Đến nội dung chính

Nhận điểm cách đều thuộc trung trực

THCSLớp 7Khoảng cách và các đường đặc biệtMở mô-đun

Đường trung trực và điểm cách đều · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-36-B3

Điểm cách đều hai đầu thuộc đường trung trực. Chứng minh bằng CCC khi điểm ở ngoài đường chứa đoạn; nếu điểm nằm trên đường ấy, phải kiểm riêng vị trí trung điểm.

Sau bài này, em có thể:

  • Chứng minh chiều đảo bằng CCC và kề bù.
  • Phủ đủ trường hợp trong đoạn, ngoài đoạn và hai điểm trùng.

Cần biết trước: Biết CCC, tính chất trung điểm và góc kề bù.

Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Trong mô-đun này, hai đầu đoạn thẳng luôn phân biệt. Với $A\ne B$, gọi $M$ là trung điểm $AB$. Đường trung trực $m$ của $AB$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc $AB$. Cần đồng thời cả qua trung điểm và vuông góc.

Nếu $P$ ngoài đường $AB$ và $PA=PB$, hai tam giác $PMA,PMB$ bằng nhau theo CCC. Hai góc tại $M$ bằng nhau và kề bù nên vuông; do đó $P$ thuộc trung trực.

Nếu $P$ nằm trên đường $AB$, điểm ngoài đoạn có hai khoảng cách hơn kém nhau $AB>0$, hai đầu cũng không cách đều. Vậy cách đều chỉ xảy ra tại trung điểm $M$, và điểm ấy thuộc trung trực. Cùng chiều thuận, ta có tập mọi điểm cách đều hai đầu chính là đường trung trực.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. CCC chứng minh chiều đảo

Cơ bản

Đề bài

$P$ ngoài đường thẳng $AB$, $PA=PB$; $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh $PM\perp AB$.

Nghĩ từ đâu?

Dùng ba cặp cạnh cho CCC; sau đó hai góc bằng nhau và kề bù tại $M$ buộc chúng vuông.

Lời giải từng bước

  1. $PA=PB$, $MA=MB$, $PM$ chung nên $\triangle PMA=\triangle PMB$ theo CCC.

  2. Suy hai góc $PMA,PMB$ bằng nhau. Vì $A,M,B$ theo thứ tự, chúng kề bù nên mỗi góc $90^\circ$.

  3. $PM\perp AB$; vì qua trung điểm $M$, đường $PM$ là trung trực $AB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không lấy điều cần chứng minh vuông góc làm giả thiết của CCC.

Ví dụ 2. Khoảng cách khác nhau loại trung trực

Cơ bản

Đề bài

$K$ có $KA=3$ cm, $KB=5$ cm. Có thuộc trung trực $AB$ không?

Nghĩ từ đâu?

Dùng điều kiện cần từ chiều thuận để loại.

Lời giải từng bước

  1. Nếu $K$ thuộc trung trực thì phải có $KA=KB$.

  2. $3\ne5$ nên $K$ không thuộc trung trực.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần biết $K$ nằm ở phía nào để có kết luận loại.

Ví dụ 3. Điểm cách đều trên đoạn

Cơ bản

Đề bài

$P$ thuộc đoạn $AB$ và $PA=PB$. Xác định $P$ và vị trí với trung trực.

Nghĩ từ đâu?

Điểm trên đoạn chia hai phần bằng nhau là trung điểm.

Lời giải từng bước

  1. Theo định nghĩa, $P$ là trung điểm $M$ của $AB$.

  2. Đường trung trực đi qua $M$, nên $P$ thuộc trung trực.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần dựng $PM$ vì đoạn ấy bằng không.

Ví dụ 4. Loại điểm ngoài đoạn trên đường

Cơ bản

Đề bài

$P$ ngoài đoạn $AB$ nhưng nằm trên đường thẳng $AB$. Có thể $PA=PB$ không?

Nghĩ từ đâu?

Tách hai phía ngoài đoạn và dùng cộng đoạn.

Lời giải từng bước

  1. Nếu thứ tự $P,A,B$ thì $PB=PA+AB>PA$. Nếu thứ tự $A,B,P$ thì $PA=PB+AB>PB$.

  2. Cả hai trường hợp đều không cách đều, nên điểm trên đường $AB$ cách đều hai đầu chỉ có thể là trung điểm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Điều kiện $AB>0$ do hai đầu phân biệt tạo bất đẳng thức nghiêm.

Ví dụ 5. Hai điểm cách đều xác định đường

Cơ bản

Đề bài

$P,Q$ phân biệt đều thỏa $PA=PB$, $QA=QB$. Chứng minh đường $PQ$ là trung trực $AB$.

Nghĩ từ đâu?

Dùng chiều đảo để đặt cả hai điểm vào trung trực, rồi dùng hai điểm phân biệt xác định đường.

Lời giải từng bước

  1. Theo chiều đảo, cả $P,Q$ đều thuộc trung trực $m$ của $AB$.

  2. Hai điểm phân biệt xác định một đường thẳng, nên $PQ=m$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần hai khoảng cách chung ở $P$ và $Q$ bằng nhau.

