Nhận tập hợp số nguyên

Số nguyên âm, trục số và số đối · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-09-B2

Sau bài này, em có thể:

• Nhận số thuộc $\mathbb Z$, phân biệt số nguyên âm,0 và số nguyên dương.
• Giữ đúng $\mathbb N$ gồm 0 và các số nguyên dương; kiểm bao hàm, giá trị và các suy luận thiếu miền xác định.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Tập hợp số nguyên được ký hiệu $\mathbb Z$, gồm $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$. Bên cạnh các số tự nhiên quen thuộc, ta nhận thêm các số nguyên âm; dấu ba chấm nói rằng danh sách còn tiếp ở cả hai phía.

“Nguyên” liên quan đến nguyên đơn vị trên trục: một nửa đơn vị không tự trở thành số nguyên vì nó dương. Ngược lại, một cách viết có vạch phân số có thể vẫn biểu thị một số nguyên, nếu giá trị chia ra đúng số nguyên.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Ba loại trong tập số nguyên

Cốt lõi

Em thử trước:

Các số $-4,0,5$ có thuộc tập hợp số nguyên không? Chúng thuộc ba nhóm nào?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt giá trị âm, đúng mốc $0$ và dương; cả ba đều nguyên đơn vị.

Gợi ý để em tự tìm

Số nguyên gồm số nguyên âm, $0$ và số nguyên dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $-4$ là số nguyên âm, $0$ là số nguyên không âm cũng không dương, $5$ là số nguyên dương.

2. Cả ba đều thuộc tập hợp số nguyên, ký hiệu $\mathbb Z$.

Tự kiểm

Không loại số âm hoặc số $0$ khi danh sách không chỉ gồm số dương.

Ví dụ 2. Nửa đơn vị không là số nguyên

Cốt lõi

Em thử trước:

Số $\frac12$ có thuộc $\mathbb Z$ không? Vì sao có thể biết dù nó là số dương?

Bắt đầu từ đâu?

Dấu dương chưa bảo đảm nguyên đơn vị.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac12$ nằm giữa hai số nguyên liên tiếp $0$ và $1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac12$ là một nửa đơn vị, nằm giữa $0$ và $1$, không trùng một mốc số nguyên.

2. Vì vậy $\frac12\notin\mathbb Z$. Không phải mọi số dương đều là số nguyên dương.

Tự kiểm

Định nghĩa còn đòi tính nguyên, không chỉ phía so với $0$.

Ví dụ 3. Mọi số tự nhiên đều thuộc số nguyên

Cốt lõi

Em thử trước:

Vì sao các số tự nhiên $0,1,2,3,\ldots$ đều thuộc $\mathbb Z$? Có cần bỏ $0$ khỏi $\mathbb N$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng quy ước $\mathbb N$ có $0$ và các số nguyên dương.

Gợi ý để em tự tìm

Cả $0$ và phần dương đã có trong $\mathbb Z$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\mathbb N$ gồm $0$ và các số nguyên dương $1,2,3,\ldots$. Hai phần này đều nằm trong $\mathbb Z$.

2. Vì vậy mọi số tự nhiên là số nguyên, viết $\mathbb N\subset\mathbb Z$. Vẫn giữ $0\in\mathbb N$ theo quy ước của bài.

Tự kiểm

Không đổi quy ước số tự nhiên khi mở rộng sang số nguyên.

Ví dụ 4. Một số nguyên không thuộc tự nhiên

Cốt lõi

Em thử trước:

$-6$ thuộc $\mathbb Z$ hay $\mathbb N$ khi $\mathbb N=\{0;1;2;\ldots\}$?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm từng tập riêng, không buộc một số chỉ được thuộc một tập bất kỳ.

Gợi ý để em tự tìm

$-6$ là số nguyên âm, ngoài danh sách không âm của $\mathbb N$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $-6\in\mathbb Z$ vì là số nguyên âm.

2. $-6\notin\mathbb N$ vì tập tự nhiên đang dùng chỉ gồm $0$ và các số nguyên dương.

Tự kiểm

Đây là ví dụ bác chiều đảo “mọi số nguyên là số tự nhiên”.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

$\mathbb Z$ gồm ba phần: số nguyên âm, số $0$ và số nguyên dương. Với quy ước $\mathbb N=\{0;1;2;\ldots\}$, mọi số tự nhiên là số nguyên, nhưng các số nguyên âm không thuộc $\mathbb N$.

