Hai đường thẳng cắt nhau và giao điểm lớp 6

Điểm và đường thẳng trong mặt phẳng · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-34-B3

Sau bài này, em có thể:

• Chỉ giao và hai quan hệ thuộc.
• Phân biệt cắt/trùng và kiểm giả thiết.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Trong hình nguồn, A,B phân biệt xác định đường AB; C,D phân biệt xác định đường CD. Hai đường phân biệt cùng qua O, nên O thuộc cả hai. Điểm chung này gọi giao điểm. Chữ X nghiêng vẫn có giao; bài không tự cho góc vuông từ hình.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Giao điểm thuộc cả hai

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hai đường phân biệt a,b cùng qua O. O thuộc những đường nào?

Bắt đầu từ đâu?

Điểm chung thỏa hai quan hệ.

Gợi ý để em tự tìm

Viết từng quan hệ thuộc.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $O\in a$, $O\in b$.

2. Hai đường cắt nhau tại O.

Tự kiểm

Không chọn chỉ một đường cho điểm giao.

Ví dụ 2. Tên đường trong hình

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

AB và CD là hai đường phân biệt, giao tại O; A khác B, C khác D. Ghi câu mô tả bằng lời.

Bắt đầu từ đâu?

Tên dùng hai điểm, giao có một tên riêng.

Gợi ý để em tự tìm

O là điểm chung của cả hai.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đường AB cắt đường CD tại O.

2. Có $O\in AB$ và $O\in CD$.

Tự kiểm

Không gọi AB là giao điểm; AB đang là đường.

Ví dụ 3. Hai điểm chung có được không?

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hai đường a,b cùng qua O,P phân biệt. Có thể vẫn gọi a,b phân biệt không?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng tính duy nhất qua hai điểm.

Gợi ý để em tự tìm

Cả a,b qua cùng cặp O,P.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Qua O,P chỉ một đường, nên a,b trùng.

2. Không có hai đường phân biệt cắt tại hai điểm khác nhau.

Tự kiểm

Chữ phân biệt và hai điểm chung không thể cùng giữ trong mô hình này.

Ví dụ 4. Cắt không nhất thiết vuông

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hai đường phân biệt qua O tạo hình chữ X nghiêng, không góc vuông theo giả thiết. Có cắt nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

Cắt chỉ yêu cầu điểm chung.

Gợi ý để em tự tìm

O vẫn thuộc cả hai đường.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chúng cắt tại O dù không vuông góc.

2. Vuông góc là trường hợp riêng có thêm điều kiện góc vuông.

Tự kiểm

Không lấy hình chữ thập vuông làm định nghĩa duy nhất của cắt nhau.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau khi có một điểm chung. Điểm ấy là giao duy nhất: nếu thêm điểm chung khác thì hai đường qua cùng hai điểm phân biệt phải trùng. Cắt nhau không tự là vuông góc. Khi chưa biết phân biệt, một điểm chung vẫn có thể thuộc hai tên trùng đường.

Ví dụ 5. Trùng khác cắt

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

a và b là hai tên cùng một đường. Có gọi chúng là hai đường phân biệt cắt tại M trên đó không?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm từ phân biệt trước gọi giao.

Gợi ý để em tự tìm

Chúng có mọi điểm chung trên cùng đường.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Không gọi hai đường phân biệt cắt tại M; đúng là a,b trùng.

2. Một điểm M chung không loại các điểm chung khác khi đường trùng.

Tự kiểm

Chỉ thấy một điểm được ghi tên không có nghĩa chỉ có một điểm chung.

Ví dụ 6. Giao có thể ngoài khung vẽ

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hai nét ngắn biểu diễn phần của hai đường phân biệt chưa chạm trên giấy. Có đủ kết luận không cắt không?

Bắt đầu từ đâu?

Đường còn kéo dài ngoài nét.

Gợi ý để em tự tìm

Nét hữu hạn chưa thể hiện mọi điểm của đường.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chưa kết luận; có thể giao ở ngoài vùng vẽ, hoặc song song tùy dữ kiện.

2. Cần phép dựng/giả thiết của hai đường, không chỉ khoảng trống giữa hai nét.

Tự kiểm

Không tự mở rộng hình bằng suy đoán đo pixel.

