Trừ đa thức một biến và đổi dấu các hạng tử lớp 7
Cộng và trừ đa thức một biến · Toán lớp 7
Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-17-B3
Trừ đa thức bằng cộng đa thức đối; mọi hạng tử bị trừ phải đổi dấu trước khi nhóm.
Sau bài này, em có thể:
- Trừ đúng hệ số, kể cả số âm và phân số.
- Kiểm điều kiện hiệu hằng, hiệu $0$ và thứ tự phép trừ.
Cần biết trước: Biết cộng đa thức và số đối.
Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.
Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Phép trừ $P-Q$ nghĩa là $P+(-Q)$. Đa thức $-Q$ có mọi hệ số đổi dấu. Sau đó nhóm đúng các số mũ như phép cộng. Không chỉ đổi dấu hạng tử đầu trong ngoặc.
Hai hiệu $P-Q$ và $Q-P$ là hai đa thức đối nhau; phép trừ không có tính giao hoán.
2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước
Ví dụ 1. Đổi dấu đủ ba hạng tử
Cơ bản
Đề bài
Cho $P(x)=3x^{2}+x-2$, $Q(x)=x^{2}-4x+5$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Nghĩ từ đâu?
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải từng bước
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-x^{2}+4x-5$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(3-(1))x^{2}+(1-(-4))x+(-2-(5))$.
-
Vậy $P-Q=2x^{2}+5x-7$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(2x^{2}+5x-7)+(x^{2}-4x+5)=3x^{2}+x-2$.
Ví dụ 2. Trừ đa thức có hệ số âm
Cơ bản
Đề bài
Cho $P(x)=x^{3}+2$, $Q(x)=-2x^{3}+x-1$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Nghĩ từ đâu?
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải từng bước
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=2x^{3}-x+1$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(1-(-2))x^{3}+(0-(1))x+(2-(-1))$.
-
Vậy $P-Q=3x^{3}-x+3$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(3x^{3}-x+3)+(-2x^{3}+x-1)=x^{3}+2$.
Ví dụ 3. Trừ các hệ số phân số
Cơ bản
Đề bài
Cho $P(x)=\frac{1}{2}x^{2}+x$, $Q(x)=\frac{3}{2}x^{2}-2x+5$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Nghĩ từ đâu?
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải từng bước
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+2x-5$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}))x^{2}+(1-(-2))x+(0-(5))$.
-
Vậy $P-Q=-x^{2}+3x-5$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(-x^{2}+3x-5)+(\frac{3}{2}x^{2}-2x+5)=\frac{1}{2}x^{2}+x$.
Ví dụ 4. Hiệu hai đa thức đối nhau
Cơ bản
Đề bài
Cho $P(x)=x^{2}+2x+3$, $Q(x)=-x^{2}-2x-3$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Nghĩ từ đâu?
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải từng bước
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=x^{2}+2x+3$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(1-(-1))x^{2}+(2-(-2))x+(3-(-3))$.
-
Vậy $P-Q=2x^{2}+4x+6$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(2x^{2}+4x+6)+(-x^{2}-2x-3)=x^{2}+2x+3$.
Ví dụ 5. Hiệu mất hạng tử bậc hai
Cơ bản
Đề bài
Cho $P(x)=2x^{2}+5$, $Q(x)=2x^{2}+3x+1$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Nghĩ từ đâu?
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải từng bước
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-2x^{2}-3x-1$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(2-(2))x^{2}+(0-(3))x+(5-(1))$.
-
Vậy $P-Q=-3x+4$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(-3x+4)+(2x^{2}+3x+1)=2x^{2}+5$.
Ví dụ 6. Hiệu mất hạng tử bậc bốn
Cơ bản
Đề bài
Cho $P(x)=x^{4}+1$, $Q(x)=x^{4}+x-2$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Nghĩ từ đâu?
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải từng bước
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-x^{4}-x+2$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(1-(1))x^{4}+(0-(1))x+(1-(-2))$.
-
Vậy $P-Q=-x+3$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(-x+3)+(x^{4}+x-2)=x^{4}+1$.
