Giao hoán trong tổng và tích phân thức
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Đổi thứ tự các số hạng hoặc thừa số có thể giúp ghép các phân thức cùng mẫu hoặc các nhân tử dễ giản ước. Chỉ phép cộng và nhân có tính giao hoán; phép trừ không được đổi vị trí tùy ý.
Sau bài này, em có thể:
- Dùng giao hoán trong tổng và tích.
- Phân biệt với việc đổi thứ tự phép trừ.
Cần biết trước: Mô-đun 13.
1. Kiến thức và phương pháp
Trên miền mọi biểu thức đều xác định, $A+B=B+A$ và $AB=BA$. Đổi thứ tự không thay miền ban đầu. Với hiệu, $A-B=-(B-A)$, nên đảo thứ tự thường làm đổi dấu chứ không giữ nguyên kết quả.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Ghép phân thức cùng mẫu
Đề bài
Tính $1/x+2/(x+1)+3/x$.
Lời giải
Miền $x\ne0,-1$. Đổi thứ tự để cộng $1/x+3/x=4/x$, rồi tổng bằng $\frac{6x+4}{x(x+1)}$.
Cách tự kiểm
Các số hạng giữ nguyên dấu khi đổi vị trí.
Ví dụ 2. Ghép tích thuận tiện
Đề bài
Tính $(2/x)(x/3)$.
Lời giải
Với $x\ne0$, có thể viết $(x/3)(2/x)$ rồi giản ước nhân tử $x$. Kết quả $2/3$.
Cách tự kiểm
Điều kiện $x\ne0$ không mất vì kết quả là hằng.
Ví dụ 3. Phép trừ không giao hoán
Đề bài
Có đổi $1/x-1/(x+1)$ thành $1/(x+1)-1/x$ được không?
Lời giải
Không. Trên miền $x\ne0,-1$, biểu thức đầu $1/[x(x+1)]$, biểu thức sau là số đối $-1/[x(x+1)]$.
Cách tự kiểm
Tại $x=1$, hai giá trị $1/2$ và $-1/2$ khác nhau.
Ví dụ 4. Viết hai thứ tự của tích
Đề bài
Đổi thứ tự $\frac1x\cdot\frac3{x-1}$.
Lời giải
Bằng $\frac3{x-1}\cdot\frac1x=\frac3{x(x-1)}$ với $x\ne0,1$. Đây là giao hoán của phép nhân.
Cách tự kiểm
Không có sự đảo phân thức nào trong việc đổi thứ tự thừa số.
3. Những lỗi thường gặp
- Áp dụng giao hoán cho phép trừ hoặc chia.
- Đổi vị trí số hạng mà làm mất dấu.
- Quên miền ban đầu sau giản ước.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Dùng giao hoán ghép cùng mẫu trong $1/x+2/(x+1)+3/x$, tính tổng.
-
Đổi thứ tự tính $(2/x)(x/3)$, nêu điều kiện.
-
Có dùng giao hoán đổi $1/x-1/(x+1)$ thành hiệu ngược không?
-
Viết hai tích phân thức khác thứ tự nhưng bằng nhau, ghi miền.
-
Tính $2/a+1/(a+1)+3/a$ bằng đổi thứ tự.
-
Tính $(3/u)(u/5)$ và giữ miền.
-
Đổi thứ tự các số hạng kèm dấu để tính $\frac3x-\frac1{x+1}+\frac2x$.
-
Có thể đổi thứ tự hai phân thức trong phép chia như phép nhân không? Dùng hai số $2,4$ viết dưới dạng phân thức để bác bỏ.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$\frac{6x+4}{x(x+1)}$, $x\ne0,-1$.
-
$2/3$, $x\ne0$.
-
Không; hai hiệu là số đối nhau trên $x\ne0,-1$.
-
Ví dụ $\frac1x\frac3{x-1}=\frac3{x-1}\frac1x$, miền $x\ne0,1$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$5/a+1/(a+1)=\frac{6a+5}{a(a+1)}$, $a\ne0,-1$.
-
$3/5$, $u\ne0$.
-
Ghép $3/x+2/x=5/x$, nên kết quả $\frac{4x+5}{x(x+1)}$, miền $x\ne0,-1$. Khi đổi vị trí, số hạng $-1/(x+1)$ giữ dấu âm.
-
Không. $(2/1):(4/1)=1/2$, còn $(4/1):(2/1)=2$. Phép chia không giao hoán.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.