Đến nội dung chính

Chứng minh tam giác bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh lớp 7

THCSLớp 7Tam giác và các trường hợp bằng nhauMở mô-đun

Tam giác bằng nhau và trường hợp cạnh cạnh cạnh · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-31-B4

Trong chứng minh, cạnh chung, trung điểm và giả thiết độ dài cung cấp ba cặp cạnh. Chỉ sau kết luận bằng nhau mới chuyển sang cặp góc cần tìm.

Sau bài này, em có thể:

  • Chứng minh theo CCC với lý do từng cặp.
  • Suy phân giác, vuông góc hoặc góc bằng nhau đúng thứ tự.

Cần biết trước: Biết CCC, trung điểm và hai góc kề bù.

Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nghĩa là $AB=AC$; $A$ là đỉnh cân, $BC$ là đáy.

Viết rõ ba cặp cạnh cùng lý do. Nếu $AB=AC$, $M$ là trung điểm $BC$ thì $AB=AC$, $BM=CM$, $AM=AM$ cho $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo CCC. Từ đó mới suy các góc tương ứng.

Muốn kết luận một tia là phân giác trong, còn kiểm tia nằm trong góc. Muốn suy hai đường vuông góc từ hai góc bằng nhau, cần thêm quan hệ kề bù để mỗi góc bằng $90^\circ$. Các tam giác được xét đều không suy biến.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. CCC từ trung điểm và cạnh chung

Cơ bản

Đề bài

Tam giác $ABC$ có $AB=AC$, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $\angle BAM=\angle MAC$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $AB=AC$ theo giả thiết; $BM=CM$ vì $M$ là trung điểm; $AM$ chung.

  2. $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo CCC, nên $\angle BAM=\angle MAC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Góc tại $A$ chỉ được suy sau khi có hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ 2. Hai tam giác theo đường chéo

Cơ bản

Đề bài

Tứ giác $PQRS$ có $PQ=RS$, $QR=SP$; đường chéo $PR$ chia thành hai tam giác. Chứng minh $\triangle PQR=\triangle RSP$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $PQ=RS$, $QR=SP$ theo giả thiết; $PR=RP$ là cạnh chung.

  2. Ba cặp cạnh cho $\triangle PQR=\triangle RSP$ theo CCC.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Các đỉnh tương ứng là $P\leftrightarrow R$, $Q\leftrightarrow S$, $R\leftrightarrow P$.

Ví dụ 3. Góc tại đỉnh ứng nhau

Cơ bản

Đề bài

$MA=MB$, $NA=NB$ và hai tam giác $AMN,BMN$ không suy biến. Chứng minh $\angle ANM=\angle BNM$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $AM=BM$, $AN=BN$ theo giả thiết; $MN$ chung.

  2. $\triangle AMN=\triangle BMN$ theo CCC, nên hai góc tương ứng tại $N$ bằng nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đã giữ điều kiện không suy biến để các góc tam giác xác định.

Ví dụ 4. Từ CCC suy vuông góc đáy

Cơ bản

Đề bài

Tam giác $KLM$ có $KL=KM$, $N$ là trung điểm $LM$. Chứng minh $KN\perp LM$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $KL=KM$, $LN=MN$, $KN$ chung nên $\triangle KLN=\triangle KMN$ theo CCC.

  2. Suy ra $\angle LNK=\angle MNK$. Hai góc kề bù vì $L,N,M$ thẳng hàng.

  3. Mỗi góc bằng $90^\circ$, do đó $KN\perp LM$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Bằng nhau riêng lẻ chưa đủ vuông; tổng kề bù đã được dùng.

Ví dụ 5. Hai điểm cách đều hai đầu

Cơ bản

Đề bài

Hai tam giác $ABC,ABD$ không suy biến có $AC=AD$, $BC=BD$. Chứng minh $\angle CAB=\angle DAB$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $AC=AD$, $BC=BD$ và $AB$ chung.

  2. $\triangle CAB=\triangle DAB$ theo CCC, nên $\angle CAB=\angle DAB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần giả sử $C,D$ ở hai phía $AB$ để chứng minh chính đẳng thức góc này.

Ví dụ 6. Góc đối diện trong tứ giác

Cơ bản

Đề bài

Tứ giác $ABCD$ có $AB=AD$, $BC=CD$; hai tam giác theo đường chéo $AC$ không suy biến. Chứng minh $\angle ABC=\angle ADC$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $AB=AD$, $BC=DC$ và $AC$ chung.

  2. $\triangle ABC=\triangle ADC$ theo CCC, nên các góc tại $B,D$ bằng nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Thứ tự $ABC/ADC$ giữ $A,C$ và ghép $B$ với $D$.

