Nhân hai phân số có tử nguyên

Nhân và chia phân số có dấu · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-19-B1

Sau bài này, em có thể:

• Nhân hai phân số có tử nguyên và mẫu dương.
• Kiểm dấu, trường hợp có thừa số 0 và kết quả lớn hơn 1.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Lấy $\frac23$ của $\frac34$ đơn vị: chia $\frac34$ thành ba phần bằng nhau, mỗi phần $\frac14$; lấy hai phần được $\frac24=\frac12$. Phép nhân $\frac23\times\frac34$ biểu thị lượng ấy.

Khác với phép cộng, phép nhân cho mẫu là tích hai mẫu. Em hãy dự đoán dấu của $-\frac23\times\frac57$ trước khi nhân các số.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Một phần của một lượng phân số

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\frac23\times\frac34$ và đối chiếu cách lấy hai trong ba phần của $\frac34$ đơn vị.

Bắt đầu từ đâu?

Nhân tử và mẫu; sau đó rút gọn để so với mô hình chia phần.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac34$ chia thành ba phần bằng nhau, mỗi phần $\frac14$; hai phần là $\frac12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai thừa số cùng dấu nên tích dương.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $2\times3=6$ và $3\times4=12$. Tích là $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

3. Trong mô hình, $\frac34:3=\frac14$ đơn vị; lấy hai phần được $\frac24=\frac12$, khớp phép nhân.

Tự kiểm

Kết quả $\frac12$ là hai phần tư, không phải $\frac{2+3}{3+4}$.

Ví dụ 2. Tích có một thừa số âm

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac23\times\frac57$.

Bắt đầu từ đâu?

Xác định dấu trước để không quên dấu sau khi nhân tử.

Gợi ý để em tự tìm

Khác dấu nên tích âm; $2\times5=10$, $3\times7=21$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai thừa số khác dấu nên tích âm.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $(-2)\times5=-10$ và $3\times7=21$. Tích là $-\frac{10}{21}$.

Tự kiểm

$10$ và $21$ không có ước chung lớn hơn $1$; kết quả $-\frac{10}{21}$ giữ dấu âm.

Ví dụ 3. Hai thừa số âm

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $-\frac38\times\left(-\frac49\right)$ rồi rút gọn.

Bắt đầu từ đâu?

Hai dấu âm làm tích dương, không làm tử và mẫu cùng âm.

Gợi ý để em tự tìm

$3\times4=12$, $8\times9=72$; rút $\frac{12}{72}$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai thừa số cùng dấu nên tích dương.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $(-3)\times(-4)=12$ và $8\times9=72$. Tích là $\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$.

Tự kiểm

$\frac{12}{72}=\frac16>0$; rút gọn chia cả tử lẫn mẫu cho $12$.

Ví dụ 4. Có thừa số bằng 0

Cơ bản

Em thử trước:

Tính $\frac05\times\left(-\frac79\right)$.

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm giá trị của phân số tử $0$ trước.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac05=0$ vì mẫu khác $0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Một thừa số bằng $0$ nên tích bằng $0$.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $0\times(-7)=0$ và $5\times9=45$. Tích là $\frac{0}{45}=0$.

Tự kiểm

Tích bằng $0$; một thừa số âm không biến tích chứa $0$ thành số âm.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a,c$ nguyên và $b,d$ nguyên dương, $$\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}.$$ Nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn. Không cộng mẫu và không cần quy đồng để nhân.

Hai thừa số khác dấu cho tích âm; cùng dấu và khác $0$ cho tích dương. Có thừa số bằng $0$ thì tích bằng $0$. Tích có thể lớn hơn $1$; không tự đổi dấu hay đảo phân số để ép kết quả nhỏ hơn $1$.

Ví dụ 5. Sửa mẫu của phép nhân

Vận dụng

Em thử trước:

Bạn tính $\frac35\times\frac56=\frac{15}{11}$. Hãy sửa và phân biệt với cộng phân số.

Bắt đầu từ đâu?

Tử đã nhân đúng nhưng mẫu phải nhân, không cộng.

Gợi ý để em tự tìm

$5\times6=30$, không phải $5+6=11$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phép nhân cần mẫu $5\times6=30$, còn tử $3\times5=15$.

2. Tích đúng $\frac{15}{30}=\frac12$. Không dùng phép cộng mẫu cho phép nhân hay phép cộng phân số.

Tự kiểm

Tích hai số dương nhỏ hơn $1$ ở đây phải nhỏ hơn từng thừa số; $\frac{15}{11}>1$ không phù hợp.

Ví dụ 6. Số nguyên cũng viết thành phân số

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $2\times\left(-\frac37\right)$ bằng cách viết $2$ dưới dạng phân số.

