Phân biệt đoạn thẳng, tia và đường thẳng

Đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-36-B1

Sau bài này, em có thể:

• Nhận đoạn và các điểm thuộc đoạn.
• Phân biệt loại đối tượng và tên đảo.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Hình nguồn chỉ có nét từ A tới B với hai đầu mút, không mũi tên. Nó biểu diễn đoạn AB: gồm A,B và mọi điểm nằm giữa. Nếu kéo tiếp một phía từ A qua B thì đối tượng đổi thành tia; nếu kéo hai phía thì đang xét đường. Nói phần nào của đường được giữ quan trọng hơn độ dài nét hiển thị.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Hai đầu mút

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hình nguồn vẽ nét thẳng từ A tới B, A khác B, không mũi kéo dài. Đây là đoạn, tia hay đường?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm ranh giới hình được xét.

Gợi ý để em tự tìm

Hai đầu A,B được giữ, không kéo tiếp phía nào.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đoạn AB có hai đầu mút A,B và gồm các điểm nằm giữa hai đầu ấy.

2. Hình không có mũi tên kéo dài; đối tượng được nhận là đoạn thẳng AB.

Tự kiểm

Không thêm mũi tên rồi vẫn gọi cùng hình đoạn nguồn.

Ví dụ 2. Đầu mút có thuộc đoạn?

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Đoạn PQ với P khác Q có chứa chính P,Q không?

Bắt đầu từ đâu?

Định nghĩa nhận cả đầu, không chỉ phần trong.

Gợi ý để em tự tìm

Xét hai điểm được gọi đầu mút.

Lời giải và cách tự kiểm

1. P,Q là hai đầu mút của đoạn PQ nên cả P và Q đều thuộc đoạn.

2. Đoạn còn chứa mọi điểm nằm giữa P,Q; không chỉ có hai đầu mút.

Tự kiểm

Không nhầm phần trong đoạn với toàn đoạn gồm đầu.

Ví dụ 3. Điểm giữa thuộc đoạn

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

M nằm giữa A,B. M có thuộc đoạn AB không?

Bắt đầu từ đâu?

Điều kiện giữa đã đặt M ở phần trong.

Gợi ý để em tự tìm

Ba điểm phân biệt cùng đường, M ở trong hai đầu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. M nằm giữa A,B nên M thuộc phần nối hai đầu của đoạn AB.

2. Theo định nghĩa đoạn thẳng, $M\in AB$; A và B cũng thuộc đoạn, dù không nằm giữa hai đầu.

Tự kiểm

Không cần biết M chia hai phần bằng nhau để nhận thuộc.

Ví dụ 4. Ngoài đoạn trên đường

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Trên một đường theo A-B-C, C có thuộc đoạn AB không? Có thuộc đường AB không?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt giới hạn đoạn và phần kéo dài.

Gợi ý để em tự tìm

C ở sau B khi đi từ A.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Thứ tự A-B-C cho C ở phía ngoài B, không nằm giữa A,B và không trùng hai đầu.

2. Vì thế C không thuộc đoạn AB. C vẫn thuộc đường thẳng AB vì cả ba điểm thẳng hàng.

Tự kiểm

Ngoài đoạn không đồng nghĩa ngoài đường.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Đoạn AB, với A,B khác nhau, gồm hai đầu A,B và mọi điểm nằm giữa. AB và BA là cùng đoạn. Tia có một gốc và kéo một phía, đường kéo cả hai phía. Đoạn có độ dài hữu hạn nhưng không chỉ gồm hai điểm. Cùng độ dài chưa có nghĩa hai đoạn phải trùng vị trí.

Ví dụ 5. Đảo tên đoạn

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

A khác B. Đoạn AB và BA có phải hai đoạn khác nhau như tia AB,BA không?

Bắt đầu từ đâu?

Đoạn xác định bằng cùng hai đầu, không hướng.

Gợi ý để em tự tìm

Hai tên chỉ cùng phần từ A tới B, kể cả hai đầu.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Đoạn AB và đoạn BA có cùng hai đầu mút và cùng các điểm giữa A,B nên trùng nhau.

2. Tia AB có gốc A còn tia BA có gốc B; A,B khác nhau nên hai tia ấy không trùng, dù hai đoạn trùng.

Tự kiểm

Nói rõ loại đối tượng trước dùng hai chữ để so.

Ví dụ 6. Hữu hạn không chỉ hai điểm

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Đoạn AB dài bốn cm. Có chỉ hai điểm A,B vì độ dài hữu hạn không?

Bắt đầu từ đâu?

Độ dài hữu hạn và số điểm là hai câu hỏi khác.

Gợi ý để em tự tìm

Có thể chọn M ở giữa A,B.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chọn một điểm M nằm giữa A,B trên đoạn dài bốn cm.

