Lập phương của một tổng và các hệ số lớp 8
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Lập phương của một tổng có bốn hạng tử. Hai hạng tử hỗn hợp xuất hiện khi nhân bình phương của tổng với chính tổng đó.
Sau bài này, em có thể:
- Hiểu nguồn gốc hệ số $1,3,3,1$.
- Khai triển và tính số bằng lập phương tổng.
Cần biết trước: Mô-đun 06; phân phối và quy tắc dấu.
1. Kiến thức và phương pháp
Nhân $(a+b)^2$ với $a+b$, rồi gộp hạng tử đồng dạng, ta được
Tổng số mũ trong mỗi hạng tử là $3$, nhưng số mũ của $a$ giảm từ $3$ xuống $0$ còn của $b$ tăng từ $0$ lên $3$.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Số hạng thứ hai là một
Đề bài
Khai triển $(x+1)^3$.
Lời giải
Áp dụng với $a=x,b=1$, kết quả $x^3+3x^2+3x+1$. Các hệ số $1,3,3,1$ vẫn xuất hiện đầy đủ.
Cách tự kiểm
Không bỏ hai hạng tử hỗn hợp $3x^2,3x$.
Ví dụ 2. Hệ số trong số hạng
Đề bài
Khai triển $(2a+b)^3$.
Lời giải
Các thành phần là $8a^3,3(2a)^2b=12a^2b,3(2a)b^2=6ab^2,b^3$. Tổng $8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3$.
Cách tự kiểm
Bình phương và lập phương cả hệ số $2$ khi tính từng thành phần.
Ví dụ 3. Tính một lập phương
Đề bài
Tính $11^3$ bằng $11=10+1$.
Lời giải
$11^3=10^3+3\cdot10^2+3\cdot10+1=1000+300+30+1=1331$.
Cách tự kiểm
Hai hạng tử giữa lần lượt là $300$ và $30$.
Ví dụ 4. Phát hiện thiếu tích hỗn hợp
Đề bài
Sửa $(x+y)^3=x^3+y^3$.
Lời giải
Bổ sung $3x^2y+3xy^2$. Tại $x=y=1$, lập phương tổng bằng $8$, còn tổng lập phương bằng $2$, nên hai cấu trúc khác nhau.
Cách tự kiểm
Tổng số mũ của mỗi hạng tử hỗn hợp vẫn bằng $3$.
3. Những lỗi thường gặp
- Nhầm lập phương tổng với tổng lập phương.
- Viết hai hạng tử hỗn hợp cùng phần biến.
- Quên lũy thừa của hệ số.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Khai triển $(x+1)^3$.
-
Khai triển $(2a+b)^3$.
-
Tính $11^3$ bằng cách viết $11=10+1$ rồi dùng công thức lập phương của một tổng.
-
Nam viết $(x+y)^3=x^3+y^3$. Nêu phần thiếu và kiểm tại $(1,1)$.
-
Khai triển $(a+2b)^3$.
-
Tính $21^3$ bằng $20+1$.
-
Tìm số dương $c$ để hệ số của $x^2$ trong $(x+c)^3$ bằng $9$. Viết khai triển tương ứng.
-
Thu gọn $(a+b)^3-a^3-b^3$ mà không thay số.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$x^3+3x^2+3x+1$.
-
$8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3$.
-
$11^3=(10+1)^3=10^3+3\cdot10^2\cdot1+3\cdot10\cdot1^2+1^3=1000+300+30+1=1331$.
-
Hai hạng tử bị thiếu là $3x^2y$ và $3xy^2$. Tại $x=y=1$, vế trái $(x+y)^3$ bằng $8$, còn vế phải $x^3+y^3$ bằng $2$. Vì $8\ne2$, hai biểu thức không đồng nhất.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$.
-
$8000+1200+60+1=9261$.
-
Hệ số là $3c$, nên $c=3$. Khai triển $x^3+9x^2+27x+27$.
-
Khai triển rồi triệt tiêu hai lập phương riêng được $3a^2b+3ab^2$. Đây là hai hạng tử hỗn hợp bị bỏ khi nhầm lập phương tổng với tổng lập phương.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.