Ví dụ 7. Hai kết luận từ một CCC

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM$ vừa phân giác góc $A$ vừa vuông góc $BC$.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $AB=AC$, $BM=CM$, $AM$ chung nên $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo CCC.

  2. Tại $A$, hai góc $BAM,MAC$ bằng nhau; vì $M$ ở trong đoạn $BC$, tia $AM$ nằm trong góc $BAC$. Tại $M$, hai góc $BMA,CMA$ bằng nhau và kề bù, nên đều $90^\circ$.

  3. $AM$ là phân giác góc $A$ và $AM\perp BC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai kết luận dùng hai cặp góc khác nhau của cùng một kết quả bằng nhau.

Ví dụ 8. Điều kiện tia phân giác trong

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$MA=MB$, $NA=NB$, $M\ne N$; hai tam giác $AMN,BMN$ không suy biến. Chứng minh $MN$ chia đôi góc $AMB$, nếu tia $MN$ nằm trong góc ấy.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải từng bước

  1. $MA=MB$, $NA=NB$, $MN$ chung nên $\triangle AMN=\triangle BMN$ theo CCC.

  2. Suy ra $\angle AMN=\angle BMN$. Tia $MN$ được cho nằm trong góc $AMB$.

  3. Vì có cả vị trí trong góc và hai góc bằng nhau, $MN$ là tia phân giác của góc $AMB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giữ giả thiết tia ở trong: đẳng thức hai góc không tự bảo đảm đúng phân giác trong.

3. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Bỏ không nêu cạnh chung. Ghi cạnh chung như cặp cạnh thứ ba.
Dùng góc cần chứng minh làm căn cứ. Chứng minh bằng cạnh trước rồi suy góc.

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tam giác $ABC$ có $AB=AC$, $M$ là trung điểm $BC$. Dùng CCC chứng minh $\triangle ABM=\triangle ACM$, rồi suy ra $\angle BAM=\angle MAC$.

Gợi ý bài 1

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. $AB=AC$ theo giả thiết; $BM=CM$ vì $M$ là trung điểm; $AM$ chung.

  2. $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo CCC, nên $\angle BAM=\angle MAC$.

Tự kiểm

Góc tại $A$ chỉ được suy sau khi có hai tam giác bằng nhau.

Bài 2

Cơ bản

Cho $AB=CD$, $BC=DA$ và đường chéo $AC$ của tứ giác $ABCD$. Chứng minh $\triangle ABC=\triangle CDA$.

Gợi ý bài 2

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. $AB=CD$, $BC=DA$ theo giả thiết; $AC=CA$ chung.

  2. $\triangle ABC=\triangle CDA$ theo CCC.

Tự kiểm

Thứ tự ghép là $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow A$.

Bài 3

Cơ bản

Cho $MA=MB$, $NA=NB$; hai tam giác $AMN,BMN$ không suy biến. Chứng minh $\angle AMN=\angle BMN$.

Gợi ý bài 3

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. $AM=BM$, $AN=BN$ và $MN$ chung.

  2. $\triangle AMN=\triangle BMN$ theo CCC, nên các góc tương ứng tại $M$ bằng nhau.

Tự kiểm

Không nhầm góc tại $N$ với góc được hỏi tại $M$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn chứng minh $\triangle ABM=\triangle ACM$ bằng $AB=AC$, $BM=CM$ nhưng không nhắc $AM$. Hoàn chỉnh lập luận.

Gợi ý bài 4

Cạnh chung vẫn là cặp cạnh thứ ba cần được ghi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. Bổ sung $AM=AM$ vì đây là cạnh chung của hai tam giác.

  2. Cùng hai cặp đã cho, đủ ba cặp cạnh tương ứng nên $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo CCC.

Tự kiểm

Cạnh chung chỉ được đếm một cặp, không thay hai cặp khác.

Bài 5

Cơ bản

Tam giác $PQR$ có $PQ=PR$; $S$ là trung điểm $QR$. Chứng minh $\angle PQS=\angle PRS$.

Gợi ý bài 5

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. $PQ=PR$, $QS=RS$, $PS$ chung nên $\triangle PQS=\triangle PRS$ theo CCC.

  2. Suy ra hai góc tương ứng tại $Q,R$ bằng nhau.

Tự kiểm

Tên góc giữ cùng đỉnh giữa $Q,R$.

Bài 6

Cơ bản

$AX=AY$, $BX=BY$; hai tam giác $XAB,YAB$ không suy biến. Chứng minh $\angle XBA=\angle YBA$.