2. Theo định nghĩa, M thuộc đoạn AB và M khác cả A,B.

3. Vậy đoạn AB không chỉ gồm hai đầu mút; M là một phản ví dụ cho nhận định đó.

Tự kiểm

Không dùng con số bốn cm làm số điểm của đoạn.

Ví dụ 7. Lập bản dựng

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Chưa vẽ. Nêu kế hoạch đoạn MN, P trong đoạn và Q ngoài đoạn.

Bắt đầu từ đâu?

Vẽ hai đầu khác nhau rồi kiểm vị trí từng điểm.

Gợi ý để em tự tìm

Không kéo nét thành tia khi yêu cầu đoạn.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Chọn M,N phân biệt, nối thành đoạn MN; đặt P giữa M,N và Q ngoài đoạn ấy.

2. Kiểm P khác hai đầu và nằm giữa; kiểm Q không trùng hai đầu cũng không nằm giữa M,N.

3. Sau khi thực hiện mới ghi vị trí thật; trước đó đây là kế hoạch vẽ đáp ứng yêu cầu.

Tự kiểm

Vị trí tâm chấm mới quyết định, không chỉ đặt chữ P gần nét.

Ví dụ 8. Cùng dài chưa là cùng đoạn

Dẫn dắt từng bước

Em thử trước:

Hai đoạn ở hai chỗ khác nhau đều dài ba cm. Có phải cùng một đoạn không?

Bắt đầu từ đâu?

Số đo và tập điểm của đoạn khác nhau.

Gợi ý để em tự tìm

Cùng độ dài không bắt hai cặp đầu trùng vị trí.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai đoạn dài ba cm có thể đặt ở hai vị trí khác nhau trên giấy, với hai cặp đầu mút khác nhau.

2. Chúng có độ dài bằng nhau nhưng không cùng tập điểm, nên không nhất thiết là một đoạn thẳng trùng nhau.

Tự kiểm

Khi sách nói hai đoạn bằng nhau theo độ dài, không hiểu là chúng phải ở cùng chỗ.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Ghép hai đoạn liền

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Ba điểm theo A-B-C. Hợp đoạn AB với BC có phải toàn đoạn AC không? Phần chung là gì?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng vị trí B giữa hai đầu ngoài.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi điểm từ A tới C thuộc ít nhất một phần A tới B hoặc B tới C.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Theo A-B-C, mọi điểm của AC nằm trên phần A đến B hoặc phần B đến C, nên hai đoạn AB,BC gộp lại thành AC.

2. Điểm nằm trong AB ở phía A của B, còn điểm nằm trong BC ở phía C của B; không điểm nào ngoài B thuộc cả hai.

3. Vì B thuộc cả hai đoạn, phần chung của chúng chỉ là điểm B.

Tự kiểm

Giữ giả thiết thứ tự; nếu B ngoài AC thì hai phần đang ghép khác.

Ví dụ 10. Hai phần có khoảng hở

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bốn điểm phân biệt theo A-B-C-D. Chỉ lấy đoạn AB và CD có phủ hết đoạn AD không?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm phần giữa B,C.

Gợi ý để em tự tìm

Hai đoạn không chứa các điểm nằm giữa B,C.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Theo A-B-C-D, chọn điểm X nằm giữa B,C.

2. X thuộc đoạn AD nhưng không thuộc AB và cũng không thuộc CD.

3. Vì còn thiếu X và phần giữa B,C, gộp AB với CD chưa được cả AD.

Tự kiểm

Không chỉ cộng số đầu mút để quyết định phần phủ hình.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Nhiệm vụ nền tảng

Trong hình, nêu hai đầu mút. Đây là đoạn, tia hay đường thẳng?

Gợi ý bài 1

Hình nguồn có hai đầu A,B và không mũi kéo dài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai đầu mút là A,B.

2. Đây là đoạn AB gồm hai đầu và các điểm giữa, không tia/đường kéo dài.

Tự kiểm

Không suy thêm số đo cm từ hình.

Bài 2

Nhiệm vụ nền tảng

Nếu M nằm giữa A,B thì M có thuộc đoạn AB không?

Gợi ý bài 2

Giữ điều kiện M nằm giữa A,B.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. M ở phần trong đoạn nối hai đầu.

2. M thuộc đoạn AB theo định nghĩa.

Tự kiểm

Không cần điều kiện cách đều hai đầu.

Bài 3

Nhiệm vụ nền tảng

Bạn nói đoạn AB có gốc A và kéo dài mãi qua B. Em đang mô tả đối tượng nào? Sửa cho đoạn.

Gợi ý bài 3

Gốc A và kéo dài mãi qua B là mô tả tia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Đối tượng bạn nói là tia AB, không đoạn.

2. Đoạn AB có hai đầu A,B và mọi điểm giữa, không kéo tiếp vô hạn.

Tự kiểm

Tên AB cần đi kèm loại đối tượng, không dùng chung lời mô tả.

Bài 4

Nhiệm vụ nền tảng

Vẽ đoạn MN trên giấy riêng, đặt P nằm giữa và Q ngoài đoạn. Ghi hai quan hệ.

