Hiểu giá trị tuyệt đối là khoảng cách

Thứ tự, số đối và giá trị tuyệt đối · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-08-B4

Sau bài này, em có thể:

• Tính và giải thích giá trị tuyệt đối.
• Giải các điều kiện khoảng cách đơn giản.
• Liên hệ giá trị tuyệt đối với căn của bình phương.

1. Kiến thức và phương pháp

Giá trị tuyệt đối $|a|$ là khoảng cách từ điểm biểu diễn $a$ đến $0$. Nếu $a\ge0$ thì $|a|=a$; nếu $a<0$ thì $|a|=-a$.

Với $r>0$, điều kiện $|x|=r$ có hai nghiệm $x=r$ và $x=-r$. Với $r=0$ chỉ có $x=0$. Giá trị tuyệt đối không thể bằng một số âm.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Giá trị tuyệt đối và khoảng cách

Cơ bản

Đề bài

Tính $|-\frac{5}{4}|$ và giải thích bằng khoảng cách.

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách từ điểm đến gốc không âm; xét dấu của số trong dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải từng bước

1. Số $-\frac{5}{4}$ âm, nên giá trị tuyệt đối bằng $\frac{5}{4}$.

2. Điểm biểu diễn số ấy cách $O$ đúng $\frac{5}{4}$ đơn vị.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết quả không âm; nếu số đầu âm thì phải lấy số đối của nó.

Ví dụ 2. Giá trị tuyệt đối và khoảng cách

Cơ bản

Đề bài

Tính $|0|$ và giải thích bằng khoảng cách.

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách từ điểm đến gốc không âm; xét dấu của số trong dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải từng bước

1. Số $0$ không âm, nên giá trị tuyệt đối bằng $0$.

2. Điểm biểu diễn số ấy cách $O$ đúng $0$ đơn vị.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết quả không âm; nếu số đầu âm thì phải lấy số đối của nó.

Ví dụ 3. Giá trị tuyệt đối và khoảng cách

Cơ bản

Đề bài

Tính $|\frac{7}{10}|$ và giải thích bằng khoảng cách.

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách từ điểm đến gốc không âm; xét dấu của số trong dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải từng bước

1. Số $\frac{7}{10}$ không âm, nên giá trị tuyệt đối bằng $\frac{7}{10}$.

2. Điểm biểu diễn số ấy cách $O$ đúng $\frac{7}{10}$ đơn vị.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết quả không âm; nếu số đầu âm thì phải lấy số đối của nó.

Ví dụ 4. Căn âm trong dấu giá trị tuyệt đối

Cơ bản

Đề bài

Tính $|-\sqrt5|$.

Nghĩ từ đâu?

Số $-\sqrt5$ âm vì $\sqrt5>0$.

Lời giải từng bước

1. Giá trị tuyệt đối bằng số đối của số âm: $|-\sqrt5|=\sqrt5$.

2. Khoảng cách từ điểm $-\sqrt5$ đến gốc là $\sqrt5$ đơn vị.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$\sqrt5$ dương, đúng ý nghĩa khoảng cách.

Ví dụ 5. Hai điểm có cùng khoảng cách

Cơ bản

Đề bài

Tìm các số thực $x$ thỏa $|x|=2$.

Nghĩ từ đâu?

Điểm cách gốc hai đơn vị có thể ở bên trái hoặc bên phải.

Lời giải từng bước

1. Hai vị trí là tọa độ $-2$ và $2$.

2. Vậy $x=-2$ hoặc $x=2$; cả hai đều có giá trị tuyệt đối bằng $2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chỉ lấy nghiệm dương khi khoảng cách được cho dương.

Ví dụ 6. Căn bình phương và giá trị tuyệt đối

Cơ bản

Đề bài

Giải thích vì sao $\sqrt{x^2}=|x|$ với mọi số thực $x$.

Nghĩ từ đâu?

