $a=1$.

2. $a=1$ thuộc đoạn và không bị cấm; hai phân số đều là $\dfrac12$. Vậy đây là nghiệm duy nhất.

Tự kiểm

$a=-1$ không được đưa vào phép tích chéo dù thuộc đoạn; giải phương trình vẫn phải kiểm miền.

Ví dụ 10. Đổi riêng tử có khi nào không phá đẳng thức?

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Biết $\dfrac ab=\dfrac cd$, các tử mẫu nguyên và $b,d\ne0$. Khi nào thay $a$ bằng $-a$ mà vẫn giữ bằng $\dfrac cd$?

Bắt đầu từ đâu?

So giá trị cũ với số đối của nó, xét riêng tử $0$.

Gợi ý để em tự tìm

Tử $0$ cho giá trị $0$; tử khác $0$ cho một số khác $0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu $a=0$, phân số đầu bằng $0$. Đẳng thức ban đầu buộc $c=0$ vì $d\ne0$. Đổi $a$ thành $-a=0$ vẫn giữ hai giá trị $0$.

2. Nếu $a\ne0$, đổi riêng tử cho số đối của giá trị cũ; hai số khác $0$ trái dấu không thể bằng nhau. Vì phân số bên phải vẫn bằng giá trị cũ, đẳng thức bị phá.

3. Vậy giữ nguyên được đúng khi $a=0$; khi ấy cũng có $c=0$.

Tự kiểm

Ví dụ $\dfrac{-1}{2}=\dfrac{-2}{4}$ nhưng $\dfrac12\ne\dfrac{-2}{4}$; tử khác $0$ không được đổi riêng dấu.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac{-3}{4}$ và $\dfrac{-9}{12}$ có bằng nhau không bằng tích chéo.

Gợi ý bài 1

So tử thứ nhất nhân mẫu thứ hai với mẫu thứ nhất nhân tử thứ hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai mẫu $4$ và $12$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(-3)\times(12)=-36$ và $(4)\times(-9)=-36$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $-36=-36$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Bài 2

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac{5}{-6}$ và $\dfrac{-10}{12}$ có bằng nhau không bằng tích chéo.

Gợi ý bài 2

So tử thứ nhất nhân mẫu thứ hai với mẫu thứ nhất nhân tử thứ hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Hai mẫu $-6$ và $12$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(5)\times(12)=60$ và $(-6)\times(-10)=60$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $60=60$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Bài 3

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac23$ và $\dfrac49$ có bằng nhau không.

Gợi ý bài 3

So hai tích chéo chính xác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Mẫu $3;9$ đều khác $0$. Tính $2\times9=18$, $3\times4=12$.

2. $18\ne12$, nên hai phân số không bằng nhau.

Tự kiểm

Không chỉ so tử gấp đôi: mẫu $9$ không phải gấp đôi mẫu $3$.

Bài 4

Cốt lõi

Một bạn dùng tích chéo để gọi $\dfrac10$ bằng $\dfrac20$ vì cả hai tích đều $0$. Điều kiện nào đã bị bỏ?

Gợi ý bài 4

Kiểm hai mẫu trước khi nhân chéo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Quy tắc yêu cầu cả hai mẫu khác $0$, nhưng ở đây cả hai đều bằng $0$.

2. Hai cách viết không là phân số hợp lệ, nên dù tích chéo bằng nhau cũng không được áp dụng kết luận.

Tự kiểm

Phải sửa đối tượng hoặc dữ kiện trước, không chỉ thêm một bước nhân chéo khác.

Bài 5

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac{-4}{5}$ và $\dfrac{-12}{15}$ có bằng nhau không bằng tích chéo.

Gợi ý bài 5

So tử thứ nhất nhân mẫu thứ hai với mẫu thứ nhất nhân tử thứ hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Hai mẫu $5$ và $15$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(-4)\times(15)=-60$ và $(5)\times(-12)=-60$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $-60=-60$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Bài 6

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac{3}{-7}$ và $\dfrac{-9}{21}$ có bằng nhau không bằng tích chéo.

Gợi ý bài 6

So tử thứ nhất nhân mẫu thứ hai với mẫu thứ nhất nhân tử thứ hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Hai mẫu $-7$ và $21$ đều khác $0$, nên được dùng quy tắc tích chéo.