Ví dụ 6. Cách đều xác định đường, không một điểm

Cơ bản

Đề bài

Chỉ biết một điểm cách đều hai đầu, chưa có điều kiện vị trí khác. Có xác định điểm ấy duy nhất không?

Nghĩ từ đâu?

Tập điểm cách đều là cả một đường.

Lời giải từng bước

  1. Không. Trung điểm và một điểm khác nó trên trung trực đều cách đều hai đầu.

  2. Điều kiện cách đều xác định đường trung trực như tập điểm, chưa xác định một điểm duy nhất.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không nhầm một đường duy nhất với một điểm duy nhất.

Ví dụ 7. Tham số dùng chiều đảo

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$P$ ngoài đường $AB$; $PA=2t+1$, $PB=t+4$ cm. Tìm $t$ để $P$ thuộc trung trực, rồi nêu lý do đủ.

Nghĩ từ đâu?

Bằng khoảng cách là điều kiện cần và đủ, không chỉ một chiều.

Lời giải từng bước

  1. Từ $2t+1=t+4$ suy $t=3$, nên hai khoảng cách cùng $7$ cm.

  2. Với vị trí và độ dài hợp lệ đã cho, $PA=PB$ suy $P$ thuộc trung trực theo chiều đảo.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng góc vuông tại trung điểm làm giả thiết trước khi suy nó.

Ví dụ 8. Từ cách đều suy phân giác trong

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$P\ne M$, $PA=PB$; $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh tia $PM$ là phân giác trong góc $APB$.

Nghĩ từ đâu?

Trước hết loại điểm $P$ trên đường $AB$; sau đó CCC tạo hai góc bằng nhau và trung điểm cho vị trí tia trong góc.

Lời giải từng bước

  1. Nếu $P$ nằm trên đường $AB$, cách đều sẽ buộc $P=M$, trái giả thiết. Vậy $P$ ngoài đường $AB$.

  2. $PMA,PMB$ bằng nhau theo CCC, nên $\angle APM=\angle BPM$; $M$ trong đoạn $AB$ nên tia $PM$ nằm trong góc $APB$.

  3. $PM$ là phân giác trong.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cần kiểm cả vị trí trong góc và không suy biến trước khi kết luận.

3. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Bỏ trường hợp điểm trùng trung điểm. Dùng trực tiếp định nghĩa trung điểm.
Một điểm cách đều đã xác định duy nhất đường qua nó. Cần định nghĩa trung trực hoặc hai điểm phân biệt để xác định đường.

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

$P$ ngoài đường thẳng $AB$, $PA=PB$; $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh $PM\perp AB$.

Gợi ý bài 1

Không giả sử trước vuông góc: ba cặp cạnh $PA=PB$, $MA=MB$ và $PM$ chung đã đủ CCC.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. $PA=PB$, $MA=MB$, $PM$ chung nên $\triangle PMA=\triangle PMB$ theo CCC.

  2. Suy hai góc $PMA,PMB$ bằng nhau. Vì $A,M,B$ theo thứ tự, chúng kề bù nên mỗi góc $90^\circ$.

  3. $PM\perp AB$; vì qua trung điểm $M$, đường $PM$ là trung trực $AB$.

Tự kiểm

Không lấy điều cần chứng minh vuông góc làm giả thiết của CCC.

Bài 2

Cơ bản

$K$ cách $A$ là $3$ cm, cách $B$ là $4$ cm. Có thuộc trung trực $AB$ không?

Gợi ý bài 2

Điểm trên trung trực phải cách đều.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. $KA=3$ cm khác $KB=4$ cm.

  2. Vậy không thuộc trung trực $AB$.

Tự kiểm

Không thay số nguồn bằng ví dụ khác.

Bài 3

Cơ bản

$P$ thuộc đoạn $AB$ và $PA=PB$. Xác định $P$ và vị trí với trung trực.

Gợi ý bài 3

Điểm trên đoạn chia hai phần bằng nhau là trung điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. Theo định nghĩa, $P$ là trung điểm $M$ của $AB$.

  2. Đường trung trực đi qua $M$, nên $P$ thuộc trung trực.

Tự kiểm

Không cần dựng $PM$ vì đoạn ấy bằng không.

Bài 4

Cơ bản

Chỉ biết $PA=PB$ mà chưa biết $P$ nằm phía nào của $AB$, có chọn ngay $P$ duy nhất không?

Gợi ý bài 4

Có nhiều điểm trên trung trực thỏa cùng quan hệ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. Không. Mọi điểm trên trung trực đều cách đều hai đầu, gồm trung điểm và nhiều điểm khác ở hai phía đường $AB$.

  2. Cần thêm ràng buộc vị trí để chọn một điểm; cách đều riêng lẻ chưa là điều kiện duy nhất.

Tự kiểm

Không tự thêm một khoảng cách cụ thể hay một phía chưa được cho.

Bài 5

Cơ bản

$XC=XD=6$ cm, $C\ne D$. Có thể kết luận $X$ thuộc đường nào?