Gợi ý bài 6

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. $XA=YA$, $XB=YB$ và $AB$ chung.

  2. $\triangle XAB=\triangle YAB$ theo CCC, nên các góc tại $B$ bằng nhau.

Tự kiểm

Không cần đo hình để chứng minh cặp cạnh chung.

Bài 7

Cơ bản

Tam giác $ABC$ có $AB=AC=5$ cm; $M$ là trung điểm $BC=6$ cm. Nêu đủ dữ kiện CCC của hai tam giác nhỏ.

Gợi ý bài 7

Chuyển độ dài cả đáy sang hai nửa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. $BM=CM=3$ cm; $AB=AC=5$ cm và $AM=AM$ chung.

  2. Vậy $\triangle ABM=\triangle ACM$ theo CCC.

Tự kiểm

Không lấy cả $BC=6$ cm làm cạnh của một tam giác nhỏ.

Bài 8

Cơ bản

Tứ giác $KLMN$ có $KL=MN$, $LM=NK$. Chứng minh hai tam giác theo đường chéo $KM$ bằng nhau.

Gợi ý bài 8

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. $KL=MN$, $LM=NK$ và $KM=MK$ chung.

  2. $\triangle KLM=\triangle MNK$ theo CCC.

Tự kiểm

Đỉnh ở giữa $L$ ứng với $N$, không ứng với $M$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tam giác $ABC$ có $AB=AC$, $M$ nằm trong đoạn $BC$. Nếu chỉ biết $BM+CM=BC$, có đủ dùng CCC cho $ABM,ACM$ không?

Gợi ý bài 9

Đẳng thức tổng đoạn không buộc hai đoạn bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. Vị trí $M$ trong đoạn chỉ cho tổng $BM+CM=BC$. Có thể $BM=2$, $CM=4$ cm, nên không suy $BM=CM$.

  2. Cạnh $AB=AC$ và $AM$ chung mới cho hai cặp. Thiếu cặp $BM=CM$, nên chưa đủ CCC.

Tự kiểm

Không đổi điều kiện thuộc đoạn thành điều kiện trung điểm.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Tam giác $PQR$ cân tại $P$, $S$ là trung điểm $QR$. Chứng minh $PS$ vuông góc $QR$ và hai tam giác nhỏ có cùng chu vi.

Gợi ý bài 10

Liệt kê ba cặp cạnh cùng lý do, rồi mới suy góc hoặc độ dài tương ứng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. $PQ=PR$, $QS=RS$, $PS$ chung nên $\triangle PQS=\triangle PRS$ theo CCC.

  2. Hai góc tại $S$ bằng nhau và kề bù, nên đều vuông. Ba cặp cạnh bằng nhau nên tổng ba cạnh của hai tam giác nhỏ cũng bằng nhau.

  3. Vậy $PS\perp QR$ và hai chu vi bằng nhau.

Tự kiểm

Độ dài $PS$ chưa cần tính để so hai tổng.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

$MA=MB$, $NA=NB$; hai tam giác $AMN,BMN$ không suy biến. Có suy $\angle MAN=\angle MBN$ không? Giải thích khác với suy tại $M$.

Gợi ý bài 11

Dùng cùng kết quả CCC nhưng chọn cặp góc khác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. $AM=BM$, $AN=BN$, $MN$ chung nên $\triangle AMN=\triangle BMN$.

  2. Ở bảng này $A\leftrightarrow B$, nên $\angle MAN=\angle MBN$. Hai góc tại $M$ cũng bằng nhau nhưng là kết luận khác.

Tự kiểm

Đỉnh giữa của tên góc phải đúng cặp cần suy.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Tứ giác $ABCD$ có $AB=CD$, $BC=DA$. Bạn muốn suy $\angle BAC=\angle DCA$ qua CCC theo $AC$. Hãy chứng minh và kiểm đúng thứ tự.

Gợi ý bài 12

Viết cả bảng tam giác trước khi đọc góc kết luận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. $AB=CD$, $BC=DA$, $AC=CA$ nên $\triangle ABC=\triangle CDA$ theo CCC.

  2. Trong bảng này $B\leftrightarrow D$, $A\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$. Vì vậy góc $BAC$ ứng $DCA$, đúng yêu cầu.

Tự kiểm

Không dùng kết luận góc để tạo một giả thiết cạnh; ba cặp đã có độc lập.

5. Tự kiểm sau khi học

Rà lại thứ tự góc được suy từ đẳng thức tam giác.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tam giác bằng nhau và trường hợp cạnh cạnh cạnh. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu