Hai thay đổi phần trăm liên tiếp – Toán lớp 7

Tăng giảm phần trăm trong kế hoạch · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-51-B4

Sau bài này, em có thể:

• Tính thay đổi liên tiếp.
• Giải thích khác biệt với cộng tỉ lệ.

1. Kiến thức và phương pháp

Hai thay đổi liên tiếp dùng hệ số nhân trên từng mốc mới. Chẳng hạn tăng tỉ lệ thập phân $a$ rồi giảm $b$ cho hệ số $(1+a)(1-b)$. Không cộng trừ tỉ lệ khi chúng tính trên hai mốc khác nhau. Nếu có khoản cộng cố định xen giữa, cần viết đúng thứ tự thay vì chỉ nhân hai hệ số.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Hai lần tăng

Cơ bản

Đề bài

Giá giả định $300000$ đồng tăng $5\%$ rồi $10\%$ trên giá mới. Tính cuối và tăng chung.

Nghĩ từ đâu?

Nhân hai hệ số liên tiếp.

Lời giải từng bước

1. Giá cuối $300000\cdot1{,}05\cdot1{,}1=346500$ đồng.

2. Hệ số chung $1{,}155$, tăng $15{,}5\%$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tăng $46500/300000=15{,}5\%$, không phải $15\%$.

Ví dụ 2. Hai lần giảm

Cơ bản

Đề bài

Giá giả định $400000$ đồng giảm $20\%$ rồi $5\%$ trên giá đã giảm. Tính giá cuối và tỉ lệ giảm chung.

Nghĩ từ đâu?

Hai lần giữ lại $0{,}8$ và $0{,}95$.

Lời giải từng bước

1. Giá cuối $400000\cdot0{,}8\cdot0{,}95=304000$ đồng.

2. Giảm chung $1-0{,}76=24\%$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tiền giảm $96000$ trên gốc $400000$.

Ví dụ 3. Tăng rồi giảm khác tỉ lệ

Vận dụng

Đề bài

Giá giả định $200000$ đồng tăng $25\%$, rồi giảm $10\%$. Giá cuối?

Nghĩ từ đâu?

Mốc giảm là giá đã tăng.

Lời giải từng bước

1. Sau tăng $200000\cdot1{,}25=250000$, sau giảm $250000\cdot0{,}9=225000$ đồng.

2. Tăng chung $(225000-200000)/200000=12{,}5\%$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hệ số $1{,}25\cdot0{,}9=1{,}125$.

Ví dụ 4. Đảo thứ tự trên cùng phạm vi

Vận dụng

Đề bài

Cùng giá gốc dương, tăng $10\%$ rồi giảm $20\%$ so với giảm $20\%$ rồi tăng $10\%$. Giá cuối bằng nhau không, nếu không khoản khác?

Nghĩ từ đâu?

Phép nhân hai hệ số giao hoán.

Lời giải từng bước

1. Phương án đầu có hệ số $1{,}1\cdot0{,}8=0{,}88$.

2. Phương án sau $0{,}8\cdot1{,}1=0{,}88$, nên bằng nhau; cùng giảm $12\%$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết luận dùng cùng phạm vi áp dụng và không phí cố định xen giữa.

Ví dụ 5. Tìm gốc qua hai lần

Vận dụng

Đề bài

Sau tăng $20\%$ rồi giảm $25\%$, giá giả định cuối $180000$ đồng. Tìm gốc.

Nghĩ từ đâu?

Gộp hệ số trước chia.

Lời giải từng bước

1. Hệ số $1{,}2\cdot0{,}75=0{,}9$.

2. Gốc $180000:0{,}9=200000$ đồng.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Lần lượt $200000$ thành $240000$ rồi $180000$.

Ví dụ 6. Gốc mỗi lần phải ghi rõ

Vận dụng

Đề bài

Báo cáo giá tăng $10\%$ rồi tăng $10\%$, bạn nói tăng $20\%$. Kiểm bằng gốc giả định $100000$ đồng.

