Dùng tính chất của phép nhân đa thức

Nhân đa thức một biến · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-18-B4

Sau bài này, em có thể:

• Dùng giao hoán, kết hợp và phân phối.
• Giải thích điều kiện khi triệt tiêu một thừa số hoặc một tổng tích.

1. Kiến thức và phương pháp

Nhân đa thức có tính giao hoán, kết hợp và phân phối đối với cộng. Đặt thừa số chung là đọc phân phối theo chiều ngược, chẳng hạn $xP+2P=(x+2)P$. Chỉ đặt đúng thừa số xuất hiện ở cả hai số hạng.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Đặt thừa số chung

Cơ bản

Đề bài

Tính hợp lí $(x+1)(x-2)+2(x+1)$.

Nghĩ từ đâu?

Hai số hạng cùng chứa thừa số $x+1$.

Lời giải từng bước

1. Đặt thừa số chung: $(x+1)[(x-2)+2]=x(x+1)$.

2. Khai triển được $x^2+x$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Khai triển riêng hai số hạng cũng thu được $x^2-x-2+2x+2=x^2+x$.

Ví dụ 2. Dùng giao hoán không khai triển

Cơ bản

Đề bài

Có cần khai triển lại để biết $(x-3)(2x+1)$ và $(2x+1)(x-3)$ bằng nhau không?

Nghĩ từ đâu?

Nhận ra cùng hai thừa số được đổi thứ tự.

Lời giải từng bước

1. Phép nhân đa thức có tính giao hoán, nên đổi thứ tự hai thừa số không đổi tích.

2. Vì vậy hai cách viết bằng nhau mà không cần khai triển lại.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đổi thứ tự thừa số không cho phép bỏ ngoặc bên trong mỗi thừa số.

Ví dụ 3. Triệt tiêu sau phân phối

Cơ bản

Đề bài

Tính $x(x^2+2)-2x$.

Nghĩ từ đâu?

Phân phối rồi nhóm các hạng tử đối nhau.

Lời giải từng bước

1. $x(x^2+2)-2x=x^3+2x-2x$.

2. Hai hạng tử đối nhau triệt tiêu; kết quả là $x^3$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số $2$ trong ngoặc tạo tích $2x$, không tạo hằng số $2$.

Ví dụ 4. Nhóm chung trước khi nhân

Cơ bản

Đề bài

Tính $(x+2)(x+1)+(x+2)(2-x)$.

Nghĩ từ đâu?

Đặt thừa số chung $x+2$ để thu gọn tổng trong ngoặc.

Lời giải từng bước

1. Biểu thức bằng $(x+2)[(x+1)+(2-x)]=3(x+2)$.

2. Kết quả là $3x+6$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tổng hai tích có bậc nhỏ hơn từng tích vì các hạng tử bậc hai triệt tiêu.

Ví dụ 5. Phân phối theo chiều ngược

Cơ bản

Đề bài

Viết $xP+3P$ thành tích và giải thích vì sao đúng với mọi đa thức $P$.

Nghĩ từ đâu?

Đọc tính chất phân phối theo chiều ngược.

Lời giải từng bước

1. Cùng thừa số $P$ xuất hiện trong hai số hạng, nên $xP+3P=(x+3)P$.

2. Khai triển lại $(x+3)P$ thu được chính $xP+3P$, xác nhận phép biến đổi.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không gộp hai đa thức khác nhau dưới cùng ký hiệu $P$ để đặt thừa số chung.

Ví dụ 6. Giải thích tính kết hợp

Cơ bản

Đề bài

Giải thích tính kết hợp $(AB)C=A(BC)$ mà không khai triển cụ thể mọi hệ số.

Nghĩ từ đâu?

Theo dõi một bộ gồm một hạng tử từ mỗi đa thức rồi xét toàn bộ các bộ.

Lời giải từng bước

1. Mỗi bộ một hạng tử từ $A$, một từ $B$ và một từ $C$ tạo cùng tích hệ số và cùng tổng số mũ, bất kể nhóm hai thừa số nào trước.

