Nhận đa thức một biến

Đa thức một biến và bậc của đa thức · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-15-B1

Sau bài này, em có thể:

• Nhận đa thức kể cả hằng và một hạng tử.
• Phân biệt biến, tham số cố định và biến ở mẫu hoặc căn.

1. Kiến thức và phương pháp

Đa thức một biến là tổng các hạng tử $a_kx^k$, với hệ số $a_k$ là số thực cố định và số mũ $k$ nguyên không âm. Có thể chỉ có một hạng tử, một hằng hoặc đa thức $0$. Hệ số không bắt buộc hữu tỉ.

Một chữ chỉ được xem là hệ số nếu đề xác định nó cố định. Biến ở mẫu hay trong căn không có dạng hạng tử được cho ở đây.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Nhận đa thức qua số mũ

Cơ bản

Đề bài

$2x^2-3x+5$ có là đa thức một biến $x$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải từng bước

1. Các hạng tử có số mũ $2,1,0$, hệ số thực cố định.

2. Có; chỉ biến $x$, không có biến ở mẫu hoặc trong căn.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hằng $5$ được viết $5x^0$ trong cách mô tả hạng tử hằng.

Ví dụ 2. Một hạng tử cũng là đa thức

Cơ bản

Đề bài

$-7x^4$ có là đa thức không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải từng bước

1. Chỉ một hạng tử với số mũ nguyên không âm $4$.

2. Có; đa thức có thể chỉ gồm một hạng tử.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không yêu cầu ít nhất hai hạng tử.

Ví dụ 3. Nhận đa thức hằng

Cơ bản

Đề bài

Số $9$ có là đa thức một biến $x$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải từng bước

1. Đây là hạng tử hằng, tương ứng số mũ $0$.

2. Có, là đa thức hằng khác $0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Biến có thể không xuất hiện trong cách viết hằng.

Ví dụ 4. Biến trong mẫu

Cơ bản

Đề bài

$1/x+2$ có là đa thức biến $x$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải từng bước

1. Số hạng $1/x$ chứa biến ở mẫu, tương ứng $x^{-1}$.

2. Không có dạng tổng các lũy thừa với số mũ nguyên không âm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Mẫu không phải là hệ số cố định.

Ví dụ 5. Hệ số có căn cố định

Cơ bản

Đề bài

$\sqrt2x^2-x/3$ có là đa thức biến $x$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải từng bước

1. $\sqrt2$ và $-1/3$ là số thực cố định; số mũ của biến là $2$ và $1$.

2. Có; hệ số không bắt buộc là số nguyên hoặc hữu tỉ.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Căn chứa số $2$, không chứa biến $x$.

Ví dụ 6. Hai chữ cùng là biến

Cơ bản

Đề bài

Nếu $x,y$ đều là biến, $x^2+y$ có là đa thức một biến $x$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải từng bước

1. Cả $x$ và $y$ đều được xem là biến thay đổi.

2. Không phải đa thức một biến trong yêu cầu ấy, vì có hai biến.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không tự xem $y$ là hằng khi đề xác định nó là biến.

Ví dụ 7. Phân biệt tham số và biến

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$ax^2+3x+1$ được xét theo biến $x$ và $a$ là một số thực cố định. Có là đa thức không? Nếu cả $a,x$ đều là biến thì mô tả có đổi không?

Nghĩ từ đâu?

Vai trò của chữ do giả thiết quyết định, không chỉ hình dạng chữ.

Lời giải từng bước

1. Khi $a$ cố định, đây là đa thức một biến $x$; hệ số của $x^2$ là $a$.

2. Khi $a,x$ đều là biến, biểu thức có hai biến, không là đa thức một biến theo yêu cầu ấy.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nêu rõ đại lượng nào được giữ cố định trước khi phân loại.

Ví dụ 8. Hạng tử triệt tiêu thành hằng

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$x^3-x^3+4$ nhìn có ba hạng tử. Sau thu gọn còn loại đa thức nào và có thay đổi số biến thực sự cần không?

Nghĩ từ đâu?

Cộng hai hạng tử cùng bậc đối nhau.

Lời giải từng bước

1. $x^3-x^3=0$, nên biểu thức bằng $4$ với mọi $x$.

2. Đây là đa thức hằng; việc có chữ trong cách viết ban đầu không buộc giá trị phụ thuộc biến.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không vì hạng tử bậc cao xuất hiện ban đầu mà cho rằng nó còn trong kết quả.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Trong $3x^2+2x-1$; $5$; $1/x$, biểu thức nào là đa thức một biến $x$?

Gợi ý bài 1

Kiểm từng biểu thức, nhận cả hằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $3x^2+2x-1$ và $5$ đều là đa thức biến $x$.

2. $1/x$ chứa biến ở mẫu nên không phải đa thức biến $x$.

Tự kiểm

Số mũ của $x$ trong $1/x$ là $-1$, không được phép ở đa thức.

Bài 2

Cơ bản

$(1/2)x^3-0{,}4x+7$ có là đa thức một biến không?

