Nhóm hạng tử để dùng hằng đẳng thức
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Một nhóm ba hạng tử có thể là bình phương của tổng hoặc hiệu. Khi nhận được bình phương ấy, phần còn lại thường ghép thành hiệu hai bình phương.
Sau bài này, em có thể:
- Nhận nhóm ba hạng tử tạo bình phương.
- Dùng hiệu bình phương sau bước nhóm.
Cần biết trước: Mô-đun 05–06; tính chất phân phối.
1. Kiến thức và phương pháp
Tìm ba hạng tử có dạng $A^2+2AB+B^2$ hoặc $A^2-2AB+B^2$. Thay nhóm ấy bởi $(A+B)^2$ hoặc $(A-B)^2$, rồi xét toàn đa thức. Nếu còn trừ một bình phương khác, tiếp tục phân tích bằng công thức hiệu bình phương. Việc nhóm không thay dấu các hạng tử gốc.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Bình phương của tổng
Đề bài
Phân tích $x^2-y^2+2x+1$.
Lời giải
Nhóm $x^2+2x+1=(x+1)^2$, nên đa thức bằng $(x+1)^2-y^2=(x+1-y)(x+1+y)$.
Cách tự kiểm
Đổi thứ tự hạng tử được phép, nhưng dấu của $-y^2$ giữ nguyên.
Ví dụ 2. Bình phương của hiệu
Đề bài
Phân tích $a^2-b^2-2a+1$.
Lời giải
Nhóm $a^2-2a+1=(a-1)^2$. Do đó kết quả $(a-1-b)(a-1+b)$.
Cách tự kiểm
Cả hai nhân tử đều chứa biểu thức $a-1$.
Ví dụ 3. Hệ số trong bình phương
Đề bài
Phân tích $x^2-4y^2+4x+4$.
Lời giải
Nhóm $x^2+4x+4=(x+2)^2$, còn $4y^2=(2y)^2$. Kết quả $(x+2-2y)(x+2+2y)$.
Cách tự kiểm
Nhận đúng hai biểu thức được bình phương: $x+2$ và $2y$.
Ví dụ 4. Hai biến trong một bình phương
Đề bài
Phân tích $a^2+2ab+b^2-9$.
Lời giải
Ba hạng tử đầu bằng $(a+b)^2$. Hiệu $(a+b)^2-3^2$ cho $(a+b-3)(a+b+3)$.
Cách tự kiểm
Nhân lại trước theo hiệu bình phương sẽ kiểm nhanh hơn khai triển sáu tích riêng.
3. Những lỗi thường gặp
- Nhóm thiếu hạng tử giữa của bình phương.
- Lấy sai dấu trong $(a-1)^2$.
- Viết một hiệu hai bình phương thành bình phương của hiệu.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Phân tích $x^2+2x+1-y^2$.
-
Phân tích $a^2-b^2-2a+1$.
-
Nhóm và phân tích $x^2-4y^2+4x+4$.
-
Với $P=a^2+2ab+b^2-9$, nêu nhóm và dạng hằng đẳng thức trước khi phân tích.
-
Phân tích $u^2-6u+9-v^2$.
-
Phân tích $a^2+4ab+4b^2-1$.
-
Tìm hằng số $c$ để nhóm $x^2-8x+c-y^2$ thành hiệu hai bình phương theo dạng $(x-4)^2-y^2$. Phân tích tiếp.
-
Phân tích $4a^2+4ab+b^2-25$; nêu biểu thức đóng vai bình phương thứ nhất.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$(x+1-y)(x+1+y)$.
-
$(a-1-b)(a-1+b)$.
-
$(x+2-2y)(x+2+2y)$.
-
Nhóm $(a+b)^2$, được hiệu $(a+b)^2-3^2$; tích $(a+b-3)(a+b+3)$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$(u-3-v)(u-3+v)$.
-
$(a+2b-1)(a+2b+1)$.
-
$c=16$. Khi ấy đa thức bằng $(x-4-y)(x-4+y)$.
-
Ba hạng tử đầu bằng $(2a+b)^2$. Do đó tích là $(2a+b-5)(2a+b+5)$.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.