Xác suất lấy vật trong mô hình đồng khả năng lớp 7

Xác suất trong mô hình đồng khả năng · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-49-B4

Sau bài này, em có thể:

• Cập nhật số bóng và tổng sau thay đổi.
• Giải điều kiện thiết kế với số bóng nguyên.

1. Kiến thức và phương pháp

Mỗi bài dưới đây quy định lấy một bóng và mọi bóng trong túi hiện tại có khả năng được lấy như nhau. Nếu túi có $r$ đỏ trên $N>0$ bóng thì xác suất đỏ $r/N$. Thêm hoặc bỏ bóng trước lần lấy làm đổi túi và phải cập nhật tổng. Bóng đã bỏ riêng theo màu khác với một lần rút chưa biết màu; không tự thay dữ kiện.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Một màu trong túi

Cơ bản

Đề bài

Túi có bốn đỏ, ba xanh, một vàng; mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Xác suất xanh?

Nghĩ từ đâu?

Tính tổng cả các màu chưa được hỏi.

Lời giải từng bước

1. Tổng $4+3+1=8$; có ba bóng xanh.

2. Xác suất $3/8$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Mẫu số $8$, không phải số hai màu còn lại.

Ví dụ 2. Không lấy màu xanh

Cơ bản

Đề bài

Túi có hai đỏ, bốn xanh, ba vàng; mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Xác suất không xanh?

Nghĩ từ đâu?

Gộp hai màu thuận lợi.

Lời giải từng bước

1. Tổng $2+4+3=9$; không xanh có $2+3=5$ bóng.

2. Xác suất $5/9$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cộng với xanh $4/9$ được $1$.

Ví dụ 3. Thêm bóng khác màu

Vận dụng

Đề bài

Túi bốn đỏ, hai xanh; thêm hai xanh. Sau thêm mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Xác suất đỏ thay đổi thế nào?

Nghĩ từ đâu?

Tử đỏ giữ nguyên nhưng tổng đổi.

Lời giải từng bước

1. Trước thêm đỏ $4/6=2/3$; sau thêm tổng tám, đỏ $4/8=1/2$.

2. Giảm $2/3-1/2=1/6$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không giữ mẫu số sáu sau khi thêm bóng.

Ví dụ 4. Bỏ bóng có điều kiện

Vận dụng

Đề bài

Túi năm đỏ, ba xanh. Lấy riêng ra hai bóng đỏ đã xác định; sau đó lấy ngẫu nhiên đều một bóng. Xác suất đỏ mới?

Nghĩ từ đâu?

Đây là thay túi trước lần lấy, không phải bỏ hai bóng không biết màu.

Lời giải từng bước

1. Còn $5-2=3$ đỏ và ba xanh, tổng sáu.

2. Xác suất đỏ $3/6=1/2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cần biết hai bóng đã bỏ là đỏ mới xác định được túi còn lại.

Ví dụ 5. Cùng tỉ lệ khác số lượng

Vận dụng

Đề bài

Túi A hai đỏ, bốn xanh; B bốn đỏ, tám xanh; mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. So xác suất đỏ.

Nghĩ từ đâu?

Tính hai phân số riêng.

Lời giải từng bước

1. A có $2/6=1/3$; B có $4/12=1/3$.

2. Hai xác suất bằng nhau dù số đỏ và tổng khác nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

B nhân đôi cả tử và mẫu của A nên giữ tỉ lệ.

Ví dụ 6. Thêm màu mới

Vận dụng

Đề bài

Túi ba đỏ, ba xanh, thêm hai vàng. Mỗi bóng trong túi mới đồng khả năng. Xác suất đỏ hoặc xanh?

Nghĩ từ đâu?

Tổng phải tính cả màu không thuận lợi.

Lời giải từng bước

1. Có sáu bóng đỏ hoặc xanh trên $3+3+2=8$ bóng.

2. Xác suất $6/8=3/4$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không còn chắc chắn vì hai bóng vàng có thể được lấy.

Ví dụ 7. Tìm số thêm

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Túi ba đỏ, hai xanh; thêm $n$ bóng xanh với $n$ nguyên không âm. Mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Tìm $n$ để xác suất đỏ $1/2$.

Nghĩ từ đâu?

Tử đỏ không đổi, mẫu là $5+n>0$.

Lời giải từng bước

1. Điều kiện $3/(5+n)=1/2$ dẫn đến $6=5+n$.

2. $n=1$; túi mới ba đỏ, ba xanh nên đỏ $3/6=1/2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nghiệm nguyên không âm và kiểm lại tổng sáu bóng.

Ví dụ 8. Tìm số đỏ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Túi có $x$ bóng đỏ, hai xanh, mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Tìm số nguyên không âm $x$ để xác suất đỏ $3/5$.

Nghĩ từ đâu?

Tổng $x+2>0$, có thể nhân chéo.

Lời giải từng bước

1. $x/(x+2)=3/5$ dẫn đến $5x=3x+6$.

2. $2x=6$ nên $x=3$; tổng năm, đỏ $3/5$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nghiệm nguyên không âm và khớp túi ba đỏ, hai xanh.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Túi có $3$ bóng đỏ và $2$ bóng xanh, các bóng có khả năng được lấy như nhau được lấy. Tính xác suất đỏ và xanh.

Gợi ý bài 1

Tổng chung là năm bóng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Đỏ có ba kết quả nên $3/5$; xanh có hai nên $2/5$.

2. Hai xác suất lần lượt $3/5$ và $2/5$.

Tự kiểm

$3/5+2/5=1$, vì chỉ có hai màu rời nhau.