Ví dụ 7. Đặt đường thứ hai

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Đã có a qua M. Muốn dựng b phân biệt cùng qua M, có được chỉ tô lại a màu khác không?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt là khác đường, không khác màu.

Gợi ý để em tự tìm

Chọn một hướng khác qua M.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tô lại a không tạo b phân biệt; phải dựng đường khác qua M.

2. Khi đó a,b cắt tại M vì có một điểm chung và không trùng.

Tự kiểm

Nếu chưa làm, ghi kế hoạch hướng khác thay vì nhận đã có bản dựng.

Ví dụ 8. Điểm ngoài giúp nhận phân biệt

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

A,B khác nhau trên a; b qua A và C, với C ngoài a. Chứng minh a,b phân biệt và cắt tại A.

Bắt đầu từ đâu?

C ngoài a bác b trùng a.

Gợi ý để em tự tìm

Nếu b trùng a thì C cũng trên a, trái giả thiết.

Lời giải và cách tự kiểm

1. b đi qua A,C. Nếu b trùng a thì C cũng thuộc a, trái dữ kiện C ngoài a; vì vậy a,b là hai đường phân biệt.

2. A thuộc a và thuộc b theo cách đặt. Hai đường phân biệt có A chung nên cắt tại A.

Tự kiểm

Tên AC hợp lệ vì C ngoài a nên C khác A.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Ba đường chung một điểm

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Ba đường a,b,c đôi một phân biệt đều qua O. Có ba cặp đường; có ba điểm giao khác nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

Đếm điểm khác với đếm cặp.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi cặp có O là điểm chung, và chỉ một giao vì hai đường phân biệt.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Cả ba cặp đều giao tại cùng O; chỉ một điểm giao khác nhau.

2. Không vẽ thêm hai điểm chỉ để mỗi cặp có một tên khác.

Tự kiểm

Điều kiện cùng qua O quyết định, không chỉ có ba đường.

Ví dụ 10. Ba cạnh kéo dài

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

A,B,C không thẳng hàng. Xét ba đường AB,BC,CA. Có một điểm chung cho cả ba không, và các giao từng cặp ở đâu?

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê từng cặp rồi kiểm có cùng điểm không.

Gợi ý để em tự tìm

AB/BC giao B, BC/CA giao C, CA/AB giao A; ba đỉnh khác nhau.

Lời giải và cách tự kiểm

1. AB và BC cắt tại B; BC và CA cắt tại C; CA và AB cắt tại A. Chúng là ba đường phân biệt vì A,B,C không thẳng hàng.

2. Nếu có điểm chung cả ba thì nó đặc biệt thuộc AB và CA. Hai đường này chỉ có giao A, nên điểm chung ấy buộc là A.

3. Nhưng A không thuộc BC vì ba đỉnh không thẳng hàng. Vậy không có một điểm chung cho cả ba đường; các giao từng cặp là ba đỉnh khác nhau.

Tự kiểm

Không đưa tên “đồng quy” vào như yêu cầu mới; chỉ cần mô tả bằng điểm chung.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Trong hình, hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại đâu? Ghi O thuộc những đường nào.

Gợi ý bài 1

Hình nguồn cho AB,CD phân biệt và O chung.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai đường cắt tại O.

2. Viết $O\in AB$, $O\in CD$.

Tự kiểm

Giữ tên O cho cùng một điểm giao, không lấy tên đường làm tên điểm.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua O và P với O khác P. Nhận định ấy có thể đúng không?

Gợi ý bài 2

Qua hai điểm chung phân biệt chỉ một đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Nếu hai đường đều qua O,P với O khác P, chúng phải trùng theo tính duy nhất.

2. Nhận định vẫn là hai đường phân biệt không thể đúng.

Tự kiểm

Không kết luận hai giao điểm cho hai đường phân biệt.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Hai đường thẳng cắt nhau có bắt buộc tạo góc vuông không?

Gợi ý bài 3

Điểm chung là điều kiện cắt, góc vuông là thêm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Không bắt buộc góc vuông; hai đường nghiêng vẫn có thể cắt tại một điểm.

