Đến nội dung chính

Đồng dạng cạnh–cạnh–cạnh – Toán lớp 8

THCSLớp 8Hình khối, tứ giác và tam giác đồng dạngMở mô-đun

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật nội dung: 27/10/2026

Ba cặp cạnh tỉ lệ đủ để suy các góc tương ứng bằng nhau. Việc ghép cạnh đúng thứ tự là bước quyết định của tiêu chuẩn cạnh–cạnh–cạnh.

Sau bài này, em có thể:

  • Giải thích trường hợp cạnh-cạnh-cạnh.
  • Giải thích căn cứ và tự kiểm kết quả trong các tình huống của bài.

Cần biết trước: Mô-đun 42; dựng hình và định lí Thalès.

1. Kiến thức và phương pháp

Nếu

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=k>0,$$

thì $\triangle ABC\sim\triangle DEF$. Khi $0<k<1$, dựng $DM=AB$ trên $DE$ và $MN\parallel EF$ với $N\in DF$. Bổ đề cắt song song cho $DN=AC$, $MN=BC$; tam giác $DMN$ bằng $ABC$ theo ba cạnh. Góc tương ứng với $DEF$ bằng nhau nhờ song song.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Bộ cạnh nhân cùng hệ số

Đề bài

$AB,AC,BC$ bằng $3,4,5$ cm; $DE,DF,EF$ bằng $6,8,10$ cm. Kết luận.

Lời giải

Ba thương là $3/6=4/8=5/10=1/2$. Theo cạnh–cạnh–cạnh, $\triangle ABC\sim\triangle DEF$.

Cách tự kiểm

Cạnh $BC=5$ phải đi với $EF=10$, không đi với $DF=8$.

Ví dụ 2. Phát hiện một cặp không tỉ lệ

Đề bài

Hai bộ cạnh theo thứ tự là $4,6,8$ và $6,9,11$ cm. Có áp dụng tiêu chuẩn này không?

Lời giải

Hai thương đầu là $2/3$, còn $8/11\ne2/3$. Vì vậy không đồng dạng theo thứ tự đã nêu; hai cặp cạnh tỉ lệ chưa đủ.

Cách tự kiểm

Cả hai bộ đều thỏa bất đẳng thức tam giác; phản ví dụ hợp lệ.

Ví dụ 3. Giải thích góc trong chứng minh

Đề bài

Vì sao $\triangle ABC=\triangle DMN$ dẫn tới $\widehat B=\widehat E$?

Lời giải

Tam giác bằng nhau cho $\widehat B=\widehat{DMN}$. Mặt khác $MN\parallel EF$, $DM$ cùng hướng $DE$ nên $\widehat{DMN}=\widehat E$. Ghép hai đẳng thức được điều cần chứng minh.

Cách tự kiểm

Nhắc cả bước tam giác bằng nhau và bước song song, không chỉ ghi “tương tự”.

Ví dụ 4. Tỉ số bằng một

Đề bài

Ba cặp cạnh tương ứng có tỉ số $1$. Chứng minh đồng dạng.

Lời giải

Ba cạnh tương ứng bằng nhau nên hai tam giác bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh. Các góc tương ứng bằng nhau và ba tỉ số bằng $1$; do đó đồng dạng.

Cách tự kiểm

Không cần dựng điểm phụ trùng đầu mút rồi giả sử nằm giữa.

3. Những lỗi thường gặp

  • Ba cạnh của mỗi bộ phải thực sự tạo được tam giác.
  • Không suy đồng dạng từ việc các cạnh chênh nhau cùng một số.

4. Bài tập tự luyện

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.

  1. Cho $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 5$ cm; $DE = 6$ cm, $DF = 8$ cm, $EF = 10$ cm. Kiểm ba tỉ số và kết luận đúng thứ tự.

  2. Trong chứng minh với $0 < k < 1$, $DM = AB$ và $MN \parallel EF$. Vì sao $DN = AC$ và $MN = BC$?

  3. Tiếp lập luận bài tập $2$: vì sao ba cặp góc $ABC$, $DEF$ bằng nhau?

  4. Với $k = 1$ hoặc $k > 1$, chứng minh cạnh-cạnh-cạnh cần xử lí thế nào để không dựng một điểm “nằm giữa” ngoài đoạn?

  5. Hai bộ cạnh $5,7,9$ và $10,14,18$ cm. Kết luận và tìm tỉ số nhỏ đối với lớn.

  6. Hai bộ $3,4,5$ và $5,6,7$ có đồng dạng vì mỗi cạnh tăng $2$ không?

  7. Các cạnh $6,8,9$ và $15,20,22{,}5$ cm có tỉ lệ chung không?

  8. Ba số $1,2,3$ và $2,4,6$ có tỉ lệ chung. Có gọi là hai tam giác đồng dạng không?

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $AB/DE = AC/DF = BC/EF = \frac{1}{2}$. Theo cạnh-cạnh-cạnh, $ABC$ đồng dạng $DEF$ với $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.

  2. Bổ đề cho $DN/DF = MN/EF = DM/DE = k$. Giả thiết cho $AC/DF = BC/EF = k$, nên $DN = AC$ và $MN = BC$. Các mẫu $DF$, $EF$ dương.

  3. $AB = DM$, $AC = DN$, $BC = MN$ nên $ABC$ bằng $DMN$ theo cạnh-cạnh-cạnh. $M$, $N$ nằm trên $DE$, $DF$ và $MN \parallel EF$ nên các góc của $DMN$ tương ứng bằng các góc $D$, $E$, $F$. Ghép hai kết quả được $A = D$, $B = E$, $C = F$.

  4. $k = 1$: ba cạnh tương ứng bằng nhau nên dùng ngay cạnh-cạnh-cạnh của hai tam giác bằng nhau. $k > 1$: đổi vai hai tam giác để tỉ số mới nhỏ hơn $1$, chứng minh theo cách trên rồi đảo chiều tương ứng.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Các tỉ số bằng $1/2$; hai tam giác đồng dạng theo cạnh–cạnh–cạnh với $k=1/2$.

  2. Không. $3/5\ne4/6$; cộng cùng một số không bảo toàn tỉ số cạnh.

  3. Có: ba thương nhỏ/lớn đều $2/5$; hai tam giác đồng dạng theo cạnh–cạnh–cạnh.

  4. Không: mỗi bộ có tổng hai số nhỏ bằng số lớn, nên không tạo tam giác không suy biến. Phải kiểm đối tượng trước tiêu chuẩn.

5. Tải học liệu và học tiếp

Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.

Tải bộ phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án