Gợi ý bài 2

Các hệ số thực có thể là phân số hoặc thập phân.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Chỉ biến $x$, các số mũ $3,1,0$ nguyên không âm.

2. Có; hệ số là $1/2,-0{,}4,7$.

Tự kiểm

Hệ số thập phân không làm mất tính đa thức.

Bài 3

Cơ bản

Một hạng tử $-6x^4$ có được xem là đa thức một biến không?

Gợi ý bài 3

Đa thức có thể có một hạng tử.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Số mũ $4$ nguyên không âm, hệ số $-6$ là số thực.

2. Có, đó là đa thức một biến $x$.

Tự kiểm

Không đòi dấu cộng giữa ít nhất hai hạng tử.

Bài 4

Cơ bản

Bạn nói $x+y$ là đa thức một biến $x$ vì “đứng đầu là $x$”. Nếu $x,y$ đều là biến, vì sao sai?

Gợi ý bài 4

Đếm mọi biến được dùng, không chỉ biến đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Biểu thức chứa cả hai biến $x,y$.

2. Vì vậy không phải đa thức một biến; chọn tên biến đầu không làm biến kia thành hằng.

Tự kiểm

Phải theo vai trò biến được đề cho.

Bài 5

Cơ bản

$5x^6-x+2$ có là đa thức biến $x$ không?

Gợi ý bài 5

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Chỉ biến $x$ với số mũ $6,1,0$.

2. Có; mọi hệ số thực cố định.

Tự kiểm

Số mũ bị thiếu có hệ số $0$.

Bài 6

Cơ bản

$\sqrt{x}+1$ có là đa thức biến $x$ không?

Gợi ý bài 6

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Biến nằm trong căn, không phải lũy thừa nguyên không âm của $x$.

2. Không phải đa thức theo định nghĩa này.

Tự kiểm

Đừng nhầm với hệ số $\sqrt2$ cố định.

Bài 7

Cơ bản

$x/5+1$ có là đa thức không?

Gợi ý bài 7

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $x/5=(1/5)x$ chỉ chia cho hằng khác $0$.

2. Có, hệ số của $x$ là $1/5$.

Tự kiểm

Không phải mọi dấu chia đều tạo biến ở mẫu.

Bài 8

Cơ bản

$0$ có là đa thức không?

Gợi ý bài 8

Kiểm biến, các số mũ nguyên không âm và dạng phép toán; hệ số là số thực cố định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Có thể viết mọi hệ số đều bằng $0$.

2. Có, là đa thức $0$; bậc không được gán theo quy ước sau.

Tự kiểm

Đa thức $0$ khác hằng khác $0$ về quy ước bậc.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $P(x)=bx+2$, với $b$ cố định, và $P(1)=P(3)$. Tìm $b$ rồi xét $P$ có phụ thuộc $x$ nữa không.

Gợi ý bài 9

Viết hai giá trị theo $b$, lấy hiệu để xác định hệ số rồi thu gọn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $P(1)=b+2$, $P(3)=3b+2$. Đẳng thức cho $b+2=3b+2$, nên $2b=0$ và $b=0$.

2. Khi ấy $P(x)=2$ với mọi $x$, là đa thức hằng không còn phụ thuộc $x$.

Tự kiểm

Hệ số bằng $0$ làm hạng tử mất đi, không làm đa thức mất nghĩa.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $A(x)=x+x^2-x$. Có được loại chỉ vì cách viết có cả cộng và trừ không?

Gợi ý bài 10

Dấu trừ là hệ số âm; nhóm hạng tử giống nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $x-x=0$, nên $A(x)=x^2$.

2. Là đa thức; cộng và trừ đều phù hợp việc cộng các hạng tử với hệ số thực có dấu.

Tự kiểm

Không dùng số dấu phép toán làm tiêu chí phân loại.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Trong $\sqrt3x$ và $\sqrt{3x}$, biểu thức nào là đa thức biến $x$? Giải thích vị trí dấu căn.

Gợi ý bài 11

Căn thứ nhất chỉ chứa hằng $3$, căn thứ hai chứa biến.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $(\sqrt3)x$ là đa thức với hệ số $\sqrt3$ và số mũ $1$.

2. $\sqrt{3x}$ không thuộc dạng lũy thừa nguyên không âm của biến; không phải đa thức theo định nghĩa.

Tự kiểm

Dấu căn phải được đọc đúng phạm vi, không dựa cách viết sát chữ.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Hai cách viết $a+x$ và $y+x$ có khác bản chất nếu đề nói $a$ cố định, còn $y$ là biến không?

Gợi ý bài 12

Vai trò của mỗi chữ là một giả thiết.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Với $a$ cố định, $a+x$ là đa thức một biến $x$.

2. Với $y,x$ đều thay đổi, $y+x$ có hai biến; không thể bỏ giả thiết bằng việc đổi tên chữ.

Tự kiểm

Ghi rõ vai trò trước khi nhận loại đa thức.

5. Tự kiểm sau khi học

Đọc hạng tử cùng dấu và hệ số thiếu.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đa thức một biến và bậc của đa thức. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.