Nhận dấu hiệu hai đường thẳng song song

Đường song song và các cặp góc · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-27-B4

Sau bài này, em có thể:

• Dùng dấu hiệu đồng vị hoặc so le trong bằng nhau.
• Suy dấu hiệu từ tổng hai góc trong cùng phía.
• Loại cách chứng minh chỉ dùng một giao điểm hoặc vị trí sai.

1. Kiến thức và phương pháp

Cấu hình gọi tên chung: $A,M,B$ theo thứ tự trên đường $AB$; $C,N,D$ theo thứ tự trên đường $CD$; đường cắt có thứ tự $P,M,N,Q$. Hai giao điểm $M,N$ phân biệt; $A,C$ cùng phía đường cắt, $B,D$ ở phía còn lại. Khi dùng tính chất số đo, lời bài còn phải cho hoặc chứng minh $AB\parallel CD$.

Nếu một đường cắt hai đường khác tại hai điểm phân biệt tạo một cặp đồng vị bằng nhau hoặc một cặp so le trong bằng nhau thì hai đường bị cắt song song. Cần gọi rõ cặp góc và hai đường cần chứng minh, không chỉ viết hai số đo bằng nhau.

Nếu hai góc trong cùng phía có tổng $180^\circ$, chọn góc kề bù với một góc, cùng phía trong ở giao điểm ấy. Góc mới bằng góc trong ở giao điểm kia và so le trong với nó, nên dấu hiệu cũng suy ra song song. Số đọc gần đúng trên giấy chưa xác nhận đẳng thức chính xác.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Một cặp so le trong đủ dùng

Cơ bản

Đề bài

Một đường cắt hai đường phân biệt tại hai điểm phân biệt, tạo cặp so le trong cùng $72^\circ$. Kết luận gì?

Nghĩ từ đâu?

Các điều kiện đúng dấu hiệu nhận biết.

Lời giải từng bước

1. Hai góc so le trong bằng nhau chính xác.

2. Theo dấu hiệu, hai đường bị cắt song song.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần mọi cặp góc khác cũng được cho trước bằng nhau.

Ví dụ 2. Dùng đồng vị

Cơ bản

Đề bài

Một đường cắt tạo cặp đồng vị $105^\circ,105^\circ$. Hai đường bị cắt có song song không?

Nghĩ từ đâu?

Gọi đúng vị trí trước khi dùng bằng nhau.

Lời giải từng bước

1. Cặp đã được xác định là đồng vị và có cùng số đo.

2. Theo dấu hiệu đồng vị bằng nhau, hai đường song song.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đường cắt phải gặp hai đường tại hai điểm phân biệt như cấu hình đang xét.

Ví dụ 3. Từ tổng trong cùng phía

Vận dụng

Đề bài

Hai góc trong cùng phía có số đo $68^\circ,112^\circ$. Giải thích vì sao hai đường bị cắt song song.

Nghĩ từ đâu?

Chọn góc trong tại giao điểm đầu kề bù với $68$ độ.

Lời giải từng bước

1. Góc trong kế bên ở giao điểm đầu bằng $180^\circ-68^\circ=112^\circ$.

2. Nó so le trong với góc $112^\circ$ ở giao điểm kia.

3. Có một cặp so le trong bằng nhau, nên hai đường song song.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đã chỉ chọn góc kề bù còn nằm phía trong, không chọn tùy góc ngoài.

Ví dụ 4. Gần bằng chưa là bằng chính xác

Vận dụng

Đề bài

Cặp đồng vị được cho số đo chính xác $79^\circ,80^\circ$. Có chứng minh song song bằng dấu hiệu này không?

Nghĩ từ đâu?

Dấu hiệu đòi bằng nhau, không chỉ chênh ít.

Lời giải từng bước

1. $79^\circ\ne80^\circ$, nên chưa thỏa dấu hiệu đồng vị bằng nhau.

2. Với giả thiết hai số chính xác, nếu hai đường song song thì góc đồng vị phải bằng nhau; vì vậy chúng không song song.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nếu chỉ là hai số đo gần đúng, phải xét sai số trước kết luận về hình thật.

Ví dụ 5. Đối đỉnh không liên hệ hai đường cần xét

Vận dụng

Đề bài

Hai góc đối đỉnh tại M cùng $65^\circ$. Có đủ chứng minh AB song song CD nếu CD chỉ đi qua điểm N khác M chưa có quan hệ góc không?

Nghĩ từ đâu?

Hai góc đang dùng mới ở một giao điểm.

Lời giải từng bước

1. Đối đỉnh luôn bằng nhau tại M, không cung cấp góc ở N trên CD.

