Kiểm tổng hiệu và điều kiện xác định
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Một tổng hoặc hiệu phân thức có thể rút gọn đến hằng số, nhưng miền ban đầu vẫn cần giữ. Bài này kết hợp quy đồng, dấu của mẫu và kiểm giá trị hợp lệ.
Sau bài này, em có thể:
- Kiểm kết quả bằng biến đổi và giá trị số hợp lệ.
- Giữ điều kiện khi kết quả bằng $0$ hoặc một hằng số.
Cần biết trước: Mô-đun 11; cộng trừ đa thức.
1. Kiến thức và phương pháp
Trước khi tính, tập hợp các điều kiện của mọi mẫu. Nếu hai mẫu đối nhau, dùng $1/(-M)=-1/M$ trên $M\ne0$. Sau tính toán, so lại với biểu thức gốc tại một giá trị hợp lệ để phát hiện lỗi; phép thử không thay thế biến đổi tổng quát.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Kiểm tổng tại số hợp lệ
Đề bài
Tính $1/x+1/(x+1)$ rồi kiểm tại $x=1$.
Lời giải
Kết quả $\frac{2x+1}{x(x+1)}$, $x\ne0,-1$. Tại $1$ bằng $3/2$, khớp $1+1/2$.
Cách tự kiểm
$x=0$ không được dùng làm phép thử vì biểu thức gốc không xác định.
Ví dụ 2. Hiệu bằng hằng
Đề bài
Tính $\frac{x+2}{x-1}-\frac3{x-1}$.
Lời giải
Tử $x+2-3=x-1$, nên hiệu bằng $1$ với $x\ne1$.
Cách tự kiểm
Không viết “bằng $1$ với mọi $x$”.
Ví dụ 3. Mẫu đối nhau
Đề bài
Tính $1/(x-2)+1/(2-x)$.
Lời giải
Vì $2-x=-(x-2)$, hai phân thức đối nhau. Tổng bằng $0$ khi $x\ne2$; tại $2$ cả hai không xác định.
Cách tự kiểm
Dấu âm của mẫu có thể đưa lên tử.
Ví dụ 4. Tự tạo hiệu
Đề bài
Tạo hai phân thức mẫu $x+3$ có hiệu bằng $2$.
Lời giải
Chọn $\frac{2x+7}{x+3}-\frac1{x+3}=\frac{2x+6}{x+3}=2$, với $x\ne-3$.
Cách tự kiểm
Hiệu hai tử phải bằng $2(x+3)$.
3. Những lỗi thường gặp
- Ghi kết quả hằng mà bỏ điều kiện.
- Nhầm hai mẫu đối nhau là giống nhau không cần đổi dấu.
- Dùng giá trị bị loại để kiểm.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Tính $1/x+1/(x+1)$, kiểm tại $1$ và ghi điều kiện.
-
Tính $\frac{x+2}{x-1}-\frac3{x-1}$ và giữ miền.
-
Một bạn nói $\frac1{x-2}+\frac1{2-x}=0$ với mọi $x$. Hãy sửa phát biểu và giải thích.
-
Tạo hiệu hai phân thức cùng mẫu $x+3$ bằng $2$, ghi điều kiện.
-
Tính $1/(u+1)+1/(-u-1)$.
-
Tính $\frac{2a+1}{a-2}-\frac5{a-2}$.
-
Tính $\frac{x}{x+2}+\frac2{x+2}$ rồi bác bỏ phát biểu “kết quả bằng $1$ với mọi số thực”.
-
Bạn kiểm một tổng phân thức tại giá trị làm mẫu bằng $0$ rồi kết luận công thức sai. Vì sao bước kiểm không hợp lệ?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$\frac{2x+1}{x(x+1)}$, $x\ne0,-1$; tại $1$ bằng $3/2$.
-
$1$, $x\ne1$.
-
Tổng bằng $0$ chỉ với $x\ne2$. Trên miền này, $2-x=-(x-2)$ nên $\frac1{2-x}=-\frac1{x-2}$ và hai phân thức đối nhau. Tại $x=2$, cả hai mẫu đều bằng $0$, nên tổng không xác định.
-
Ví dụ $\frac{2x+7}{x+3}-\frac1{x+3}=2$, $x\ne-3$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$0$ với $u\ne-1$.
-
$2$ với $a\ne2$.
-
Tổng bằng $1$ trên $x\ne-2$. Tại $x=-2$, hai phân thức gốc không xác định nên phát biểu “mọi số thực” sai.
-
Không có giá trị số của biểu thức gốc ở nơi mẫu bằng $0$, nên không thể so hai giá trị tại đó. Phải chọn đầu vào trong miền chung hoặc kiểm bằng quy đồng tổng quát.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.