Nhận biết phân thức đại số
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Phân thức đại số mở rộng việc tính toán từ đa thức sang tỉ số hai đa thức. Cần phân biệt mẫu không phải đa thức không với mẫu nhận giá trị khác không tại một bộ số cụ thể.
Sau bài này, em có thể:
- Nhận tử và mẫu của phân thức.
- Phân biệt điều kiện hình thức với điều kiện tính giá trị.
Cần biết trước: Mô-đun 09; phân số và giá trị biểu thức.
1. Kiến thức và phương pháp
Phân thức đại số có dạng $A/B$, trong đó $A,B$ là đa thức và $B$ không là đa thức $0$. Mỗi đa thức $P$ cũng là phân thức $P/1$. Khi tính giá trị tại số cụ thể, còn cần giá trị của mẫu khác $0$; một đa thức mẫu khác $0$ vẫn có thể có nghiệm.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tử và mẫu nhiều biến
Đề bài
Nêu tử, mẫu của $\frac{2a-b}{a+b}$.
Lời giải
Tử là $2a-b$, mẫu là $a+b$. Mẫu không đồng nhất với đa thức $0$ nên đây là phân thức. Tuy nhiên tại $a=1,b=-1$, mẫu nhận giá trị $0$, không tính được giá trị phân thức.
Cách tự kiểm
Không đồng nhất “đa thức khác $0$” với “luôn khác $0$ tại mọi số”.
Ví dụ 2. Đa thức là phân thức
Đề bài
Vì sao $3x^2$ là phân thức?
Lời giải
Viết $3x^2=\frac{3x^2}{1}$. Mẫu hằng $1$ là đa thức khác $0$ và không làm phát sinh giá trị bị loại.
Cách tự kiểm
Phân thức không nhất thiết phải được viết sẵn dưới dạng có gạch phân số.
Ví dụ 3. Mẫu là đa thức không
Đề bài
$\frac{x+1}{0}$ có là phân thức đại số không?
Lời giải
Không, vì mẫu là đa thức $0$, không thỏa định nghĩa. Không có giá trị biến nào làm phép chia này hợp lệ.
Cách tự kiểm
Không thể sửa bằng cách yêu cầu $x\ne-1$; lỗi nằm ở mẫu.
Ví dụ 4. Tử bằng không
Đề bài
Xét $\frac0{x-1}$.
Lời giải
Đây là phân thức vì mẫu $x-1$ không là đa thức $0$. Với $x\ne1$, giá trị bằng $0$. Tại $x=1$, phép chia $0/0$ không xác định.
Cách tự kiểm
Tử bằng $0$ không cho phép bỏ điều kiện mẫu.
3. Những lỗi thường gặp
- Loại một phân thức vì mẫu có thể bằng $0$ tại vài giá trị.
- Chấp nhận mẫu là đa thức $0$.
- Cho $0/0$ giá trị bằng $0$ hoặc $1$.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Trong $\frac{x+1}{x-2}$, $3x^2$, $\frac{x+1}{0}$, biểu thức nào là phân thức?
-
Chỉ tử và mẫu của $\frac{2a-b}{a+b}$. Mẫu có là đa thức $0$ không?
-
Vì sao $\frac0{x-1}$ là phân thức nhưng không tính tại $x=1$?
-
Viết phân thức có tử $x^2-1$, mẫu không hằng và nêu một giá trị phải loại.
-
$\frac5{a^2+1}$ có giá trị với mọi $a$ thực không?
-
$\frac{u+v}{u-v}$ có tính tại $u=v=2$ không?
-
Xét $\frac{x+1}{(m-2)x+m-2}$. Với $m=2$, biểu thức có là phân thức đại số theo $x$ không?
-
Viết $P=2a-b+3$ dưới dạng một phân thức có mẫu hằng, rồi nêu miền xác định theo $a,b$ thực.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Hai biểu thức đầu; $3x^2=3x^2/1$. Biểu thức cuối có mẫu là đa thức $0$.
-
Tử $2a-b$, mẫu $a+b$; mẫu không là đa thức $0$, dù có thể bằng $0$ tại một số cặp.
-
Mẫu là đa thức khác $0$, nhưng tại $1$ mẫu có giá trị $0$.
-
Ví dụ $\frac{x^2-1}{x+2}$, loại $x=-2$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Có, vì $a^2+1>0$ với mọi $a$ thực.
-
Không, vì mẫu $u-v=0$.
-
Không. Khi $m=2$, mẫu trở thành đa thức $0$, trái định nghĩa. Với $m\ne2$, mẫu $(m-2)(x+1)$ là đa thức khác $0$, nhưng khi tính số vẫn phải loại $x=-1$.
-
$P=\frac{2a-b+3}{1}$. Mẫu $1$ luôn khác $0$, nên xác định với mọi $a,b$ thực.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.