Nhân hai lũy thừa cùng cơ số lớp 6

Lũy thừa với số mũ tự nhiên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-04-B3

Sau bài này, em có thể:

• Nhân hai hoặc nhiều lũy thừa cùng cơ số với số mũ dương.
• Kiểm cơ số, phép toán và trường hợp cơ số 0,1 trước khi biến đổi hoặc tìm ngược.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

$2^2$ có hai thừa số 2, còn $2^3$ có ba. Khi nhân hai nhóm, ta giữ cả năm thừa số. Cơ số vẫn là số 2 đang lặp; chỉ số lượng thừa số thay đổi. Nếu một nhóm dùng cơ số 3 thì có còn năm thừa số đều bằng 2 không?

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Ghép hai nhóm thừa số

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $2^2\cdot2^3$ thành một lũy thừa, rồi tính. Vì sao số mũ là 5?

Bắt đầu từ đâu?

Mở hai nhóm ra và giữ đủ các thừa số.

Gợi ý để em tự tìm

Nhóm đầu có 2, nhóm sau có 3 thừa số bằng 2.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $2^2\cdot2^3=(2\cdot2)(2\cdot2\cdot2)$, gồm $2+3=5$ thừa số bằng 2.

2. Vì vậy bằng $2^5=32$; kiểm trực tiếp $4\cdot8=32$.

Tự kiểm

Cộng 2 và 3 là cộng số lượng thừa số, không nhân cơ số để đổi thành 4.

Ví dụ 2. Giữ cơ số, cộng số lần lặp

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $5^3\cdot5^2$ thành một lũy thừa. Em có cần đổi cơ số thành 25 không?

Bắt đầu từ đâu?

Hai nhóm đều có thừa số 5 nên cơ số được giữ.

Gợi ý để em tự tìm

Ba thừa số ghép với hai thừa số thành năm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Có $3+2=5$ thừa số bằng 5 sau khi ghép.

2. Viết $5^3\cdot5^2=5^5$. Không đổi cơ số thành 25 trong quy tắc đang dùng.

Tự kiểm

Mở $5^{5}$ phải cho đúng năm thừa số 5 của hai nhóm ban đầu.

Ví dụ 3. Một thừa số đứng riêng

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $7^2\cdot7$ thành một lũy thừa. Số 7 đứng riêng đóng góp số mũ bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Viết thừa số riêng với số mũ 1.

Gợi ý để em tự tìm

$7=7^{1}$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $7^2\cdot7=7^2\cdot7^1$, có $2+1=3$ thừa số bằng 7.

2. Vậy bằng $7^3=343$; trực tiếp $49\cdot7=343$.

Tự kiểm

Không bỏ thừa số 7 hoặc cộng 7 vào số mũ 2.

Ví dụ 4. Bác cách nhân hai số mũ

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn viết $3^2\cdot3^3=3^6$. Hãy đếm thừa số và kiểm giá trị để sửa.

Bắt đầu từ đâu?

Phép nhân ghép các nhóm, không lặp mỗi nhóm nhiều lần như nhân số mũ.

Gợi ý để em tự tìm

Tổng số thừa số là $2+3$, không phải 2 nhân 3.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tích có $2+3=5$ thừa số 3 nên đúng là $3^5$.

2. Giá trị đúng $9\cdot27=243$; $3^6=729$ khác 243.

Tự kiểm

Cơ số 3 đã được giữ đúng; lỗi nằm ở phép tính số mũ.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a\in\mathbb N$ và $m,n$ là số nguyên dương, $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$ Cùng cơ số thì giữ cơ số và cộng số mũ vì ghép số thừa số. Số $a$ đứng riêng tương ứng $a^1$. Nhiều nhóm cùng cơ số cũng cộng số lần lặp của từng nhóm. Cơ số 0 được phép ở đây vì các số mũ đều dương và chỉ có phép nhân; không tự áp dụng công thức cho phép cộng hoặc hai cơ số khác nhau.

Ví dụ 5. Cơ số không vẫn nhân được

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $0^2\cdot0^4$ thành một lũy thừa rồi tính. Có cần loại vì cơ số 0 không?

Bắt đầu từ đâu?

Đây là phép nhân, không có số chia 0.

Gợi ý để em tự tìm

Cả hai số mũ đều dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ghép hai và bốn thừa số 0 được $0^{2+4}=0^6$.

2. $0^2=0$, $0^4=0$, nên tích $0\cdot0=0$, đúng bằng $0^6$.

Tự kiểm

Không dùng hạn chế chia cho 0 để cấm một phép nhân hợp lệ.

Ví dụ 6. Cơ số một vẫn giữ cách đếm

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $1^3\cdot1^5$ thành một lũy thừa theo quy tắc và nêu giá trị.

Bắt đầu từ đâu?

Số mũ ghi số thừa số dù giá trị không thay đổi.

Gợi ý để em tự tìm

$3+5=8$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Có tám thừa số 1, nên quy tắc cho $1^{3+5}=1^8$.

2. Mỗi nhóm có giá trị 1, tích $1\cdot1=1$, cũng là giá trị của $1^8$.

Tự kiểm

Không suy số mũ phải là 1 chỉ vì giá trị cả tích bằng 1.