Nghĩ từ đâu?

Đặt mốc cụ thể để theo dõi hai phần tăng.

Lời giải từng bước

1. Lần đầu giá $100000\cdot1{,}1=110000$, tăng $10000$; lần sau giá $110000\cdot1{,}1=121000$, tăng $11000$ đồng.

2. Cuối $121000$, tăng chung $21\%$, không phải $20\%$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai khoản tăng không bằng nhau dù cùng tỉ lệ.

Ví dụ 7. Tăng và giảm cùng tỉ lệ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Giá gốc dương tăng rồi giảm cùng tỉ lệ $r$, với $0<r<1$ là dạng thập phân. Chứng minh cuối thấp hơn gốc.

Nghĩ từ đâu?

Khai triển tích hai hệ số.

Lời giải từng bước

1. Hệ số chung $(1+r)(1-r)=1-r^2$.

2. Vì $r^2>0$, giá cuối nhỏ hơn gốc, giảm tỉ lệ $r^2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Với $r=0{,}2$, giảm $0{,}04=4\%$, khớp ví dụ tăng/giảm $20\%$.

Ví dụ 8. Giảm lần hai để đạt mục tiêu

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Giá tăng $20\%$, sau đó phải giảm trên giá mới để cuối bằng $90\%$ gốc. Tìm tỉ lệ giảm.

Nghĩ từ đâu?

Giải hệ số giữ lại lần hai.

Lời giải từng bước

1. Gọi phần giảm dạng thập phân là $r$; $1{,}2(1-r)=0{,}9$.

2. $1-r=0{,}75$, nên $r=0{,}25=25\%$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$1{,}2\cdot0{,}75=0{,}9$, đúng mục tiêu giảm chung $10\%$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Giá giả định $100000$ đồng tăng $20\%$ rồi giảm $20\%$ trên giá mới. Tính cuối.

Gợi ý bài 1

Theo dõi hai mốc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Sau tăng $120000$, sau giảm $120000\cdot0{,}8=96000$ đồng.

2. Giá cuối $96000$ đồng, giảm chung $4\%$.

Tự kiểm

Không về gốc vì $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$.

Bài 2

Cơ bản

Giá $200000$ đồng giảm $10\%$ rồi giảm tiếp $10\%$ trên giá đã giảm. Tính cuối và tỉ lệ giảm so gốc.

Gợi ý bài 2

Hai lần giữ $0{,}9$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Cuối $200000\cdot0{,}9^2=162000$ đồng.

2. Giảm $38000/200000=19\%$.

Tự kiểm

Tiền giảm hai lần $20000+18000=38000$, không phải $40000$.

Bài 3

Cơ bản

Giá $500000$ đồng tăng $10\%$ rồi $20\%$ trên giá mới. Tính cuối và tăng chung.

Gợi ý bài 3

Nhân $1{,}1$ với $1{,}2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Cuối $500000\cdot1{,}1\cdot1{,}2=660000$ đồng.

2. Tăng $160000/500000=32\%$.

Tự kiểm

Lần hai tăng $110000$ trên mốc $550000$, khác $100000$ trên gốc.

Bài 4

Cơ bản

Vì sao không cộng $10\%+20\%$ để có tăng chung nhiệm vụ $3$?

Gợi ý bài 4

Mỗi tỉ lệ có mốc riêng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Lần hai tính trên giá đã tăng, hệ số chung $1{,}1\cdot1{,}2=1{,}32$.

2. Tăng chung $32\%$, không phải $30\%$.

Tự kiểm

Với gốc $500000$, tăng $160000$ chứ không $150000$ đồng.

Bài 5

Vận dụng

Giá giả định $500000$ đồng giảm $20\%$ rồi giảm $10\%$. Giá cuối và giảm chung?

Gợi ý bài 5

Nhân phần giữ lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Cuối $500000\cdot0{,}8\cdot0{,}9=360000$ đồng.