2. Cả hai cách nhân đều cộng đúng toàn bộ các tích ấy, nên thu được cùng đa thức.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nhóm lại các thừa số không làm thay đổi hoặc bỏ đi bất kỳ thừa số nào.

Ví dụ 7. Điều kiện tích chung bằng không

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Rút gọn $P(Q+R)-PQ$. Nếu $P$ khác đa thức $0$, khi nào kết quả là đa thức $0$?

Nghĩ từ đâu?

Phân phối rồi dùng tính chất bậc của tích hai đa thức khác không.

Lời giải từng bước

1. $P(Q+R)-PQ=PQ+PR-PQ=PR$.

2. Nếu $R=0$ thì tích bằng $0$. Nếu $R\ne0$, tích của hai hệ số cao nhất của $P,R$ khác $0$, nên $PR\ne0$.

3. Với $P\ne0$, kết quả bằng đa thức $0$ khi và chỉ khi $R=0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giả thiết $P\ne0$ cần thiết: nếu $P=0$ thì mọi $R$ đều cho tích $0$.

Ví dụ 8. Tự chứng minh hiệu hai bình phương

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tự khai triển $(A+B)(A-B)$ để chứng minh bằng $A^2-B^2$ với hai đa thức $A,B$.

Nghĩ từ đâu?

Giữ đủ bốn tích rồi dùng giao hoán để nhận hai hạng tử đối nhau.

Lời giải từng bước

1. Phân phối: $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$.

2. Vì $AB=BA$, hai hạng tử giữa triệt tiêu, nên kết quả bằng $A^2-B^2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Các bước phân phối chứng minh đẳng thức cho mọi đa thức $A,B$, thay vì chỉ kiểm một trường hợp số.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính hợp lí $(x+1)(x-2)+(x+1)\cdot2$.

Gợi ý bài 1

Đặt cùng thừa số $x+1$ ra ngoài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Biểu thức bằng $(x+1)[(x-2)+2]$.

2. Thu gọn được $x(x+1)=x^2+x$.

Tự kiểm

Số hạng $2$ phải được cộng trong ngoặc trước khi thu gọn.

Bài 2

Cơ bản

Có cần nhân lại để biết $(x-3)(2x+1)$ và $(2x+1)(x-3)$ bằng nhau không? Vì sao?

Gợi ý bài 2

Dùng tính chất đúng cho phép nhân đa thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Không cần nhân lại, vì hai tích chỉ đổi thứ tự của cùng hai thừa số.

2. Tính giao hoán của phép nhân đa thức xác nhận hai biểu thức bằng nhau.

Tự kiểm

Lập luận đổi chỗ này không áp dụng cho phép trừ hai đa thức.

Bài 3

Cơ bản

Tính $x(x^2+2)-2x$.

Gợi ý bài 3

Nhân $x$ với cả hai hạng tử trong ngoặc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Phân phối được $x^3+2x-2x$.

2. Thu gọn hai hạng tử đối nhau, kết quả là $x^3$.

Tự kiểm

Cặp triệt tiêu là $2x$ và $-2x$, không phải hai hạng tử hằng.

Bài 4

Cơ bản

Bạn nói $(x+1)(x+2)=x+1\cdot x+2$ vì bỏ ngoặc tùy ý. Dùng phân phối để nêu biểu thức đúng.

Gợi ý bài 4

Mỗi hạng tử trong ngoặc đầu ghép với cả hai hạng tử trong ngoặc sau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Bốn tích là $x^2$, $2x$, $x$ và $2$.

2. Cộng lại: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$. Bỏ ngoặc của tích cần phân phối, khác với bỏ ngoặc sau dấu cộng.

Tự kiểm

Tại $x=1$, tích bằng $6$, còn cách viết sai $x+1\cdot x+2$ bằng $4$.

Bài 5

Cơ bản

Tính hợp lí $x(x+2)+3(x+2)$.

Gợi ý bài 5

Nhận thừa số chung $x+2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Đặt chung được $(x+3)(x+2)$.

2. Khai triển: $x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$.

Tự kiểm

Khai triển ngược dạng tích thu được đúng hai số hạng ban đầu.

Bài 6

Cơ bản

Rút gọn $(x-1)(x+4)-(x-1)x$.