Phân loại theo giá trị đã biết, không chỉ theo dạng ghi. Số $0$ thuộc cả hai tập nhưng không âm và không dương. Khi một suy luận nói “ngoài tự nhiên thì âm”, phải kiểm có biết số đó thuộc $\mathbb Z$ trước hay chưa.

Ví dụ 5. Số 0 thuộc hai tập nhưng không hai phía

Cốt lõi

Em thử trước:

Phân loại $0$ theo $\mathbb Z$, $\mathbb N$ và theo âm/dương. Thuộc hai tập có làm nó vừa âm vừa dương không?

Bắt đầu từ đâu?

Tên tập và nhóm dấu là hai cách phân loại khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

$0\in\mathbb N$ và $0\in\mathbb Z$, nhưng không thuộc phía nào.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số $0$ thuộc cả $\mathbb N$ và $\mathbb Z$ theo định nghĩa hai tập.

2. Nó không là số nguyên âm hoặc số nguyên dương. Thuộc hai tập không đồng nghĩa thuộc cả hai nhóm dấu.

Tự kiểm

Không dùng việc $0$ thuộc hai tập để suy ra một kết luận về dấu.

Ví dụ 6. Đọc một phần hữu hạn của tập vô hạn

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết các số nguyên từ $-3$ đến $3$, nhận hai mốc, rồi đếm. Đó đã là toàn bộ $\mathbb Z$ chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê từ phía âm qua $0$ tới phía dương, nhưng giữ giới hạn đề hỏi.

Gợi ý để em tự tìm

Có ba số âm, số $0$ và ba số dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Danh sách là $-3,-2,-1,0,1,2,3$, có $3+1+3=7$ số.

2. Đây chỉ là phần trong giới hạn; $-4$ và $4$ cũng thuộc $\mathbb Z$ nhưng ngoài danh sách. Vì vậy chưa là toàn bộ tập số nguyên.

Tự kiểm

Không bỏ $0$ khi đếm và không coi dấu ba chấm trong định nghĩa là điểm dừng.

Ví dụ 7. Xét giá trị thay vì hình thức viết

Cốt lõi

Em thử trước:

Kiểm $\frac63$ và $\frac48$ có là số nguyên không. Cứ thấy vạch phân số là loại được chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Tính hoặc nhận giá trị rồi mới phân loại.

Gợi ý để em tự tìm

$6:3=2$, còn $\frac48$ bằng nửa đơn vị.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac63=6:3=2$, nên thuộc $\mathbb Z$ và $\mathbb N$.

2. $\frac48=\frac12$ nằm giữa $0$ và $1$, nên không thuộc $\mathbb Z$. Vạch phân số riêng nó không quyết định loại số.

Tự kiểm

Cùng cách viết dạng phân số có thể biểu thị hai loại giá trị khác nhau.

Ví dụ 8. Sửa mô tả tập còn thiếu một nhóm

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn mô tả $\mathbb Z$ chỉ gồm số nguyên âm và số nguyên dương. Mô tả ấy thiếu gì và sửa đầy đủ thế nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm giá trị ở đúng mốc, chưa thuộc hai phía.

Gợi ý để em tự tìm

Số $0$ là số nguyên nhưng không âm và không dương.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai nhóm âm và dương không chứa số $0$, trong khi $0\in\mathbb Z$.

2. Sửa: $\mathbb Z$ gồm các số nguyên âm, số $0$ và các số nguyên dương.

Tự kiểm

Đếm ba phần khác nhau, không đưa $0$ vào một nhóm dấu để bù chỗ thiếu.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Thiếu điều kiện thuộc số nguyên trong một suy luận

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bạn nói “số không thuộc $\mathbb N$ thì là số nguyên âm”. Dùng $\frac12$ để kiểm. Nếu thêm điều kiện ban đầu là số nguyên, kết luận có đúng không?

Bắt đầu từ đâu?

Một số ngoài tự nhiên chưa chắc thuộc số nguyên.

Gợi ý để em tự tìm

$\frac12$ không tự nhiên nhưng cũng không nguyên âm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\frac12\notin\mathbb N$, nhưng nó không thuộc $\mathbb Z$ và là số dương. Đây là phản ví dụ cho phát biểu không có điều kiện thêm.

2. Nếu biết số ban đầu thuộc $\mathbb Z$, thì nó thuộc một trong ba phần: âm, $0$ hoặc dương. Số $0$ và mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb N$.

3. Vì số đang xét không thuộc $\mathbb N$, hai phần sau bị loại; nó buộc phải là số nguyên âm. Điều kiện thuộc $\mathbb Z$ là thiết yếu.