2. Vuông góc chỉ một trường hợp riêng của cắt nhau.

Tự kiểm

Không lấy hình chữ thập vuông để thay định nghĩa chung.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Trên giấy riêng kẻ hai đường thẳng phân biệt cùng qua M. Chỉ giao điểm và ghi một câu mô tả.

Gợi ý bài 4

Giữ hai đường khác hướng cùng qua M.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Kế hoạch: kẻ a qua M, kẻ b qua M với hướng khác để không trùng.

2. Sau làm ghi a,b cắt tại M; nếu chưa làm thì chỉ mô tả kế hoạch và phép kiểm điểm M chung.

Tự kiểm

Màu nét khác không thay điều kiện hai đường phân biệt.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Đường d,e phân biệt cùng qua K. Viết quan hệ thuộc và kết luận giao.

Gợi ý bài 5

Điểm K chung hai đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $K\in d$, $K\in e$.

2. d,e cắt tại K.

Tự kiểm

Phân biệt giúp loại trường hợp hai tên trùng đường.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Hai đường p,q được nói phân biệt nhưng cùng qua A,B với A khác B. Tìm mâu thuẫn.

Gợi ý bài 6

Hai điểm chung phân biệt quyết định cùng một đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Qua A,B chỉ một đường.

2. p,q phải trùng nên mâu thuẫn với phân biệt.

Tự kiểm

Không chữa bằng nói chúng cắt hai lần.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Một đường đứng và một đường nghiêng cắt tại M. Có cần góc vuông để gọi cắt không?

Gợi ý bài 7

Giữ định nghĩa điểm chung.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Không cần; chúng đã có M chung và là hai đường phân biệt.

2. Gọi cắt tại M, chưa gọi vuông góc nếu không có điều kiện đó.

Tự kiểm

Không tự đo góc từ hình để thêm giả thiết.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Chỉ biết P thuộc a và b, chưa biết a,b phân biệt. Có gọi chắc là hai đường cắt nhau không?

Gợi ý bài 8

Có thể hai tên cùng một đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. P chung phù hợp cả trường hợp trùng và trường hợp cắt.

2. Cần xác nhận phân biệt mới dùng cách gọi hai đường cắt tại một điểm.

Tự kiểm

Không bỏ từ phân biệt của định nghĩa.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Muốn vẽ hai đường qua N và ghi giao N, cần thêm điều kiện nào khi vẽ?

Gợi ý bài 9

Hai nét phải là hai đường khác nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Chọn hai hướng khác nhau qua N, kéo hai phía.

2. Sau làm kiểm cả hai qua N và không trùng; khi đó giao là N.

Tự kiểm

Nếu chưa vẽ thì ghi thao tác dự kiến, không nhận đã quan sát.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Nếu hai đường phân biệt cắt tại O, có thể có Q khác O thuộc cả hai không?

Gợi ý bài 10

Hai điểm chung sẽ buộc trùng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nếu Q chung thì cả hai qua O,Q phân biệt nên cùng một đường.

2. Trái phân biệt, vậy không có Q như thế.

Tự kiểm

Đây là lý do giao của hai đường phân biệt là duy nhất.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

A nằm trên d; B ngoài d. Đường AB có cắt d không? Chứng minh nó không trùng d.

Gợi ý bài 11

B ngoài d nên B khác A.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. AB chứa B nhưng d không chứa B, nên hai đường khác nhau.

2. A thuộc cả hai, vậy AB cắt d tại A.

Tự kiểm

Không chỉ nói A chung mà quên khả năng trùng; B ngoài đã loại khả năng đó.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Ba đường phân biệt a,b,c: a và b cắt O; b và c cắt P khác O. Có thể O cũng thuộc c không? Giải thích.

Gợi ý bài 12

Nếu O thuộc c thì b,c có hai điểm chung.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. b,c đã cùng qua P; nếu thêm O với O khác P thì chúng trùng.

2. Trái phân biệt, nên O không thuộc c.

Tự kiểm

Không cần biết a,c cắt ở đâu để trả lời.

6. Tự kiểm sau khi học

Viết hai quan hệ thuộc tại giao, kiểm có thêm điểm chung không và vì sao hai đường khác.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Điểm và đường thẳng trong mặt phẳng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.