Chia đa thức cho một hạng tử – Toán lớp 7

Chia đa thức một biến · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-19-B1

Sau bài này, em có thể:

• Chia hết đa thức cho một hạng tử phù hợp.
• Phân biệt phép chia đa thức và phép chia các giá trị số.

1. Kiến thức và phương pháp

Phép chia đa thức cho một hạng tử khác đa thức không được kiểm bằng đẳng thức nhân. Chia từng hạng tử chỉ cho một thương là đa thức khi các số mũ sau phép chia vẫn không âm. Khi không chia hết, phải ghi thương và số dư thích hợp.

Chẳng hạn $6x^3:2x=3x^2$. Đẳng thức đa thức $6x^3=(2x)(3x^2)$ đúng cả tại $x=0$. Nhưng phép chia hai giá trị số tại một giá trị cụ thể chỉ thực hiện được khi giá trị số chia khác $0$.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Chia từng hạng tử

Cơ bản

Đề bài

Chia $8x^3+12x^2$ cho $4x$.

Nghĩ từ đâu?

Chia hệ số và trừ số mũ ở từng hạng tử.

Lời giải từng bước

1. $8x^3:4x=2x^2$ và $12x^2:4x=3x$.

2. Thương là $2x^2+3x$, số dư bằng $0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$(4x)(2x^2+3x)=8x^3+12x^2$.

Ví dụ 2. Dấu âm của số chia

Cơ bản

Đề bài

Chia $-10x^4+15x^2$ cho $-5x^2$.

Nghĩ từ đâu?

Xử lý dấu hệ số trước, rồi xét số mũ.

Lời giải từng bước

1. $(-10):(-5)=2$, $15:(-5)=-3$.

2. Thương là $2x^2-3$; hạng tử thứ hai có số mũ $2-2=0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$(-5x^2)(2x^2-3)=-10x^4+15x^2$.

Ví dụ 3. Chia cho một hằng khác không

Vận dụng

Đề bài

Chia $3x^2-6x+9$ cho $3$.

Nghĩ từ đâu?

Số chia không chứa biến nên mọi hệ số đều chia được.

Lời giải từng bước

1. Lần lượt chia các hệ số $3,-6,9$ cho $3$, được $1,-2,3$.

2. Thương là $x^2-2x+3$, số dư bằng $0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$3(x^2-2x+3)=3x^2-6x+9$.

Ví dụ 4. Hệ số phân số

Vận dụng

Đề bài

Chia $\dfrac32x^3-\dfrac12x$ cho $\dfrac12x$.

Nghĩ từ đâu?

Chia cho một phân số bằng nhân với nghịch đảo của nó.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac32:\dfrac12=3$ và $-\dfrac12:\dfrac12=-1$.

2. Thương là $3x^2-1$ và số dư bằng $0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$\dfrac12x(3x^2-1)=\dfrac32x^3-\dfrac12x$.

Ví dụ 5. Hạng tử không chia hết

Vận dụng

Đề bài

Chia $x^2+2$ cho $x$.

Nghĩ từ đâu?

Hạng tử hằng không phải là bội đa thức của $x$.

Lời giải từng bước

1. Hạng tử $x^2$ chia cho $x$ được $x$. Trừ $x\cdot x$ khỏi đa thức bị chia, còn $2$.

2. Thương là $x$, số dư $2$ có bậc $0$ nhỏ hơn bậc $1$ của $x$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$x^2+2=x\cdot x+2$.

Ví dụ 6. Phân biệt hai loại phép chia

Vận dụng

Đề bài

Đẳng thức $4x^2=(2x)(2x)$ cho phép tính $4x^2:2x$ tại $x=0$ không?

Nghĩ từ đâu?

Tách đẳng thức đa thức khỏi phép chia các giá trị số.

Lời giải từng bước

1. Đẳng thức đa thức đúng với mọi $x$, kể cả $x=0$, khi đó hai vế đều bằng $0$.