Bài 2

Cơ bản

Thêm $1$ bóng xanh vào túi trên, vẫn mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Xác suất xanh mới?

Gợi ý bài 2

Cập nhật cả số xanh và tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Xanh mới $2+1=3$; tổng mới $5+1=6$.

2. Xác suất xanh $3/6=1/2$.

Tự kiểm

Không dùng mẫu năm của túi cũ.

Bài 3

Cơ bản

Túi khác có $2$ đỏ, $3$ xanh, $5$ vàng, các bóng có khả năng được lấy như nhau. Tính xác suất không lấy vàng.

Gợi ý bài 3

Không vàng gồm đỏ và xanh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Thuận lợi $2+3=5$; tổng $2+3+5=10$.

2. Xác suất $5/10=1/2$.

Tự kiểm

Năm bóng vàng chiếm phần còn lại $1/2$.

Bài 4

Cơ bản

Hai túi cùng xác suất đỏ $1/2$ nhưng tổng lần lượt $4$ và $10$ bóng. Có nhất thiết cùng số đỏ không?

Gợi ý bài 4

Trong mô hình mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau, nhân xác suất với tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Túi đầu cần $4/2=2$ đỏ; túi sau cần $10/2=5$ đỏ.

2. Không cùng số đỏ dù có cùng tỉ lệ.

Tự kiểm

$2/4=5/10=1/2$ kiểm đúng hai tổng nguồn.

Bài 5

Vận dụng

Túi một đỏ, hai xanh, năm vàng; lấy mỗi bóng như nhau. Xác suất đỏ hoặc vàng?

Gợi ý bài 5

Gộp hai màu thuận lợi, giữ đủ tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Có $1+5=6$ thuận lợi trong tám bóng.

2. Xác suất $6/8=3/4$.

Tự kiểm

Phần xanh $2/8=1/4$ bổ sung thành $1$.

Bài 6

Vận dụng

Túi sáu đỏ, bốn xanh. Thêm hai đỏ rồi lấy một bóng với mọi bóng có khả năng như nhau. Xác suất xanh mới?

Gợi ý bài 6

Xanh giữ bốn, tổng tăng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Tổng mới $6+4+2=12$; xanh bốn.

2. Xác suất $4/12=1/3$.

Tự kiểm

Trước thêm là $4/10$, nên không giữ tỉ lệ cũ.

Bài 7

Vận dụng

Túi hai đỏ, năm xanh. Bỏ riêng một xanh rồi lấy đều. Xác suất đỏ?

Gợi ý bài 7

Xác định túi còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Còn hai đỏ, bốn xanh, tổng sáu.

2. Xác suất đỏ $2/6=1/3$.

Tự kiểm

Bóng bị bỏ có màu đã biết, không cần đoán kết quả rút trước.

Bài 8

Vận dụng

Túi có ba đỏ, bốn xanh, ba vàng. Mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau. Xác suất không đỏ?

Gợi ý bài 8

Tính phần thuận lợi không đỏ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Có $4+3=7$ bóng không đỏ trong mười bóng.

2. Xác suất $7/10$.

Tự kiểm

Phần đỏ $3/10$ cho tổng xác suất $1$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Túi ba đỏ, hai xanh. Bỏ riêng một xanh trước khi lấy đều. Xác suất đỏ tăng bao nhiêu?

Gợi ý bài 9

So túi trước và sau cùng biến cố.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Trước $3/5$; sau ba đỏ, một xanh nên $3/4$.

2. Tăng $3/4-3/5=3/20$.

Tự kiểm

Cả hai tỉ số dùng đúng tổng của từng túi, không trừ số bóng để gọi xác suất.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Thiết kế hai túi tổng sáu và mười hai bóng, cùng xác suất đỏ $1/3$ khi lấy đều. Có bắt buộc cùng số đỏ không?

Gợi ý bài 10

Nhân tỉ lệ với tổng từng túi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Tổng sáu cần $6/3=2$ đỏ, bốn xanh; tổng mười hai cần $12/3=4$ đỏ, tám xanh.

2. Số đỏ khác nhau, nhưng $2/6=4/12=1/3$.

Tự kiểm

Các số nguyên không âm và cộng đúng tổng riêng.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Có túi tổng bảy bóng, mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau, mà xác suất đỏ $2/3$ không? Chứng minh.

Gợi ý bài 11

Số bóng đỏ phải nguyên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Nếu có $r$ bóng đỏ thì $r/7=2/3$, nên $r=14/3$.

2. $14/3$ không nguyên, nên không thể thiết kế đúng yêu cầu.

Tự kiểm

Không làm tròn số bóng vì sẽ làm đổi xác suất chính xác.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Túi có không quá hai mươi bóng, mỗi bóng có khả năng được lấy như nhau; xác suất đỏ $3/7$. Tìm mọi tổng và số đỏ.

Gợi ý bài 12

Dùng phân số tối giản để xét tính nguyên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Viết $r/N=3/7$ nên $7r=3N$. Vì $3$ và $7$ nguyên tố cùng nhau, $N$ phải chia hết cho $7$.

2. Với $1\le N\le 20$, chỉ $N=7;14$, tương ứng $r=3;6$; còn lại bốn hoặc tám không đỏ.

Tự kiểm

Cả hai mô hình cho đúng $3/7$; tổng $21$ vượt giới hạn.

5. Tự kiểm sau khi học

Chép túi trước và sau thay đổi; tính lại tổng và thay nghiệm số bóng vào tỉ số ban đầu.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Xác suất trong mô hình đồng khả năng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.