Giải thích hai đường chéo bằng nhau
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Hai đường chéo bằng nhau là kết quả của hai tam giác có chung một đáy. Trong chứng minh, thứ tự đỉnh tương ứng cần được ghi rõ để lấy đúng hai cạnh đường chéo.
Sau bài này, em có thể:
- Chứng minh hai đường chéo bằng nhau bằng tam giác bằng nhau
- Dùng tính chất để lập phương trình độ dài
Cần biết trước: Mô$-$đun $29$; đường thẳng song song và tam giác bằng nhau lớp $7$.
1. Kiến thức và phương pháp
Quy ước: hình thang là tứ giác lồi có ít nhất một cặp cạnh đối song song. Gọi $ABCD$ theo thứ tự quanh biên, $AB$ song song $CD$ là hai đáy. Hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau; quy ước này bao gồm hình chữ nhật. Trong hình thang cân, $AD=BC$ và góc $DAB=CBA$. Hai tam giác $DAB$, $CBA$ có $DA=CB$, $AB=BA$ và góc xen giữa bằng nhau, nên bằng nhau theo cạnh$–$góc$–$cạnh. Suy ra $DB=CA$.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Chọn tam giác
Đề bài
Vì sao xét $DAB$ và $CBA$ để chứng minh $AC=BD$?
Lời giải
Hai tam giác có $AB$ chung, $DA=CB$ là cạnh bên, và góc $DAB=CBA$ là góc đáy. Cạnh $DB$ tương ứng $CA$, đúng hai đường chéo cần so.
Cách tự kiểm
Tương ứng là $D$ với $C$, $A$ với $B$, $B$ với $A$.
Ví dụ 2. Tính đường chéo
Đề bài
Hình thang cân có $AC=14$ cm.
Lời giải
Theo tính chất, $BD=AC=14$ cm.
Cách tự kiểm
Không suy hai đường chéo vuông góc hoặc chia đôi nhau.
Ví dụ 3. Giải phương trình
Đề bài
Hai đường chéo có độ dài $4x-3$ và $2x+7$ cm.
Lời giải
Đặt bằng nhau: $4x-3=2x+7$ cho $x=5$. Mỗi đường chéo $17$ cm, dương.
Cách tự kiểm
Thay $x=5$ vào cả hai biểu thức đều được $17$.
Ví dụ 4. Không chứng minh bằng đo
Đề bài
Đo hình cho $AC$ gần $BD$. Có đủ kết luận đúng chính xác không?
Lời giải
Đo cho kiểm tra gần đúng. Lập luận chính xác dựa trên hai tam giác $DAB$, $CBA$ bằng nhau như trên.
Cách tự kiểm
Nét vẽ và thước có sai số; tính chất không phụ thuộc một hình riêng.
3. Những lỗi thường gặp
- Ghi sai thứ tự tam giác tương ứng.
- Suy đường chéo chia đôi nhau từ việc chúng bằng nhau.
- Dùng phép đo thay cho chứng minh.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
$ABCD$ là hình thang cân, $AB \parallel CD$. Ghi đúng ba cặp yếu tố để so tam giác $DAB$ với $CBA$ theo cạnh$-$góc$-$cạnh.
-
Từ hai tam giác ở nhiệm vụ $1$, cạnh $DB$ tương ứng cạnh nào? Nếu $AC = 12$ cm, tìm $BD$.
-
Một hình thang cân có $AC = 3x + 1$ cm và $BD = 2x + 6$ cm. Tìm $x$ và độ dài mỗi đường chéo.
-
Bạn chỉ nói “hai đường chéo trông bằng nhau trên hình” để kết luận $AC = BD$. Hãy thay bằng lập luận đủ căn cứ.
-
Hình thang cân có $AC=5t+2$, $BD=3t+10$ cm. Tìm $t$ và đường chéo.
-
Một hình thang có đường chéo $8$ và $9$ cm. Nó có cân không?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$DA = CB$, $AB = BA$ và góc $DAB = CBA$. Thứ tự tương ứng là $D$↔$C$, $A$↔$B$, $B$↔$A$.
-
$DB$ tương ứng $CA$, nên $BD = AC = 12$ cm.
-
$3x + 1 = 2x + 6$, nên $x = 5$. Hai đường chéo đều dài $16$ cm.
-
Từ hình thang cân suy ra $AD = BC$ và góc $DAB = CBA$. Kết hợp $AB$ chung, tam giác $DAB$, $CBA$ bằng nhau theo cạnh$-$góc$-$cạnh; do đó $AC = BD$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
$5t+2=3t+10$ cho $t=4$; hai đường chéo $22$ cm.
-
Không. Nếu cân thì hai đường chéo phải bằng nhau, trái dữ kiện $8$ khác $9$.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.