Tự kiểm

Đã phân biệt chiều suy luận đúng trong một miền với phát biểu rộng hơn thiếu giả thiết.

Ví dụ 10. Liệt kê bộ ba theo ba nhóm

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Từ $-2;-1;0;1;2$, chọn ba số gồm đúng một số nguyên âm, một số nguyên dương và số $0$. Tìm mọi bộ, không đếm đảo thứ tự thành bộ mới.

Bắt đầu từ đâu?

Chọn một trong hai số âm và một trong hai số dương; $0$ đã cố định.

Gợi ý để em tự tìm

Có $2\times2=4$ cách chọn hai phía.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số âm có $-2$ hoặc $-1$, số dương có $1$ hoặc $2$, còn $0$ phải được chọn.

2. Bốn bộ là $(-2;0;1)$, $(-2;0;2)$, $(-1;0;1)$, $(-1;0;2)$.

3. Đã xét mọi lựa chọn ghép hai phía, nên đủ bốn bộ; đổi thứ tự ba thành viên không tạo bộ mới theo yêu cầu.

Tự kiểm

Không chọn hai số âm rồi bỏ $0$, vì từng nhóm đều có số lượng bắt buộc.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Trong $-4;0;7;\frac12$, số nào thuộc $\mathbb Z$?

Gợi ý bài 1

Kiểm giá trị nguyên đơn vị, không chỉ kiểm dấu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $-4$ nguyên âm, $0$ nguyên, $7$ nguyên dương, nên cả ba thuộc $\mathbb Z$.

2. $\frac12$ là nửa đơn vị giữa $0$ và $1$, nên không thuộc $\mathbb Z$.

Tự kiểm

Nhận đủ ba loại số nguyên và loại giá trị không nguyên.

Bài 2

Cốt lõi

Viết ba số nguyên âm và ba số nguyên dương em tự chọn.

Gợi ý bài 2

Chọn ba số khác nhau cho mỗi nhóm; không dùng $0$ làm số âm hoặc dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Một ví dụ mẫu: nhóm âm $-1,-2,-3$; nhóm dương $1,2,3$.

2. Cả sáu đều nguyên và đúng nhóm dấu. Em có thể chọn bộ khác nếu mỗi nhóm có đủ ba số nguyên đúng dấu; ví dụ mẫu không thay lựa chọn thực của em.

Tự kiểm

Tự đối chiếu từng số đã chọn với điều kiện, nhất là không đưa $0$ hoặc nửa đơn vị vào nhóm.

Bài 3

Cốt lõi

$-6$ thuộc $\mathbb Z$ hay $\mathbb N$ theo quy ước $\mathbb N$ gồm $0,1,2,\ldots$?

Gợi ý bài 3

Xét từng tập theo định nghĩa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $-6$ là số nguyên âm nên thuộc $\mathbb Z$.

2. Nó không thuộc $\mathbb N$ vì không phải $0$ hoặc số nguyên dương.

Tự kiểm

Không đảo bao hàm mọi số tự nhiên là số nguyên thành chiều ngược.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn nói số $0$ vừa là số nguyên âm vừa là số nguyên dương. Sửa cách phân loại.

Gợi ý bài 4

Đúng mốc không nằm ở phía âm hoặc phía dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $0$ là số nguyên, nhưng không âm cũng không dương.

2. Số nguyên âm nhỏ hơn $0$; số nguyên dương lớn hơn $0$. Vì vậy $0$ là phần riêng trong cách phân loại.

Tự kiểm

Giữ $0$ trong $\mathbb Z$ và $\mathbb N$, đồng thời không đưa vào hai nhóm dấu.

Bài 5

Cốt lõi

Trong $-9;2;0$, số nào thuộc $\mathbb Z$, số nào thuộc $\mathbb N$?

Gợi ý bài 5

Lập hai danh sách; có thể một số thuộc cả hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Cả ba $-9,2,0$ đều thuộc $\mathbb Z$.

2. Chỉ $2,0$ thuộc $\mathbb N$; loại $-9$ vì âm.

Tự kiểm

Không ép hai danh sách phải tách rời vì $\mathbb N$ nằm trong $\mathbb Z$.

Bài 6

Cốt lõi

$\frac32$ có là số nguyên không? Giải thích bằng đơn vị và nửa đơn vị.

Gợi ý bài 6

Ba nửa đơn vị gồm một đơn vị và một nửa còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $\frac32$ là ba nửa đơn vị: hai nửa tạo $1$, còn một nửa.