2. Ở $x=0$, phép chia giá trị là $0:0$, không xác định. Khi chia các giá trị, cần $x\ne0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng một đẳng thức nhân đúng để hợp thức hóa phép chia cho $0$.

Ví dụ 7. Tìm hệ số còn thiếu

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm $m$ để thương của $6x^3+mx^2$ cho $2x$ bằng $3x^2+5x$.

Nghĩ từ đâu?

Nhân số chia với thương yêu cầu, rồi so hệ số.

Lời giải từng bước

1. $(2x)(3x^2+5x)=6x^3+10x^2$.

2. So với $6x^3+mx^2$, hệ số của $x^2$ phải bằng nhau, nên $m=10$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Thay $m=10$ rồi chia từng hạng tử cho $2x$, được đúng thương đã cho.

Ví dụ 8. Số mũ lớn nhất của hạng tử chia

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm số tự nhiên $n$ lớn nhất để $4x^5+8x^3$ chia hết cho $2x^n$.

Nghĩ từ đâu?

Cả hai hạng tử phải còn số mũ không âm sau khi chia.

Lời giải từng bước

1. Các số mũ trong thương sẽ là $5-n$ và $3-n$. Vì vậy cần $n\le5$ và $n\le3$.

2. Giá trị lớn nhất là $n=3$. Khi đó thương là $2x^2+4$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Với $n=4$, hạng tử $8x^3$ không chia hết cho $2x^4$ trong vành đa thức; do đó không thể tăng $n$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Chia hết đa thức $6x^3-4x^2+2x$ cho $2x$, rồi nhân để kiểm.

Gợi ý bài 1

Chia ba hạng tử lần lượt cho cùng hạng tử $2x$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Các thương riêng là $3x^2$, $-2x$ và $1$.

2. Thương cần tìm là $3x^2-2x+1$, số dư $0$.

Tự kiểm

$(2x)(3x^2-2x+1)=6x^3-4x^2+2x$.

Bài 2

Cơ bản

Chia hết $-9x^4+6x^2$ cho $-3x^2$.

Gợi ý bài 2

Giữ dấu âm của số chia khi chia từng hệ số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $(-9):(-3)=3$ và $6:(-3)=-2$.

2. Thương là $3x^2-2$, số dư $0$.

Tự kiểm

$(-3x^2)(3x^2-2)=-9x^4+6x^2$.

Bài 3

Cơ bản

Chia $5x^2-10x+15$ cho đa thức hằng $5$.

Gợi ý bài 3

Chia từng hệ số cho $5$; bậc của các hạng tử không đổi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Các hệ số sau chia là $1,-2,3$.

2. Thương là $x^2-2x+3$ và số dư bằng $0$.

Tự kiểm

$5(x^2-2x+3)=5x^2-10x+15$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết phép chia đa thức $x^2+1$ cho $x$ có thương $x+1$ và dư $0$. Nhân để tìm lỗi rồi sửa.

Gợi ý bài 4

Nhân $x$ với thương bạn nêu, rồi so với đa thức bị chia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $x(x+1)=x^2+x$, không bằng $x^2+1$. Vì vậy thương đã nêu sai.

2. Đẳng thức đúng là $x^2+1=x\cdot x+1$; thương $x$, số dư $1$.

Tự kiểm

Bậc dư $0$ nhỏ hơn bậc số chia $1$.

Bài 5

Vận dụng

Chia $12x^4+6x^2$ cho $3x^2$.

Gợi ý bài 5

Hạng tử thứ hai chia xong trở thành hằng số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $12x^4:3x^2=4x^2$ và $6x^2:3x^2=2$.

2. Thương là $4x^2+2$, dư $0$.

Tự kiểm

$3x^2(4x^2+2)=12x^4+6x^2$.

Bài 6

Vận dụng

Chia $x^3-\dfrac32x$ cho $\dfrac12x$.