Bắt đầu từ đâu?

Viết $2=\frac21$ rồi nhân như đã học.

Gợi ý để em tự tìm

Mẫu của số nguyên là $1$, không phải $2$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $2\times(-\frac37)=\frac21\times(-\frac37)$.

2. Tử $2\times(-3)=-6$, mẫu $1\times7=7$, nên tích $-\frac67$.

Tự kiểm

Cộng hai lần $-\frac37$ được $-\frac67$, một phép kiểm độc lập bằng phép cộng.

Ví dụ 7. Chuẩn hóa mẫu âm trước

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\frac5{-6}\times\frac3{10}$.

Bắt đầu từ đâu?

Đưa dấu âm ra trước để nhìn quy tắc dấu rõ ràng.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac5{-6}=-\frac56$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac5{-6}=-\frac56$, nên phép tính là $-\frac56\times\frac3{10}$.

2. Nhân được $-\frac{15}{60}=-\frac14$.

Tự kiểm

Chỉ một thừa số âm nên tích âm; mẫu cuối viết dương.

Ví dụ 8. Tích lớn hơn một đơn vị

Vận dụng

Em thử trước:

Tính $\frac73\times\frac32$. Có được phép nhận kết quả lớn hơn $1$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Không ép phân số phải có tử nhỏ hơn mẫu.

Gợi ý để em tự tìm

Tử $7\times3=21$, mẫu $3\times2=6$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai thừa số cùng dấu nên tích dương.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $7\times3=21$ và $3\times2=6$. Tích là $\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$.

3. $\frac72>1$ là một giá trị phân số hợp lệ; không cần đổi tử với mẫu.

Tự kiểm

Cả hai thừa số lớn hơn $1$, nên tích lớn hơn $1$ hợp lí.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Bác nhận định tích luôn nhỏ hơn

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bạn nói “tích hai phân số dương luôn nhỏ hơn từng thừa số”. Dùng $\frac32$ và $\frac43$ để kiểm.

Bắt đầu từ đâu?

Từ “luôn” cần đúng với cả phân số lớn hơn $1$.

Gợi ý để em tự tìm

Tính tích rồi so với cả hai số ban đầu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac32\times\frac43=\frac{12}{6}=2$.

2. $2>\frac32$ và $2>\frac43$, nên ví dụ bác nhận định. Không được ngầm giới hạn mọi phân số dương đều nhỏ hơn $1$.

Tự kiểm

Phản ví dụ giữ hai thừa số dương đúng như đề, đồng thời tích lớn hơn cả hai.

Ví dụ 10. Liệt kê theo dấu của tích

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Cho $n$ nguyên từ $-3$ đến $3$. Tìm mọi $n$ để $\frac n4\times\left(-\frac25\right)$ không âm.

Bắt đầu từ đâu?

Thừa số thứ hai âm; xét $n$ âm, bằng $0$ và dương.

Gợi ý để em tự tìm

$n<0$ cho hai thừa số âm; $n=0$ cho tích $0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu $n<0$, tích dương; nếu $n=0$, tích bằng $0$. Nếu $n>0$, hai thừa số khác dấu nên tích âm.

2. Vậy nhận $n=-3$, $-2$, $-1$, $0$. Đã xét hết ba trường hợp dấu và mọi số trong giới hạn.

Tự kiểm

Không bỏ $n=0$ vì điều kiện không âm cho phép bằng $0$.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính $-\frac34\times\frac25$.

Gợi ý bài 1

Khác dấu nên âm; nhân tử và mẫu rồi rút gọn $\frac6{20}$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai thừa số khác dấu nên tích âm.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $(-3)\times2=-6$ và $4\times5=20$. Tích là $-\frac{6}{20}=-\frac{3}{10}$.

Tự kiểm

$-\frac6{20}=-\frac3{10}$, chia cả tử lẫn mẫu cho $2$.

Bài 2

Cơ bản

Tính $-\frac56\times\left(-\frac3{10}\right)$.

Gợi ý bài 2

Hai thừa số âm nên kết quả dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Hai thừa số cùng dấu nên tích dương.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $(-5)\times(-3)=15$ và $6\times10=60$. Tích là $\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$.

Tự kiểm

$\frac{15}{60}=\frac14$; giữ dấu dương khi rút gọn.

Bài 3

Cơ bản

Tính $\frac07\times\left(-\frac49\right)$.

Gợi ý bài 3

Phân số thứ nhất bằng $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Một thừa số bằng $0$ nên tích bằng $0$.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $0\times(-4)=0$ và $7\times9=63$. Tích là $\frac{0}{63}=0$.

Tự kiểm

Mẫu $7$ và $9$ đều khác $0$ nên hai phân số xác định; tích bằng $0$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết $-\frac25\times\frac37=-\frac6{12}$. Sửa cả phép tính ở mẫu.

