Nhận biết hình chữ nhật từ hình bình hành – lớp 8
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Một hình bình hành có thêm đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Tiền đề bình hành cung cấp quan hệ góc kề bù; không thể bỏ tiền đề này.
Sau bài này, em có thể:
- Giải thích dấu hiệu đường chéo bằng nhau
- Nhận chữ nhật từ một góc vuông của bình hành
Cần biết trước: Mô$-$đun $33$; góc vuông.
1. Kiến thức và phương pháp
$ABCD$ là hình bình hành, $AC=BD$. Tam giác $DAB$, $CBA$ có $DA=CB$, $AB$ chung, $DB=CA$, nên bằng nhau theo cạnh$–$cạnh$–$cạnh. Suy $A=B$. Hai góc kề bù nên mỗi góc $90^\circ $; góc đối bằng nhau cho cả bốn góc vuông.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hoàn tất dấu hiệu
Đề bài
Từ $A=B$ trong hình bình hành, vì sao $A=B=90^\circ $?
Lời giải
Vì $A+B=180^\circ $. Hai số bằng nhau có tổng $180^\circ $ thì mỗi số $90^\circ $. Các góc đối cũng $90^\circ $, nên chữ nhật.
Cách tự kiểm
Sự bù nhau đến từ bình hành, không chỉ từ tứ giác bất kỳ.
Ví dụ 2. Một góc vuông
Đề bài
Hình bình hành có $D=90^\circ $.
Lời giải
$B=D=90^\circ $; $A$, $C$ kề góc vuông nên bằng $90^\circ $. Hình có bốn góc vuông, là chữ nhật.
Cách tự kiểm
Không cần kiểm độ dài đường chéo bằng cách đo.
Ví dụ 3. Nửa đường chéo bằng nhau
Đề bài
Trong hình bình hành, $AO=BO$.
Lời giải
$AC=2 AO$, $BD=2 BO$ nên $AC=BD$. Dấu hiệu cho hình chữ nhật.
Cách tự kiểm
Dùng quan hệ chia đôi vì đã biết bình hành.
Ví dụ 4. Thiếu tiền đề
Đề bài
Một tứ giác lồi chỉ có $AC=BD$. Có nhận chữ nhật ngay không?
Lời giải
Không. Hình thang cân có hai đáy khác độ dài cũng có đường chéo bằng nhau nhưng không là chữ nhật.
Cách tự kiểm
Cần bình hành hoặc điều kiện đủ khác, không chỉ đẳng thức đường chéo.
3. Những lỗi thường gặp
- Bỏ giả thiết bình hành.
- Suy góc $90^\circ $ từ hai góc bằng nhau mà không có tổng $180^\circ $.
- Dùng tính chất chữ nhật để chứng minh chữ nhật một cách vòng.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Với hình bình hành có $AC=BD$, nêu ba cặp cạnh để so $DAB$ và $CBA$.
-
Hoàn thiện bước từ $DAB\cong CBA$ đến $ABCD$ là hình chữ nhật; phải dùng thêm quan hệ tổng góc nào?
-
Một hình bình hành có một góc $90^\circ $. Chứng minh đó là hình chữ nhật mà không cần biết độ dài đường chéo.
-
Một tứ giác lồi chỉ có $AC=BD$, chưa biết là hình bình hành. Có được áp dụng dấu hiệu ở bài này không? Nêu giả thiết còn thiếu và một lớp phản ví dụ.
-
Hình bình hành có $AC=BD=15$ cm. Kết luận và tính $AO$.
-
Hình bình hành $A=2t^\circ $, $B=t^\circ $. Với $t$ tìm được, hình có là chữ nhật không?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$DA=CB$ theo cạnh đối; $AB=BA$; $DB=CA$ theo giả thiết. Cạnh$–$cạnh$–$cạnh.
-
Suy góc $A=$góc $B$. Vì $AD$ song song $BC$ và $AB$ là cát tuyến nên hai góc kề $A+B=180^\circ $; do đó $A=B=90^\circ $. Góc đối bằng nhau nên $C=D=90^\circ $.
-
Góc đối cũng $90^\circ $; hai góc kề bù với $90^\circ $ nên đều $90^\circ $. Tứ giác có bốn góc vuông.
-
Không; cần đã là hình bình hành. Hình thang cân không là hình bình hành có đường chéo bằng nhau nhưng không là hình chữ nhật.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
Đó là hình chữ nhật; $AO=7{,}5$ cm.
-
$3t=180$ cho $t=60$; $A=120^\circ $, $B=60^\circ $, không là chữ nhật.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.