Gợi ý bài 6

Nhân hệ số với $2$ khi chia cho $\dfrac12$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $1:\dfrac12=2$ và $-\dfrac32:\dfrac12=-3$.

2. Thương là $2x^2-3$, dư $0$.

Tự kiểm

$\dfrac12x(2x^2-3)=x^3-\dfrac32x$.

Bài 7

Vận dụng

Chia $8x^3-4x^2-12x$ cho $-4x$.

Gợi ý bài 7

Chia cả hệ số âm lẫn dương cho $-4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Ba thương riêng lần lượt là $-2x^2$, $x$ và $3$.

2. Thương là $-2x^2+x+3$, dư $0$.

Tự kiểm

$(-4x)(-2x^2+x+3)=8x^3-4x^2-12x$.

Bài 8

Vận dụng

Phép chia đa thức $6x^2$ cho $3x$ có thương $2x$. Nếu tính thương của hai giá trị tại $x=0$, cần lưu ý gì?

Gợi ý bài 8

Thay vào đẳng thức nhân và vào phép chia giá trị riêng rẽ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $6x^2=(3x)(2x)$ đúng cả tại $x=0$.

2. Nhưng thương của hai giá trị ở đó là $0:0$, không xác định; khi tính thương giá trị cần $x\ne0$.

Tự kiểm

Không ghi $0:0=0$ dù đa thức thương nhận giá trị $0$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm $a$ để $10x^4+ax^2$ chia cho $5x^2$ có thương $2x^2-3$.

Gợi ý bài 9

Khôi phục đa thức bị chia từ số chia và thương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $5x^2(2x^2-3)=10x^4-15x^2$.

2. So hệ số $x^2$, suy ra $a=-15$.

Tự kiểm

Chia $10x^4-15x^2$ cho $5x^2$, được $2x^2-3$.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số tự nhiên $n$ để $6x^6-9x^2$ chia hết cho $3x^n$.

Gợi ý bài 10

Cần xét số mũ nhỏ nhất xuất hiện trong đa thức bị chia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Hai số mũ sau chia là $6-n$ và $2-n$, nên phải có $0\le n\le2$.

2. Mọi giá trị $n=0,1,2$ đều thỏa; thương tương ứng là $2x^6-3x^2$, $2x^5-3x$ và $2x^4-3$.

Tự kiểm

Với $n\ge3$, hạng tử $-9x^2$ không chia hết cho $3x^n$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Một đa thức $P$ chia hết cho $-2x$ có thương $3x^2-x+4$. Tìm $P$ và kiểm hệ số hằng của nó.

Gợi ý bài 11

Nhân $-2x$ với từng hạng tử của thương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $P=(-2x)(3x^2-x+4)=-6x^3+2x^2-8x$.

2. Mọi hạng tử đều chứa $x$, nên hệ số hằng của $P$ bằng $0$.

Tự kiểm

Chia lại từng hạng tử của $P$ cho $-2x$ khôi phục thương.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Chia $x^2+x+1$ cho $x$. Có thể tìm một thương đa thức khác để số dư bằng $0$ không?

Gợi ý bài 12

Tìm phép chia trước; sau đó xét giá trị tại $x=0$ của một bội của $x$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. $x^2+x+1=x(x+1)+1$, nên thương $x+1$, dư $1$.

2. Nếu đa thức là bội của $x$, nó phải bằng $0$ tại $x=0$. Đa thức này bằng $1$ tại đó, nên không có thương đa thức làm dư bằng $0$.

Tự kiểm

Đây là kiểm tra một điều kiện cần của chia hết cho $x$, không phải phép chia giá trị tại $x=0$.

5. Tự kiểm sau khi học

Nếu chưa giữ được dấu và số mũ, luyện lại từng hạng tử rồi mới chuyển sang phép chia có nhiều bước.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Chia đa thức một biến. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.