2. Chưa có cặp đồng vị hay so le trong giữa hai giao điểm, nên chưa đủ dấu hiệu song song.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không lấy một tính chất đúng ở một đường để xác nhận quan hệ với đường khác.

Ví dụ 6. Tìm ẩn để song song

Vận dụng

Đề bài

Cặp so le trong có số đo $(3t+5)^\circ,(t+45)^\circ$. Tìm t để chứng minh hai đường song song bằng dấu hiệu này.

Nghĩ từ đâu?

Chọn t làm hai góc bằng nhau và hợp lệ.

Lời giải từng bước

1. $3t+5=t+45$ cho $t=20$.

2. Hai góc cùng $65^\circ$, thỏa miền góc; dấu hiệu so le trong suy ra song song.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Điều kiện bằng nhau và miền góc đều đã kiểm.

Ví dụ 7. Ẩn âm vẫn cho góc hợp lệ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Hai góc đồng vị có số đo $(t+200)^\circ,(2t+250)^\circ$. Có t nào làm hai góc hợp lệ và suy ra song song bằng dấu hiệu này không?

Nghĩ từ đâu?

Đẳng thức phải đi kèm góc giữa $0$ và $180$ độ.

Lời giải từng bước

1. $t+200=2t+250$ cho $t=-50$.

2. Hai góc khi ấy đều $150^\circ$, nằm trong miền hợp lệ; dấu hiệu đúng và có thể dùng để suy song song.

3. t âm không làm bài vô nghiệm; đại lượng cần dương là số đo góc, không phải ẩn.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Bài kiểm định kiến về nghiệm âm: $t=-50$ vẫn cho hai góc hợp lệ.

Ví dụ 8. Hai đường cắt kiểm cùng một kết luận

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Đường cắt c tạo cặp đồng vị cùng $60^\circ$ trên a,b. Đường cắt d khác tạo cặp so le trong trên a,b có số đo chính xác $70^\circ,75^\circ$. Cả hai bộ có cùng đúng được không?

Nghĩ từ đâu?

Bộ đầu cho song song, bộ sau phải tuân tính chất khi song song.

Lời giải từng bước

1. Từ cặp đồng vị bằng nhau của c suy ra $a\parallel b$.

2. Với $a\parallel b$, cặp so le trong do d tạo phải bằng nhau, trái $70^\circ\ne75^\circ$.

3. Không có cấu hình thỏa mọi dữ kiện; cần kiểm ít nhất một bộ đã cho.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai đường cắt có thể tạo các góc $60$ và $70$ khác nhau, nhưng mỗi cặp so le trên cùng đường cắt phải bằng nhau.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Một đường cắt tạo một cặp góc so le trong cùng bằng $64^\circ$. Có kết luận hai đường bị cắt song song không?

Gợi ý bài 1

Cặp đúng vị trí và bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai góc so le trong bằng nhau chính xác.

2. Theo dấu hiệu nhận biết, hai đường song song.

Tự kiểm

Dữ kiện liên hệ hai giao điểm phân biệt.

Bài 2

Cơ bản

Một đường cắt tạo một cặp góc đồng vị $80^\circ,81^\circ$. Theo số đo chính xác đó, có kết luận song song bằng dấu hiệu này không?

Gợi ý bài 2

Không thay bằng nhau bằng gần bằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Hai số đo khác nhau nên không thỏa dấu hiệu đồng vị bằng nhau.

2. Không thể chứng minh song song bằng dấu hiệu ấy; nếu chúng chính xác thì song song còn trái tính chất đồng vị. Nếu chỉ là số đọc gần đúng cần kiểm sai số.

Tự kiểm

Giữ rõ hai tình huống chính xác và đo thực.

Bài 3

Cơ bản

Một đường cắt tạo hai góc trong cùng phía $70^\circ,110^\circ$. Dùng góc kề bù để suy ra cặp so le trong bằng nhau.

Gợi ý bài 3

Chọn góc trong kế bên góc $70$ ở cùng giao điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Góc trong kế bên kề bù với $70^\circ$ bằng $110^\circ$.

2. Nó so le trong với góc $110^\circ$ ở giao điểm kia, nên có cặp so le trong bằng nhau.

3. Dấu hiệu suy ra hai đường song song.

Tự kiểm

Không chỉ nêu tổng $180$ mà bỏ lời giải thích qua góc kề bù được yêu cầu.

Bài 4

Cơ bản

Bạn dùng hai góc đối đỉnh bằng nhau ở cùng một giao điểm để chứng minh hai đường khác song song. Vì sao chưa đủ?

Gợi ý bài 4

Phải có cặp góc liên hệ hai giao điểm của đường cắt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Đối đỉnh luôn bằng nhau tại một giao điểm, chưa liên hệ góc của đường kia.