2. Giảm $28\%$.

Tự kiểm

$140000/500000=28\%$.

Bài 6

Vận dụng

Giá giả định $240000$ đồng tăng $5\%$ rồi $5\%$. Giá cuối và tăng chung?

Gợi ý bài 6

Hai lần dùng hai mốc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Cuối $240000\cdot1{,}05^2=264600$ đồng.

2. Tăng chung $10{,}25\%$.

Tự kiểm

Chênh $24600/240000=0{,}1025$.

Bài 7

Vận dụng

Giá giả định $180000$ đồng giảm $25\%$ rồi tăng $20\%$. Giá cuối?

Gợi ý bài 7

Hệ số $0{,}75\cdot1{,}2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Sau giảm $180000\cdot0{,}75=135000$; sau tăng $135000\cdot1{,}2=162000$ đồng.

2. Giảm chung $(180000-162000)/180000=10\%$.

Tự kiểm

Không cộng trừ tỉ lệ để nói giảm $5\%$.

Bài 8

Vận dụng

Sau tăng $10\%$ rồi giảm $20\%$, giá giả định $176000$ đồng. Tìm gốc.

Gợi ý bài 8

Hệ số chung $0{,}88$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Gốc $176000:0{,}88=200000$ đồng.

2. Kiểm lần lượt $200000\cdot1{,}1=220000$ rồi $220000\cdot0{,}8=176000$ đồng.

Tự kiểm

Hai bước khớp đúng giá cuối đã cho.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Giá giảm $30\%$ rồi muốn tăng để cuối bằng $105\%$ gốc. Tìm tỉ lệ tăng lần hai.

Gợi ý bài 9

Giải tích hệ số bằng $1{,}05$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $0{,}7(1+r)=1{,}05$, nên $1+r=1{,}5$.

2. Tỉ lệ tăng $r=50\%$.

Tự kiểm

$0{,}7\cdot1{,}5=1{,}05$, cuối tăng $5\%$ so gốc.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Hai lần giảm cùng tỉ lệ dạng thập phân $r$, $0<r<1$. So mức giảm chung với $2r$.

Gợi ý bài 10

Khai triển hệ số giữ lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Hệ số cuối $(1-r)^2=1-2r+r^2$, nên phần giảm $2r-r^2$.

2. Vì $r^2>0$, phần giảm nhỏ hơn $2r$.

Tự kiểm

Với $r=0{,}1$, giảm chung $0{,}19=19\%$, nhỏ hơn $20\%$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Giá gốc giả định $100000$ đồng. A tăng $10\%$ rồi thêm phí cố định $10000$; B thêm phí $10000$ rồi tăng $10\%$ trên toàn bộ. Giá cuối bằng nhau không?

Gợi ý bài 11

Phí cố định xen giữa làm hai biểu thức khác nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. A trả $100000\cdot1{,}1+10000=120000$ đồng.

2. B trả $(100000+10000)\cdot1{,}1=121000$ đồng, lớn hơn $1000$.

Tự kiểm

Không dùng tính giao hoán hai hệ số khi một bước là cộng phí cố định.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Hai giá gốc dương cùng tăng $10\%$ rồi giảm $10\%$. Chứng minh chênh lệch tiền giữa chúng còn $99\%$ chênh lệch cũ.

Gợi ý bài 12

Cùng hệ số áp cho cả hai giá.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Hệ số chung $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$; nếu giá $A>B$, giá cuối $0{,}99A;0{,}99B$.

2. Hiệu mới $0{,}99(A-B)$, bằng $99\%$ hiệu cũ.

Tự kiểm

Thứ tự giá giữ nguyên vì hệ số dương, nhưng hiệu giảm $1\%$.

5. Tự kiểm sau khi học

Lập hai mốc trung gian và so hệ số cuối với một để đọc mức tăng/giảm chung.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tăng giảm phần trăm trong kế hoạch. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.