Xét hai miền dấu theo định nghĩa giá trị tuyệt đối.

Lời giải từng bước

1. Nếu $x\ge0$, cả hai vế bằng $x$.

2. Nếu $x<0$, cả hai vế bằng $-x$. Hai trường hợp bao quát mọi số thực.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết quả chung không âm và bình phương bằng $x^2$.

Ví dụ 7. Giá trị tuyệt đối của một hiệu

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm $x\in\mathbb R$ thỏa $|x-1|=2$.

Nghĩ từ đâu?

Đặt $y=x-1$; từ $|y|=2$ có hai khả năng $y=2$ hoặc $y=-2$.

Lời giải từng bước

1. $x-1=2$ cho $x=3$; $x-1=-2$ cho $x=-1$.

2. Thay lại $|3-1|=2$ và $|-1-1|=2$, nên cả hai giá trị thỏa.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai nghiệm đối xứng qua số $1$, không nhất thiết đối nhau qua $0$.

Ví dụ 8. Ràng buộc khoảng cách và tính nguyên

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm mọi số nguyên $n$ có $|n|<3$.

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách nhỏ hơn $3$ nghĩa là nằm nghiêm ngặt giữa $-3$ và $3$.

Lời giải từng bước

1. Điều kiện tương đương $-3<n<3$.

2. Các số nguyên là $-2,-1,0,1,2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không lấy $\pm3$ vì khoảng cách đúng bằng $3$, chưa thỏa dấu $<$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính $\left|-\dfrac74\right|;|0|;|2{,}5|$.

Gợi ý bài 1

Giá trị tuyệt đối không âm; số không âm giữ nguyên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $\left|-\dfrac74\right|=\dfrac74$ và $|0|=0$.

2. $|2{,}5|=2{,}5$.

Tự kiểm

Các kết quả đều là khoảng cách từ điểm đến gốc.

Bài 2

Cơ bản

Tính $|-\sqrt6|$ và giải thích bằng khoảng cách.

Gợi ý bài 2

$-\sqrt6$ nằm bên trái gốc cách gốc $\sqrt6$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Khoảng cách không âm, nên $|-\sqrt6|=\sqrt6$.

2. Điểm biểu diễn $-\sqrt6$ và $\sqrt6$ ở hai phía gốc với cùng khoảng cách.

Tự kiểm

Không cần đổi căn sang gần đúng để tính giá trị tuyệt đối.

Bài 3

Cơ bản

Tìm các số thực $x$ thỏa $|x|=\dfrac32$.

Gợi ý bài 3

Có hai phía của gốc cùng khoảng cách dương $\dfrac32$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Nếu $x\ge0$, $x=\dfrac32$. Nếu $x<0$, $-x=\dfrac32$ nên $x=-\dfrac32$.

2. Vậy có hai nghiệm $x=\pm\dfrac32$.

Tự kiểm

Thay từng giá trị vào đều cho $\dfrac32$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn nói $|-0{,}8|=-0{,}8$ vì không thấy phép tính bên trong. Dùng ý nghĩa khoảng cách để sửa.

Gợi ý bài 4

Dấu giá trị tuyệt đối tự nó biểu thị một phép lấy khoảng cách đến gốc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Điểm $-0{,}8$ cách gốc $0{,}8$ đơn vị.

2. Vì khoảng cách không âm, $|-0{,}8|=0{,}8$, không phải $-0{,}8$.

Tự kiểm

Không cần có cộng trừ bên trong mới thực hiện được giá trị tuyệt đối.

Bài 5

Cơ bản

Tính $|-\frac{11}{6}|$ và giải thích bằng khoảng cách.

Gợi ý bài 5

Khoảng cách từ điểm đến gốc không âm; xét dấu của số trong dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Số $-\frac{11}{6}$ âm, nên giá trị tuyệt đối bằng $\frac{11}{6}$.

2. Điểm biểu diễn số ấy cách $O$ đúng $\frac{11}{6}$ đơn vị.