2. Chưa có cặp đồng vị hoặc so le trong cần để áp dụng dấu hiệu; cần thêm quan hệ đúng vị trí.

Tự kiểm

Hai số đo bằng nhau tùy ý không phải dấu hiệu.

Bài 5

Vận dụng

Hai góc đồng vị do một đường cắt cùng $92^\circ$. Nêu kết luận và căn cứ.

Gợi ý bài 5

Dùng đúng dấu hiệu đồng vị.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Hai góc đồng vị bằng nhau.

2. Hai đường bị cắt song song theo dấu hiệu.

Tự kiểm

Không cần hai góc phải nhọn mới dùng dấu hiệu.

Bài 6

Vận dụng

Hai góc so le trong $55^\circ,56^\circ$ được cho chính xác. Có phù hợp hai đường song song không?

Gợi ý bài 6

Dùng tính chất song song để kiểm điều cần thiết.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Nếu song song thì hai góc so le trong phải bằng nhau.

2. Hai số chính xác khác nhau nên không phù hợp song song.

Tự kiểm

Không suy như vậy từ số đọc gần đúng khi chưa biết sai số.

Bài 7

Vận dụng

Hai góc trong cùng phía có số đo $95^\circ,85^\circ$. Giải thích ngắn cách suy song song.

Gợi ý bài 7

Dựng hoặc xét góc trong kề bù với $95$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Góc trong kế bên góc $95^\circ$ bằng $85^\circ$.

2. Nó so le trong và bằng góc $85^\circ$ ở giao điểm kia, nên hai đường song song.

Tự kiểm

Đã dùng đúng góc trung gian.

Bài 8

Vận dụng

Cặp đồng vị có số đo $(2t+10)^\circ,(5t-50)^\circ$. Tìm t cho dấu hiệu song song.

Gợi ý bài 8

Giải bằng nhau và kiểm góc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $2t+10=5t-50$ cho $t=20$.

2. Hai góc cùng $50^\circ$, hợp lệ, nên hai đường song song theo dấu hiệu.

Tự kiểm

Không cần t là số đo góc $50$ độ.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Cặp so le trong có số đo $(2t+30)^\circ,(t+70)^\circ$. Tổng chúng được ghi $220^\circ$. Có thể dùng một t thỏa tất cả để suy song song không?

Gợi ý bài 9

Giải bằng nhau rồi kiểm tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $2t+30=t+70$ cho $t=40$; hai góc cùng $110^\circ$.

2. Tổng $220^\circ$ đúng dữ kiện, hai góc dưới $180$ độ, nên tương thích và suy song song.

Tự kiểm

Tổng hai góc so le trong có thể hơn $180$; chúng không phải kề bù.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cặp đồng vị có số đo $(t-10)^\circ,(2t-20)^\circ$. Có t làm bằng nhau và hợp lệ để dùng dấu hiệu không?

Gợi ý bài 10

Kiểm số đo sau khi giải phương trình.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $t-10=2t-20$ cho $t=10$.

2. Hai số đo đều $0^\circ$, không là các góc không suy biến trong cấu hình đường cắt. Vì vậy không có t hợp lệ theo các biểu thức.

Tự kiểm

Nghiệm đại số không đủ nếu vi phạm miền hình học.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Hai góc trong cùng phía có số đo $(t+20)^\circ,(2t+40)^\circ$. Tìm t để từ tổng bù suy song song.

Gợi ý bài 11

Dùng tổng $180$, rồi giải thích dấu hiệu qua góc kề.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $t+20+2t+40=180$ cho $t=40$, hai góc $60^\circ,120^\circ$.

2. Góc trong kế bên góc $60$ bằng $120$, so le trong với góc $120$ ở giao điểm kia; suy ra song song.

Tự kiểm

Hai góc trong cùng phía không cần bằng nhau để suy song song.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Đường cắt c cho cặp đồng vị bằng nhau nên a song song b. Một bạn kiểm đường cắt d thấy hai góc đồng vị của d là $48^\circ,49^\circ$ và coi toàn bộ số đo chính xác. Có thể đồng thời đúng không?

Gợi ý bài 12

Kết luận song song từ c phải áp dụng cho d.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. $a\parallel b$ làm góc đồng vị theo mọi đường cắt d tại hai điểm phân biệt phải bằng nhau.

2. $48^\circ\ne49^\circ$ nên không đồng thời đúng trong mô hình chính xác; cần kiểm lại các dữ kiện hoặc phép đo.

Tự kiểm

Không bắt góc của d bằng góc của c; chỉ bắt hai góc đồng vị cùng d bằng nhau.

5. Tự kiểm sau khi học

Viết một lời chứng minh song song có ba dòng: vị trí góc, quan hệ số đo, dấu hiệu được dùng.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường song song và các cặp góc. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.