Ví dụ 7. Ba nhóm có một nhóm đơn

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $2^3\cdot2\cdot2^4$ thành một lũy thừa và tính.

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê số mũ của cả ba nhóm trước khi cộng.

Gợi ý để em tự tìm

Các số lần lặp là 3,1,4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $2^3\cdot2^1\cdot2^4=2^{3+1+4}=2^8$.

2. Giá trị $2^8=256$; kiểm $8\cdot2\cdot16=256$.

Tự kiểm

Không cộng thành $3+4$ rồi quên thừa số 2 riêng.

Ví dụ 8. Hai cơ số khác nhau

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn đổi $2^3\cdot5^2$ thành $10^5$ bằng cách nhân cơ số, cộng số mũ. Quy tắc cùng cơ số có cho phép không?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm hai cơ số trước khi dùng công thức.

Gợi ý để em tự tìm

2 khác 5 nên chưa có một loại thừa số chung.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Quy tắc không áp dụng vì cơ số 2 và 5 khác nhau.

2. Tích đúng $2^3\cdot5^2=8\cdot25=200$, còn $10^5=100\,000$ nên không bằng nhau.

Tự kiểm

Không khẳng định mọi tích khác cơ số đều không viết được bằng một lũy thừa nào; chỉ bác phép biến đổi cụ thể đã nêu.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm ngược số mũ với cơ số lớn hơn một

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm số nguyên dương $m$ để $4^2\cdot4^m=4^5$. Giải thích vì sao không chỉ đoán.

Bắt đầu từ đâu?

Ghép thành một lũy thừa rồi so số lần nhân với cơ số 4.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi lần thêm một thừa số 4 làm tích dương lớn hơn.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tích trái là $4^{2+m}$. Với cơ số $4>1$, tăng số lần nhân làm giá trị tăng, nên để bằng $4^5$ cần $2+m=5$.

2. Vậy $m=3$. Kiểm $4^2\cdot4^3=16\cdot64=1\,024=4^5$.

Tự kiểm

Lập luận so số mũ đã nêu cơ số $4>1$; không được bỏ điều kiện này khi làm ngược.

Ví dụ 10. Cơ số một làm bài ngược khác đi

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm mọi số nguyên dương $n$ để $1^2\cdot1^n=1^5$. Có bắt buộc $n=3$ vì $2+n=5$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Tính giá trị lũy thừa cơ số 1 trước khi suy ra số mũ.

Gợi ý để em tự tìm

Mọi lũy thừa số mũ dương của 1 đều bằng 1.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Với mọi $n$ nguyên dương, vế trái $1^2\cdot1^n=1\cdot1=1$; vế phải $1^5=1$.

2. Vì vậy mọi $n$ nguyên dương đều thỏa, không chỉ $n=3$. Chẳng hạn $n=1$ vẫn cho 1 dù $2+1$ không bằng 5.

Tự kiểm

Hai lũy thừa bằng giá trị không bắt buộc cùng số mũ khi cơ số bằng 1.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Viết $3^2\cdot3^4$ thành một lũy thừa.

Gợi ý bài 1

Giữ cơ số 3 và đếm tổng số thừa số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai nhóm có 2 và 4 thừa số bằng 3, tổng $2+4=6$.

2. Vậy $3^2\cdot3^4=3^6$.

Tự kiểm

Không viết $3^{8}$ vì nhân số mũ không phải cách ghép các nhóm thừa số.

Bài 2

Cốt lõi

Viết $5^3\cdot5\cdot5^2$ thành một lũy thừa.

Gợi ý bài 2

Số 5 riêng bằng $5^{1}$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Số lần lặp trong ba nhóm là 3,1,2, tổng $3+1+2=6$.

2. Vậy biểu thức bằng $5^6$.

Tự kiểm

Không bỏ nhóm 5 đứng riêng hoặc xem nó có số mũ 0.

Bài 3

Cốt lõi

Tính $2^2\cdot2^3$ theo quy tắc rồi kiểm bằng nhân trực tiếp; tính thêm $0^2\cdot0^3$.

Gợi ý bài 3

Cả hai trường hợp đều cùng cơ số và có số mũ dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5=32$. Kiểm trực tiếp $4\cdot8=32$.

2. $0^2\cdot0^3=0^{2+3}=0^5=0$; trực tiếp $0\cdot0=0$.

Tự kiểm

Đã làm đủ hai phép tính, không loại cơ số 0 của phép nhân.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn đổi $2^3\cdot3^2$ thành $6^5$ bằng cách vừa nhân cơ số vừa cộng số mũ. Quy tắc cùng cơ số có áp dụng không? Tính để kiểm.

Gợi ý bài 4

Hai cơ số phải bằng nhau, không chỉ hai nhóm đều là lũy thừa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. 2 khác 3, nên không áp dụng quy tắc cùng cơ số.

2. Tích đúng $2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$.

3. $6^5=6\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6=7\,776$, khác 72; phép đổi sai.

Tự kiểm

Nêu được cả điều kiện bị thiếu và hai giá trị không bằng nhau.