2. Tính $(3)\times(21)=63$ và $(-7)\times(-9)=63$. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau.

Tự kiểm

Giữ dấu trong hai tích; $63=63$ là kết quả so sánh chính xác, không dùng số thập phân gần đúng.

Bài 7

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac{-2}{5}$ và $\dfrac2{5}$ có bằng nhau không bằng tích chéo.

Gợi ý bài 7

Mẫu bằng nhau chưa đủ; dấu tử khác nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Hai mẫu $5$ khác $0$. Hai tích chéo $(-2)\times5=-10$, $5\times2=10$.

2. $-10\ne10$, nên không bằng nhau.

Tự kiểm

Hai phân số khác $0$ là hai số đối, nên không trùng giá trị.

Bài 8

Cốt lõi

Kiểm $\dfrac0{-4}$ và $\dfrac0{9}$ bằng tích chéo.

Gợi ý bài 8

Các mẫu âm, dương đều khác $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Hai mẫu $-4\ne0$ và $9\ne0$; tích chéo $0\times9=0$, $(-4)\times0=0$.

2. Hai tích bằng nhau, nên hai phân số bằng nhau; cả hai đều bằng $0$.

Tự kiểm

Đây khác trường hợp mẫu $0$: hai số chia hiện tại đều hợp lệ.

Bài 9

Cốt lõi

Tìm số nguyên $t$ biết $\dfrac t{10}=\dfrac{-2}{5}$.

Gợi ý bài 9

Nhân chéo sau khi kiểm hai mẫu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Hai mẫu $10$ và $5$ đều khác $0$, nên $5t=10(-2)=-20$.

2. $t=-4$ vì $5(-4)=-20$.

Tự kiểm

$(-4)5=10(-2)=-20$ kiểm lại đẳng thức ban đầu.

Bài 10

Cốt lõi

Tìm số nguyên $n$ biết $\dfrac3{-4}=\dfrac n{12}$.

Gợi ý bài 10

Giữ dấu âm của mẫu $-4$ trong tích chéo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Hai mẫu $-4;12$ đều khác $0$. Tích chéo cho $3\times12=(-4)n$, tức $36=(-4)n$.

2. $n=-9$ vì $(-4)(-9)=36$.

Tự kiểm

$\dfrac{-9}{12}$ là số âm như $\dfrac3{-4}$; dấu nghiệm phù hợp.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Cho $a$ nguyên từ $-3$ đến $3$. Tìm mọi $a$ để $\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac02$.

Gợi ý bài 11

Mẫu loại $a=1$; tích chéo với tử $0$ buộc tử bên trái bằng $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Mẫu $a-1\ne0$ yêu cầu $a\ne1$. Khi ấy $2(a+1)=(a-1)\times0=0$, nên $a+1=0$, tức $a=-1$.

2. $-1$ thuộc đoạn và không bị cấm. Thay lại $\dfrac0{-2}=\dfrac02=0$, nên nghiệm duy nhất là $-1$.

Tự kiểm

Không chọn $a=1$ chỉ vì xuất hiện ở mẫu; giá trị ấy bị cấm.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Bạn nói cộng $2$ vào cả tử và mẫu của hai phân số bằng nhau vẫn tạo hai phân số bằng nhau. Kiểm bằng $\dfrac{-1}{2}=\dfrac{-2}{4}$ và giải thích.

Gợi ý bài 12

Trước và sau thay đổi đều cần mẫu khác $0$; sau đó dùng tích chéo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Đẳng thức đầu đúng vì $(-1)4=2(-2)=-4$. Cộng $2$ vào mỗi tử, mẫu cho $\dfrac14$ và $\dfrac06$, đều hợp lệ.

2. Hai tích chéo sau là $1\times6=6$ và $4\times0=0$, không bằng nhau; lời khẳng định “vẫn bằng” sai.

3. Tính chất cơ bản dùng cùng phép nhân hoặc phép chia hợp lệ, không cho phép tự thay bằng cộng cùng một số.

Tự kiểm

Phản ví dụ giữ các mẫu mới $4;6$ đều khác $0$, nên bác do giá trị đổi chứ không do chia cho $0$.

6. Tự kiểm sau khi học

Dùng tiêu chuẩn tích chéo để giải thích vì sao nhân cả tử và mẫu với cùng số nguyên khác $0$ giữ giá trị.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Phân số bằng nhau và rút gọn. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.