Nhận hình thoi từ hình bình hành
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Một bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. Điều kiện bình hành cung cấp sự chia đôi đường chéo, tạo hai tam giác vuông bằng nhau.
Sau bài này, em có thể:
- Chứng minh dấu hiệu từ đường chéo vuông góc
- Nhận thoi từ hai cạnh kề bằng nhau của bình hành
Cần biết trước: Mô$-$đun $33$; phân giác và tam giác bằng nhau.
1. Kiến thức và phương pháp
Trong bình hành $ABCD$ có $AC$ vuông góc $BD$ tại $O$, $BO=DO$, $AO$ chung và góc $AOB=AOD=90^\circ $. Tam giác $AOB$, $AOD$ bằng nhau theo cạnh$–$góc$–$cạnh, nên $AB=AD$. Kết hợp cạnh đối bằng nhau suy bốn cạnh bằng nhau, được hình thoi.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Ba yếu tố của tam giác
Đề bài
Vì sao $AOB$, $AOD$ bằng nhau?
Lời giải
$AO$ chung, $BO=DO$ nhờ bình hành; hai góc xen giữa ở $O$ đều $90^\circ $ nhờ vuông góc.
Cách tự kiểm
Dấu hiệu dùng đủ hai dữ kiện bình hành và vuông góc.
Ví dụ 2. Từ cạnh kề
Đề bài
Bình hành có $AB=BC$.
Lời giải
$AB=CD$, $BC=DA$ theo bình hành; kết hợp $AB=BC$ cho bốn cạnh bằng nhau, nên hình thoi.
Cách tự kiểm
Không cần thêm góc vuông.
Ví dụ 3. Thiếu bình hành
Đề bài
Tứ giác chỉ có $AC$ vuông góc $BD$. Đã chắc là thoi chưa?
Lời giải
Chưa. Không biết đường chéo chia đôi nhau nên không có $BO=DO$ trong chứng minh. Một hình diều không là thoi có thể có đường chéo vuông góc.
Cách tự kiểm
Cần thêm bình hành hoặc điều kiện đủ để nhận bình hành trước.
Ví dụ 4. Tìm ẩn cạnh kề
Đề bài
Bình hành $AB=2x+1$, $BC=4x-5$ cm. Tìm $x$ để thoi.
Lời giải
Cho $AB=BC$ được $x=3$; cả hai cạnh $7$ cm, nên thoi.
Cách tự kiểm
Đẳng thức hai cạnh kề kết hợp cạnh đối để có đủ bốn cạnh.
3. Những lỗi thường gặp
- Bỏ giả thiết bình hành khỏi dấu hiệu đường chéo.
- Dùng cạnh đối bằng nhau thay cạnh kề để nhận thoi.
- Gọi hình thoi là hình có bốn góc vuông.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Với hình bình hành có đường chéo vuông góc, nêu dữ kiện cạnh và góc để so $AOB$, $AOD$.
-
Hoàn thiện bước từ $AOB\cong AOD$ đến kết luận hình thoi, nêu rõ tính chất hình bình hành.
-
Một hình bình hành có hai cạnh kề $AB=BC=7$ cm. Có là hình thoi không? Giải thích không cần xét góc.
-
Một tứ giác chỉ có hai đường chéo vuông góc, chưa biết là hình bình hành. Nêu giả thiết còn thiếu để dùng dấu hiệu ở ví dụ.
-
Tứ giác có đường chéo chia đôi nhau và vuông góc. Viết hai bước nhận biết.
-
Hình bình hành $AB=5$ cm, $BC=7$ cm. Có là thoi không?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$AO$ chung; $BO=DO$; $\angle AOB=\angle AOD=90^\circ $. Dùng cạnh$–$góc$–$cạnh.
-
Suy $AB=AD$. Lại $AB=CD$ và $AD=BC$ nên $AB=BC=CD=DA$; tứ giác là hình thoi.
-
Có; $AB=CD$, $BC=DA$ theo hình bình hành, kết hợp $AB=BC$ nên cả bốn cạnh $7$ cm.
-
Cần đã là hình bình hành, hoặc bổ sung hai đường chéo chia đôi nhau để chứng minh hình bình hành trước. Vuông góc đơn thuần chưa đủ.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
Chia đôi nhau cho bình hành; bình hành có đường chéo vuông góc cho thoi.
-
Không, vì hai cạnh kề khác nhau.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.