Gợi ý bài 4

Tử $-2\times3=-6$ đúng; mẫu là $5\times7$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Phải nhân các mẫu: $5\times7=35$, không phải $5+7=12$.

2. Tích đúng $-\frac25\times\frac37=-\frac6{35}$.

Tự kiểm

$\frac6{35}$ không rút gọn thêm; không giữ mẫu $12$ dù tử và dấu đúng.

Bài 5

Vận dụng

Tính $\frac29\times\frac34$.

Gợi ý bài 5

Tích dương; rút gọn $\frac6{36}$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Hai thừa số cùng dấu nên tích dương.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $2\times3=6$ và $9\times4=36$. Tích là $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Tự kiểm

$\frac6{36}=\frac16$ vì chia tử và mẫu cho $6$.

Bài 6

Vận dụng

Tính $-\frac7{10}\times\frac5{14}$.

Gợi ý bài 6

Một thừa số âm, kết quả phải âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Hai thừa số khác dấu nên tích âm.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $(-7)\times5=-35$ và $10\times14=140$. Tích là $-\frac{35}{140}=-\frac{1}{4}$.

Tự kiểm

$-\frac{35}{140}=-\frac14$; không để mẫu âm ở kết quả.

Bài 7

Vận dụng

Tính $-\frac23\times\left(-\frac98\right)$.

Gợi ý bài 7

Tử $(-2)\times(-9)$ dương; mẫu dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Hai thừa số cùng dấu nên tích dương.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $(-2)\times(-9)=18$ và $3\times8=24$. Tích là $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$.

Tự kiểm

$\frac{18}{24}=\frac34$; thừa số thứ hai có độ lớn hơn $1$ vẫn dùng cùng quy tắc.

Bài 8

Vận dụng

Tính $\frac45\times\frac0{11}$.

Gợi ý bài 8

Nhận thừa số $0$ để không tính thừa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Một thừa số bằng $0$ nên tích bằng $0$.

2. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $4\times0=0$ và $5\times11=55$. Tích là $\frac{0}{55}=0$.

Tự kiểm

Tích $0$ không bằng thừa số đầu $\frac45$; phép nhân với $0$ khác phép cộng với $0$.

Bài 9

Vận dụng

Tính $4\times\left(-\frac38\right)$, ghi kết quả là phân số có dấu.

Gợi ý bài 9

Viết $4=\frac41$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $4\times(-\frac38)=\frac41\times(-\frac38)=-\frac{12}{8}$.

2. Rút gọn $-\frac{12}{8}=-\frac32$.

Tự kiểm

Cộng bốn lần $-\frac38$ có tử $-3-3-3-3=-12$, khớp phép nhân.

Bài 10

Vận dụng

Tính $\frac5{-12}\times\left(-\frac67\right)$.

Gợi ý bài 10

Đưa phân số thứ nhất về $-\frac5{12}$ rồi xét hai dấu âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $\frac5{-12}=-\frac5{12}$, nên hai thừa số đều âm.

2. Tích $\frac{5\times6}{12\times7}=\frac{30}{84}=\frac5{14}$.

Tự kiểm

Kết quả dương; rút gọn chia cả tử và mẫu cho $6$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm số nguyên $a$ để $\frac a3\times\frac25=\frac45$.

Gợi ý bài 11

Nhân thành $\frac{2a}{15}$ và đưa $\frac45$ về mẫu $15$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $\frac a3\times\frac25=\frac{2a}{15}$, còn $\frac45=\frac{12}{15}$; cần $2a=12$.

2. $a=6$. Kiểm $\frac63\times\frac25=2\times\frac25=\frac45$.

Tự kiểm

Tử $6$ được phép lớn hơn mẫu $3$; đề không giới hạn phân số nhỏ hơn $1$.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Cho $n$ nguyên từ $1$ đến $8$. Tìm mọi $n$ để $\frac12<\frac n6\times\frac34<1$.

Gợi ý bài 12

Rút tích thành $\frac n8$ rồi so các tử trên mẫu $8$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. $\frac n6\times\frac34=\frac{3n}{24}=\frac n8$. Điều kiện $\frac48<\frac n8<\frac88$ tương đương $4<n<8$.

2. Vậy $n=5$, $6$, $7$. Hai đầu $4$ và $8$ cho các mốc bằng nên bị loại.

Tự kiểm

Tập tìm được nằm trong giới hạn $1$ đến $8$ và giữ cả hai bất đẳng thức nghiêm.

6. Tự kiểm sau khi học

Khi tử và mẫu của tích có thừa số chung, bài sau rút gọn trước để các phép nhân nhỏ hơn.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Nhân và chia phân số có dấu. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.