Ví dụ 7. Tham số để hiệu là hằng
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Cho $P(x)=ax^2+2x+1$ và $Q(x)=ax^2+bx+3$. Tìm điều kiện để hiệu $P-Q$ là hằng, rồi xác định hằng đó.
Nghĩ từ đâu?
Hệ số bậc $2$ đã bằng nhau nên triệt tiêu; xét tiếp hệ số $x$.
Lời giải từng bước
-
$P-Q=(2-b)x-2$.
-
Hiệu là hằng khi và chỉ khi $b=2$, khi ấy bằng $-2$; không phụ thuộc giá trị $a$.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Không đòi cả hai đa thức là hằng để hiệu là hằng.
Ví dụ 8. Đổi thứ tự hai đa thức bị trừ
Chuyên sâu · tự chọn
Đề bài
Cho $P=x^2+x$, $Q=x^2-x$. Tính hai hiệu theo hai thứ tự và xác định khi nào chúng cho cùng giá trị tại $x$.
Nghĩ từ đâu?
Hai thứ tự trừ thường là hai số đối nhau.
Lời giải từng bước
-
$P-Q=2x$, còn $Q-P=-2x$.
-
Bằng giá trị khi $2x=-2x$, tức $x=0$. Hai đa thức hiệu không đồng nhất.
Kiểm lại và rút kinh nghiệm
Phép thử tại $0$ trùng chưa chứng minh phép trừ giao hoán.
3. Những lỗi cần tránh
| Lỗi | Cách tự phát hiện và sửa |
|---|---|
| Chỉ đổi dấu một số hạng tử trong ngoặc. | Lập đa thức đối đầy đủ trước. |
| Đổi thứ tự $P,Q$ như phép cộng. | Giữ thứ tự hiệu hoặc đổi dấu toàn hiệu khi đảo. |
4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng
Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.
Bài 1
Cơ bản
Cho $P(x)=5x^{2}-2x+3$, $Q(x)=2x^{2}+x-4$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 1
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-2x^{2}-x+4$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(5-(2))x^{2}+(-2-(1))x+(3-(-4))$.
-
Vậy $P-Q=3x^{2}-3x+7$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(3x^{2}-3x+7)+(2x^{2}+x-4)=5x^{2}-2x+3$.
Bài 2
Cơ bản
Cho $P(x)=x^{3}+2$, $Q(x)=-2x^{3}+x-1$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 2
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=2x^{3}-x+1$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(1-(-2))x^{3}+(0-(1))x+(2-(-1))$.
-
Vậy $P-Q=3x^{3}-x+3$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(3x^{3}-x+3)+(-2x^{3}+x-1)=x^{3}+2$.
Bài 3
Cơ bản
Cho $P(x)=\frac{1}{2}x^{2}+x$, $Q(x)=\frac{3}{2}x^{2}-2x+5$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 3
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+2x-5$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}))x^{2}+(1-(-2))x+(0-(5))$.
-
Vậy $P-Q=-x^{2}+3x-5$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(-x^{2}+3x-5)+(\frac{3}{2}x^{2}-2x+5)=\frac{1}{2}x^{2}+x$.
Bài 4
Cơ bản
Bạn bỏ $-(x^2-3x+2)$ thành $-x^2-3x+2$. Đổi dấu đủ rồi sửa.
Gợi ý bài 4
Dấu trừ tác động lên mọi hạng tử trong ngoặc.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
-
Các hạng tử đối lần lượt là $-x^2$, $+3x$, $-2$.
-
Đúng là $-x^2+3x-2$.
Tự kiểm
Nhân ngược kết quả với $-1$ khôi phục $x^2-3x+2$.
Bài 5
Cơ bản
Cho $P(x)=3x^{2}+4x+1$, $Q(x)=x^{2}-x-2$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 5
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-x^{2}+x+2$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(3-(1))x^{2}+(4-(-1))x+(1-(-2))$.
-
Vậy $P-Q=2x^{2}+5x+3$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(2x^{2}+5x+3)+(x^{2}-x-2)=3x^{2}+4x+1$.