Bài 5

Cốt lõi

Viết $6^2\cdot6^5$ thành một lũy thừa và giải thích số mũ.

Gợi ý bài 5

Cả hai nhóm đều gồm thừa số 6.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Tổng số thừa số là $2+5=7$.

2. Vì vậy viết $6^7$; mở ngược thấy đúng bảy thừa số 6, không phải mười thừa số.

Tự kiểm

Không nhân 2 với 5 thành số mũ 10.

Bài 6

Cốt lõi

Viết $10^2\cdot10^3\cdot10$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 6

Thừa số cuối có số mũ 1.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Số mũ tổng $2+3+1=6$, nên tích là $10^6$.

2. Giá trị $1\,000\,000$; kiểm $100\cdot1\,000\cdot10=1\,000\,000$.

Tự kiểm

Kết quả có sáu chữ số 0 sau chữ số 1.

Bài 7

Cốt lõi

Viết $0^3\cdot0^2$ thành lũy thừa và tính; nói rõ vì sao số mũ không bằng 0.

Gợi ý bài 7

Cộng hai số mũ dương, không lấy giá trị cơ số làm số mũ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $0^3\cdot0^2=0^{3+2}=0^5$.

2. Giá trị là 0, nhưng số mũ là 5 vì có năm thừa số 0.

Tự kiểm

Không xuất hiện $0^{0}$ trong phép biến đổi này.

Bài 8

Cốt lõi

Bạn viết $2^2\cdot2^3\cdot2=2^5$. Phát hiện phần bị quên và sửa cả giá trị.

Gợi ý bài 8

Đếm thêm thừa số 2 riêng bằng $2^{1}$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Số mũ phải là $2+3+1=6$, nên tích bằng $2^6$.

2. Giá trị $64$; kiểm trực tiếp $4\cdot8\cdot2=64$. Cách sai chỉ cho 32 vì bỏ thừa số cuối.

Tự kiểm

Đổi nhóm không làm mất một thừa số dù nó chưa được viết bằng ký hiệu lũy thừa.

Bài 9

Cốt lõi

Viết $2^2\cdot4$ thành một lũy thừa cơ số 2 bằng cách viết 4 thành tích các số 2.

Gợi ý bài 9

Không cộng chữ số 4 trực tiếp vào số mũ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Vì $4=2\cdot2=2^2$, tích là $2^2\cdot2^2$.

2. Ghép được $2^4=16$; kiểm $4\cdot4=16$.

Tự kiểm

Số mũ 4 đến từ $2+2$, không phải $2+4$.

Bài 10

Cốt lõi

Bạn dùng quy tắc cùng cơ số để đổi $5^2+5^3$ thành $5^5$. Chỉ điều kiện về phép toán bị sai rồi tính đúng.

Gợi ý bài 10

Quy tắc cộng số mũ đang dùng cho nhân, không cho cộng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Biểu thức có dấu cộng nên không gộp số mũ như phép nhân.

2. Tính $5^2+5^3=25+125=150$, còn $5^5=3\,125$ nên hai giá trị khác nhau.

Tự kiểm

Cùng cơ số là chưa đủ; phải đồng thời đúng phép toán.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi cặp số nguyên dương có thứ tự $(m;n)$ để $3^m\cdot3^n=3^6$ và $m<n$.

Gợi ý bài 11

Cơ số $3>1$ cho phép xét tổng số mũ, rồi giữ điều kiện thứ tự.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Tích là $3^{m+n}$; vì mỗi lần thêm thừa số 3 làm tích dương tăng, cần $m+n=6$.

2. Thử $m=1$ cho $n=5$; $m=2$ cho $n=4$, đều có $m<n$. Nếu $m\ge 3$ và $n>m$ thì tổng ít nhất $3+4=7$, nên bị loại.

3. Vậy chỉ có hai cặp $(1;5)$ và $(2;4)$. Cặp (3;3) tuy có tổng 6 nhưng không thỏa $m<n$.

Tự kiểm

Đã kiểm cả số mũ dương và thứ tự, không kể các cặp đảo lại.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi cơ số tự nhiên $a$ để $a^2\cdot a^3=a^6$. Vì sao có thể có trường hợp công thức sai tình cờ đúng?

Gợi ý bài 12

Viết tích đúng là $a^{5}$ rồi xét riêng cơ số 0,1.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Tích trái bằng $a^5$ theo quy tắc, nên cần $a^5=a^6$.

2. $a=0$ cho hai vế bằng 0; $a=1$ cho hai vế bằng 1, đều thỏa vì các số mũ đều dương.

3. Với $a\ge2$, giá trị $a^5>0$ và $a^6=a^5\cdot a\ge2a^5>a^5$, nên không thỏa. Chỉ $a\in\{0;1\}$.

Tự kiểm

Việc thử cơ số 0 hoặc 1 không đủ xác nhận một quy tắc nhân sai cho mọi cơ số.

6. Tự kiểm sau khi học

Khi nhân, cơ số 0 với số mũ dương vẫn hợp lệ. Khi chuyển sang phép chia, phải kiểm thêm số chia khác 0 và giữ đúng thứ tự các số mũ.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.