Tự kiểm

Kết quả không âm; nếu số đầu âm thì phải lấy số đối của nó.

Bài 6

Cơ bản

Tính $|\frac{9}{20}|$ và giải thích bằng khoảng cách.

Gợi ý bài 6

Khoảng cách từ điểm đến gốc không âm; xét dấu của số trong dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Số $\frac{9}{20}$ không âm, nên giá trị tuyệt đối bằng $\frac{9}{20}$.

2. Điểm biểu diễn số ấy cách $O$ đúng $\frac{9}{20}$ đơn vị.

Tự kiểm

Kết quả không âm; nếu số đầu âm thì phải lấy số đối của nó.

Bài 7

Cơ bản

Tính $|\sqrt7|$ và $|-\sqrt7|$.

Gợi ý bài 7

Căn bậc hai số học dương; hai số trong dấu là hai số đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $|\sqrt7|=\sqrt7$ vì $\sqrt7>0$.

2. $|-\sqrt7|=\sqrt7$ vì lấy số đối của số âm.

Tự kiểm

Hai điểm có cùng khoảng cách đến gốc dù tọa độ khác nhau.

Bài 8

Cơ bản

Tìm $x\in\mathbb R$ sao cho $|x|=0$.

Gợi ý bài 8

Điểm nào có khoảng cách đến gốc bằng $0$?

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Chỉ điểm gốc có khoảng cách $0$.

2. Vậy $x=0$, và $|0|=0$ kiểm đúng.

Tự kiểm

Không ghi hai nghiệm $\pm0$ như hai số khác nhau.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm $x\in\mathbb R$ thỏa $|x+\dfrac12|=\dfrac32$.

Gợi ý bài 9

Biểu thức trong dấu có thể bằng $\dfrac32$ hoặc $-\dfrac32$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $x+\dfrac12=\dfrac32$ cho $x=1$; $x+\dfrac12=-\dfrac32$ cho $x=-2$.

2. Cả hai nghiệm thỏa khi thay lại, nên $x\in\{1,-2\}$.

Tự kiểm

Hai nhánh đều cần xét; không chỉ chọn dấu cùng với số đã cho.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số nguyên $n$ sao cho $|n|\le\dfrac52$.

Gợi ý bài 10

Khoảng cách không quá $2{,}5$ nghĩa là $-2{,}5\le n\le2{,}5$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Các số nguyên trong khoảng là $-2,-1,0,1,2$.

2. Các số nguyên tiếp theo $\pm3$ có khoảng cách $3>2{,}5$, nên danh sách đầy đủ.

Tự kiểm

Hai biên $\pm2{,}5$ không phải số nguyên nên không được liệt kê.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Có thể có $|a|=|b|$ nhưng $a\ne b$ không? Nêu ví dụ và giải thích.

Gợi ý bài 11

Chọn hai điểm đối xứng qua gốc khác $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Chọn $a=\sqrt2,b=-\sqrt2$. Chúng khác nhau vì một số dương, một số âm.

2. Cả hai có giá trị tuyệt đối $\sqrt2$, nên ví dụ thỏa.

Tự kiểm

Khoảng cách đến gốc không giữ thông tin điểm ở phía nào.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Chứng minh $|-x|=|x|$ với mọi số thực $x$.

Gợi ý bài 12

Xét dấu $x$, gồm cả trường hợp $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Nếu $x\ge0$, $|x|=x$ và $|-x|=x$.

2. Nếu $x<0$, $|x|=-x$ và $|-x|=-x$. Vì thế hai vế luôn bằng nhau.

Tự kiểm

Không suy $-x=x$ từ đẳng thức giá trị tuyệt đối; chỉ khoảng cách bằng nhau.

5. Tự kiểm sau khi học

Trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ghi rõ dấu của biểu thức bên trong hoặc tách trường hợp.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Thứ tự, số đối và giá trị tuyệt đối. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.