Gợi ý bài 6

Đặt $x-1$ chung và giữ dấu trừ trong ngoặc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Biểu thức bằng $(x-1)[(x+4)-x]$.

2. Thu gọn thành $4(x-1)=4x-4$.

Tự kiểm

Tại $x=2$, biểu thức ban đầu bằng $6-2=4$, đúng với $4x-4$.

Bài 7

Cơ bản

Tính $x^2(x+1)-x^3$.

Gợi ý bài 7

Phân phối trước khi tìm cặp hạng tử đối nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $x^2(x+1)-x^3=x^3+x^2-x^3$.

2. Hai hạng tử bậc ba triệt tiêu, còn $x^2$.

Tự kiểm

Hạng tử bậc hai vẫn còn sau khi hai hạng tử bậc ba mất đi.

Bài 8

Cơ bản

Vì sao $P(Q+R)=PQ+PR$ không có nghĩa $P+Q+R=PQ+PR$?

Gợi ý bài 8

Phân biệt cấu trúc tổng với cấu trúc tích và tìm một phản ví dụ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Tính phân phối bắt đầu từ $P$ nhân với tổng $Q+R$, không bắt đầu từ tổng $P+Q+R$.

2. Chọn các đa thức hằng $P=3$, $Q=R=1$. Khi ấy $P+Q+R=5$, còn $PQ+PR=6$, nên đẳng thức đề xuất sai.

Tự kiểm

Một phản ví dụ đủ bác bỏ khẳng định đúng với mọi đa thức.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Rút gọn $(x+a)(x+1)-(x+a)x$ và tìm $a$ để kết quả bằng $x-2$ như hai đa thức.

Gợi ý bài 9

Đặt $x+a$ chung rồi so hằng số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Biểu thức bằng $(x+a)[(x+1)-x]=x+a$.

2. Đa thức $x+a$ bằng $x-2$ khi và chỉ khi $a=-2$.

Tự kiểm

Không cần khai triển hai tích bậc hai; cùng thừa số đã làm lộ hằng số cần tìm.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Dùng phân phối chứng minh $(x+3)(x-3)=x^2-9$, rồi tìm mọi nghiệm của tích bằng $0$.

Gợi ý bài 10

Chứng minh khai triển trước; sau đó dùng tính chất tích hai số thực bằng không.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Phân phối: $x^2-3x+3x-9=x^2-9$.

2. Với mỗi giá trị thực của $x$, tích bằng $0$ khi $x+3=0$ hoặc $x-3=0$. Vì vậy các nghiệm là $x=-3$ và $x=3$.

Tự kiểm

Thay cả $-3$ và $3$ vào tích đều được $0$; tính chất tích bằng không xác nhận không có nghiệm khác.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $P\ne0$ và $P(Q-R)=0$ như hai đa thức. Có buộc $Q=R$ không? Giải thích.

Gợi ý bài 11

Giả sử hiệu khác không và xét hệ số cao nhất của tích.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Nếu $Q-R\ne0$, hệ số cao nhất của $P$ nhân hệ số cao nhất của $Q-R$ khác $0$. Tích không thể là đa thức $0$.

2. Điều đó trái giả thiết, nên $Q-R=0$, tức $Q=R$.

Tự kiểm

Nếu bỏ giả thiết $P\ne0$, chọn $P=0$, $Q=1$, $R=0$ cho tích bằng $0$ nhưng $Q\ne R$.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

So sánh $A(B+C)$ và $AB+C$. Khi nào hai đa thức bằng nhau nếu $A=2$ là hằng số?

Gợi ý bài 12

Lấy hiệu để xác định phần bị thiếu do phân phối sai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Hiệu là $(AB+AC)-(AB+C)=(A-1)C$.

2. Khi $A=2$, hiệu bằng $C$. Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi $C=0$.

Tự kiểm

Kết luận đúng cho mọi $B$ vì hai hạng tử $AB$ đã triệt tiêu khi lấy hiệu.

5. Tự kiểm sau khi học

Kiểm khai triển bằng phép thế và giữ phạm vi của phép kiểm số.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Nhân đa thức một biến. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.