2. Giá trị nằm giữa hai số nguyên liên tiếp $1$ và $2$, nên không thuộc $\mathbb Z$.

Tự kiểm

Dương không đủ kết luận nguyên; không bỏ phần nửa còn lại.

Bài 7

Cốt lõi

Kiểm $\frac84$ có thuộc $\mathbb Z$ và $\mathbb N$ không.

Gợi ý bài 7

Tính giá trị $8:4$ trước khi phân loại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $\frac84=8:4=2$.

2. $2$ là số nguyên dương nên thuộc cả $\mathbb Z$ và $\mathbb N$.

Tự kiểm

Không loại chỉ vì hình thức có vạch phân số.

Bài 8

Cốt lõi

Phân loại $-5;-2;0;3$ thành số nguyên âm, số $0$ và số nguyên dương.

Gợi ý bài 8

Giữ số $0$ là một phần riêng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Nhóm nguyên âm là $-5,-2$; nhóm nguyên dương có $3$.

2. Số $0$ không thuộc hai nhóm dấu, được ghi riêng. Tất cả bốn số đều là số nguyên.

Tự kiểm

Mọi số ban đầu đã có đúng chỗ trong ba phần, không bỏ hoặc đếm lặp $0$.

Bài 9

Cốt lõi

Cách ghi $-0$ có tạo một số nguyên âm khác $0$ không? Giải thích theo mốc và độ lệch.

Gợi ý bài 9

Độ lệch bằng $0$ không đưa điểm sang phía âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Độ lệch $0$ đơn vị vẫn ở đúng mốc, nên cách ghi $-0$ không tạo vị trí mới; giá trị vẫn là $0$.

2. Vì $0$ không âm và không dương, không gọi $-0$ là một số nguyên âm mới.

Tự kiểm

Không chỉ nhìn ký tự trừ; số âm được tạo từ một độ lớn dương ở phía âm.

Bài 10

Cốt lõi

Bạn loại $+7$ khỏi $\mathbb Z$ vì chỉ thấy số $7$ trong dạng liệt kê của tập. Kiểm và sửa.

Gợi ý bài 10

Dấu cộng viết rõ không làm thay đổi giá trị số dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $+7$ và $7$ là hai cách ghi cùng giá trị dương.

2. Vì $7$ là số nguyên dương, $+7\in\mathbb Z$ và cũng thuộc $\mathbb N$.

Tự kiểm

Phân loại theo giá trị, không theo việc có viết dấu cộng hay không.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Từ $-3;0;2;\frac12$, chọn hai số khác nhau đều là số nguyên và đều không âm. Tìm mọi cặp, không phân biệt đảo thứ tự.

Gợi ý bài 11

Phải lọc cả tính nguyên lẫn điều kiện không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Loại $-3$ vì âm. Loại $\frac12$ vì không nguyên dù không âm. Chỉ còn $0,2$.

2. Vậy cặp duy nhất là $(0;2)$. Cả hai thỏa điều kiện và hai giá trị khác nhau; không còn ứng viên khác để ghép.

Tự kiểm

Đã giữ $0$ vì không âm, đồng thời không nhận nửa đơn vị chỉ vì nó dương.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Cho $A=\{0;2;4\}$. Bạn thấy mọi phần tử của $A$ là số tự nhiên và số nguyên, rồi kết luận $A=\mathbb N=\mathbb Z$. Kiểm từng đẳng thức bằng phần tử bị bỏ sót.

Gợi ý bài 12

Thuộc một tập không có nghĩa một danh sách nhỏ đã là toàn bộ tập ấy.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Các số $0,2,4$ đều thuộc $\mathbb N$ và $\mathbb Z$, nên nhận xét về từng phần tử đúng.

2. Nhưng $1\in\mathbb N$ mà $1\notin A$, nên $A\ne\mathbb N$. Cũng có $-1\in\mathbb Z$ mà $-1\notin A$, nên $A\ne\mathbb Z$.

3. Ngoài ra $-1\notin\mathbb N$, nên $\mathbb N\ne\mathbb Z$. Việc các phần tử của $A$ thuộc cả hai tập không kéo theo ba tập bằng nhau.

Tự kiểm

Đã chỉ phần tử cụ thể bác từng đẳng thức, không chỉ nhận xét danh sách có vẻ ngắn.

6. Tự kiểm sau khi học

Biểu diễn số nguyên trên trục số: chọn mốc, chiều dương và các khoảng đơn vị bằng nhau trước khi đọc điểm.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Số nguyên âm, trục số và số đối. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.