Gợi ý bài 4

Kế hoạch tạo M,N khác nhau, nối đoạn rồi đặt P trong và Q ngoài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Chọn M,N phân biệt, vẽ đoạn MN, đặt P giữa M,N và chọn Q ngoài đoạn MN.

2. Kiểm P thuộc đoạn còn Q không thuộc đoạn; sau khi vẽ ghi vị trí thật của hai điểm. Chưa vẽ thì đây là kế hoạch, chưa phải bản quan sát.

Tự kiểm

Q ngoài đoạn có thể vẫn thuộc đường MN, không tự nhận ngoài cả đường.

Bài 5

Luyện tập có hướng dẫn

Đoạn EF có E khác F. Kể các loại điểm thuộc đoạn, không chỉ tên hai đầu.

Gợi ý bài 5

Đầu và điểm giữa đều nhận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. E,F là hai đầu thuộc đoạn.

2. Mọi điểm nằm giữa E,F cũng thuộc.

Tự kiểm

Không gọi đoạn chỉ hai điểm.

Bài 6

Luyện tập có hướng dẫn

Theo X-Y-Z trên một đường, Y có thuộc đoạn XZ không?

Gợi ý bài 6

Y giữa hai đầu X,Z.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Y nằm giữa X,Z theo thứ tự.

2. Y thuộc đoạn XZ.

Tự kiểm

Không cần $XY=YZ$.

Bài 7

Luyện tập có hướng dẫn

Theo X-Y-Z, Z có thuộc đoạn XY không? Có thuộc tia XY không?

Gợi ý bài 7

Đoạn dừng Y, tia tiếp hướng đó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Z ngoài đoạn XY nên không thuộc đoạn.

2. Z cùng hướng Y so X, nên thuộc tia XY.

Tự kiểm

Tên điểm thứ hai có vai trò khác trong đoạn và tia.

Bài 8

Luyện tập có hướng dẫn

Bạn gọi nét có gốc M kéo dài qua N mãi là đoạn MN. Sửa tên và mô tả đoạn đúng.

Gợi ý bài 8

Một phía kéo dài là tia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Nét mô tả là tia MN, với M khác N.

2. Đoạn MN chỉ có hai đầu M,N và phần giữa, không kéo mãi.

Tự kiểm

Không chỉ đổi tên nếu hình vẽ vẫn không khớp đối tượng được yêu cầu.

Bài 9

Luyện tập có hướng dẫn

Một chấm P nằm đúng đầu A của đoạn AB nhưng mang tên khác. P có thuộc đoạn không?

Gợi ý bài 9

Hai tên có thể cùng một vị trí.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $P=A$ và A là đầu thuộc đoạn.

2. P cũng thuộc đoạn AB, dù không nằm giữa A,B.

Tự kiểm

Không đòi mọi điểm thuộc đoạn đều là điểm trong.

Bài 10

Luyện tập có hướng dẫn

Hai đoạn AB và AC có chung đầu A. Có đủ kết luận trùng không?

Gợi ý bài 10

Một đầu chung chưa quyết định đầu còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nếu B khác C và nằm hai chỗ, phần nối từ A có thể khác.

2. Chưa đủ; cần xác nhận $B=C$ để hai đoạn cùng hai đầu, hoặc thông tin tương đương.

Tự kiểm

Không lấy một điểm chung làm toàn đoạn chung.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Theo A-B-C-D, hợp đoạn AC và BD có phủ đoạn AD không? Phần chung có chỉ một điểm không?

Gợi ý bài 11

Hai đoạn chồng trên phần B tới C.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Theo A-B-C-D, AC gồm phần A-B và B-C; BD gồm B-C và C-D.

2. Hai đoạn gộp phủ toàn AD, còn phần thuộc cả hai là đoạn BC, kể cả B,C; những điểm ngoài BC chỉ thuộc nhiều nhất một trong hai đoạn.

Tự kiểm

Giữ đúng thứ tự để biết chồng lặp và phủ đủ.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

A,B khác nhau. Có tia nào bằng chính đoạn AB không? Giải thích bằng một điểm sau đầu thứ hai.

Gợi ý bài 12

Tia kéo tiếp, đoạn có hai đầu hữu hạn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Trên tia AB, chọn C ở sau B; C thuộc tia nhưng ở ngoài đoạn AB, nên hai đối tượng không trùng nhau.

2. Với bất kì đoạn hữu hạn nào trên cùng đường, tia vẫn kéo dài qua đầu xa hơn của đoạn; vì thế một tia không thể là toàn bộ một đoạn thẳng hữu hạn.

Tự kiểm

Không cần so độ dài ảnh trên màn hình để phân biệt.

6. Tự kiểm sau khi học

Thử một điểm đầu, một điểm giữa và một điểm ngoài; đối chiếu phần được giữ của đường, rồi so đoạn với tia.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.