Bài 6
Cơ bản
Cho $P(x)=2x^{3}-3x$, $Q(x)=-x^{3}+x^{2}+4$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 6
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=x^{3}-x^{2}-4$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(2-(-1))x^{3}+(0-(1))x^{2}+(-3-(0))x+(0-(4))$.
-
Vậy $P-Q=3x^{3}-x^{2}-3x-4$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(3x^{3}-x^{2}-3x-4)+(-x^{3}+x^{2}+4)=2x^{3}-3x$.
Bài 7
Cơ bản
Cho $P(x)=x^{2}+2x+\frac{1}{2}$, $Q(x)=\frac{1}{2}x^{2}-2x+\frac{3}{2}$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 7
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+2x-\frac{3}{2}$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(1-(\frac{1}{2}))x^{2}+(2-(-2))x+(\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}))$.
-
Vậy $P-Q=\frac{1}{2}x^{2}+4x-1$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(\frac{1}{2}x^{2}+4x-1)+(\frac{1}{2}x^{2}-2x+\frac{3}{2})=x^{2}+2x+\frac{1}{2}$.
Bài 8
Cơ bản
Cho $P(x)=2x^{2}+5$, $Q(x)=2x^{2}+5$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.
Gợi ý bài 8
Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
-
Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-2x^{2}-5$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.
-
Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(2-(2))x^{2}+(5-(5))$.
-
Vậy $P-Q=0$.
Tự kiểm
Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(0)+(2x^{2}+5)=2x^{2}+5$.
Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm
Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.
Bài 9
Chuyên sâu · tự chọn
Cho $P=(m+1)x^2+3x-2$, $Q=mx^2+x+4$. Tính hiệu và xét sự phụ thuộc vào $m$.
Gợi ý bài 9
Trừ các hệ số chứa cùng tham số.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
-
Hệ số $x^2$ là $(m+1)-m=1$.
-
$P-Q=x^2+2x-6$, không phụ thuộc $m$.
Tự kiểm
Đổi dấu đủ hằng $4$ cho $-4$ trước khi cộng với $-2$.
Bài 10
Chuyên sâu · tự chọn
Cho $P=2x^2+ax+b$, $Q=2x^2+5x-3$. Tìm $a,b$ để $P-Q=0$.
Gợi ý bài 10
Mọi hệ số của hiệu phải $0$.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
-
$P-Q=(a-5)x+(b+3)$.
-
Cần $a=5,b=-3$; khi ấy $P=Q$.
Tự kiểm
Không chỉ kiểm hệ số $x^2$ vì nó tự triệt tiêu.
Bài 11
Chuyên sâu · tự chọn
Bạn tính $P-(Q-R)$ thành $P-Q-R$. Viết đúng và nêu một ví dụ tại $x=1$ để bác cách sai.
Gợi ý bài 11
Đa thức đối của $Q-R$ là $-Q+R$.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
-
Đúng $P-(Q-R)=P-Q+R$.
-
Lấy $P=x$, $Q=2 x$, $R=3 x$; tại $1$ đúng $1-(2-3)=2$, cách sai $1-2-3=-4$.
Tự kiểm
Dấu của $R$ đổi khi bỏ ngoặc sau dấu trừ.
Bài 12
Chuyên sâu · tự chọn
$P-Q=Q-P$ với mọi $x$ thì có buộc $P=Q$ không? Giải thích bằng hệ số của đa thức hiệu.
Gợi ý bài 12
Đặt $D=P-Q$, khi ấy $D=-D$.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
-
$D=-D$ cho $2D=0$. Mọi hệ số $d$ của $D$ thỏa $2d=0$, nên $d=0$.
-
$D=0$ nên $P=Q$; ngược lại, nếu $P=Q$ thì cả hai hiệu bằng $0$.
Tự kiểm
Tính chất này dùng hệ số thực, nơi $2$ khác $0$.
5. Tự kiểm sau khi học
Dùng tính chất phép cộng để nhóm hợp lí cả các đa thức đối.
Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.
6. Tải học liệu miễn phí
Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Cộng và trừ đa thức một biến. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.