Gợi ý bài 5

Dùng chiều đảo cho đúng đoạn có hai đầu được so.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. $X$ cách đều hai điểm $C,D$.

  2. Vì vậy $X$ thuộc trung trực của đoạn $CD$, kể cả nếu $X$ chính là trung điểm.

Tự kiểm

Không đổi sang trung trực một đoạn khác.

Bài 6

Cơ bản

$P$ trên đoạn $AB=10$ cm và $PA=PB$. Tìm hai khoảng cách.

Gợi ý bài 6

Trên đoạn có tổng hai khoảng cách bằng độ dài cả đoạn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. $PA+PB=10$ cm và $PA=PB$.

  2. Mỗi khoảng cách $5$ cm; $P$ là trung điểm và thuộc trung trực.

Tự kiểm

Không áp tổng $PA+PB=AB$ cho điểm ngoài đoạn.

Bài 7

Cơ bản

$P$ ngoài đường $AB$, $PA=PB$, $M$ là trung điểm. Hai góc tại $M$ trong $PMA,PMB$ có thể cùng $80^\circ$ không?

Gợi ý bài 7

CCC tạo bằng nhau nhưng kề bù còn buộc số đo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. CCC cho hai góc bằng nhau, và chúng kề bù nên tổng $180^\circ$.

  2. Mỗi góc phải $90^\circ$, không thể cùng $80^\circ$.

Tự kiểm

Góc vuông là kết quả, không cần giả sử trước.

Bài 8

Cơ bản

$P,Q$ đều cách đều $A,B$ nhưng $P=Q$. Có dùng hai tên ấy để xác định đường $PQ$ là trung trực không?

Gợi ý bài 8

Hai điểm xác định đường phải phân biệt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. Điểm trùng nhau vẫn thuộc trung trực theo chiều đảo.

  2. Nhưng $P=Q$ không xác định một đường duy nhất qua hai điểm phân biệt; không dùng đoạn tên $PQ$ để dựng cả trung trực.

Tự kiểm

Thêm một điểm cách đều khác vị trí mới có thể nối thành đường.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$P$ cách đều $A,B$ và còn thuộc đường thẳng $AB$. Chứng minh nó là trung điểm mà không bỏ trường hợp ngoài đoạn.

Gợi ý bài 9

Phân loại điểm trên cả đường thành trong đoạn và ngoài đoạn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. Nếu ngoài đoạn, một khoảng cách bằng khoảng cách kia cộng $AB>0$, nên không bằng nhau. Hai đầu cũng không cách đều vì một khoảng cách bằng $0$.

  2. Vậy $P$ nằm trong đoạn; từ $PA=PB$ suy là trung điểm.

Tự kiểm

Đã phủ các vị trí trên cả đường, không chỉ giả sử điểm trong đoạn.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$PA=3t-2$, $PB=t+6$ cm, $P$ được yêu cầu thuộc trung trực; thêm $PA+PB=20$ cm. Kiểm mọi dữ kiện.

Gợi ý bài 10

Tìm tham số từ cách đều rồi kiểm tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. $3t-2=t+6$ cho $t=4$, nên hai khoảng cách cùng $10$ cm.

  2. Tổng $20$ cm đúng; bằng hai khoảng cách cung cấp điều kiện đủ để thuộc trung trực.

Tự kiểm

Độ dài dương và yêu cầu tổng đều đã kiểm bằng cùng $t$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

$P$ cách đều $A,B$, $Q$ cũng cách đều, $P\ne Q$. Nếu $R$ nằm trên đường $PQ$, có chắc $RA=RB$ không?

Gợi ý bài 11

Dùng chiều đảo cho hai điểm để nhận cả đường, rồi chiều thuận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. $P,Q$ thuộc cùng trung trực, nên đường $PQ$ chính là trung trực $AB$.

  2. $R$ trên đường ấy nên $RA=RB$ theo chiều thuận.

Tự kiểm

Hai chiều có vai trò khác nhau và được dùng theo thứ tự.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

$P$ ngoài đường $AB$, $PA=PB$ và $M$ là trung điểm. Một bạn dùng ngay $PM\perp AB$ để chứng minh CCC. Vì sao nên đổi thứ tự lập luận?

Gợi ý bài 12

CCC không cần góc vuông, còn góc vuông chính là kết luận phụ đang cần.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. Ba cặp $PA=PB$, $MA=MB$, $PM$ chung đủ CCC độc lập.

  2. Sau bằng nhau, hai góc tại $M$ bằng nhau và kề bù mới suy vuông góc. Lấy vuông góc trước khi có căn cứ tạo giả thiết ngầm.

Tự kiểm

Không cần gọi vòng quanh nếu vuông góc đã có lý do khác, nhưng phải nêu rõ lý do ấy.

5. Tự kiểm sau khi học

Dùng hai giao điểm cung tròn để dựng trung trực.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường trung trực và điểm cách đều. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu

Chọn bài khác trong mô-đun · Toán lớp 7 · Hướng dẫn tự học THCS