Phân biệt tứ giác lồi và không lồi
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Tứ giác lồi, tứ giác lõm và đường tự cắt là ba hình ảnh cần phân biệt. Ta dựa vào đường biên và vị trí phần trong, không chỉ dựa vào việc có bốn tên đỉnh.
Sau bài này, em có thể:
- Phân biệt lồi, lõm và tự cắt
- Dùng dấu hiệu góc trong hoặc đường chứa cạnh
Cần biết trước: Tổng góc tam giác và góc kề bù lớp $7$.
1. Kiến thức và phương pháp
Tứ giác đơn lồi có phần trong nằm về một phía đối với mỗi đường thẳng chứa cạnh; các góc trong nhỏ hơn $180^\circ $. Tứ giác đơn lõm có góc trong lớn hơn $180^\circ $. Đường khép kín tự cắt không thuộc loại tứ giác đơn ở bài này.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hình chữ nhật
Đề bài
Một hình chữ nhật có bốn góc $90^\circ $. Nó thuộc loại nào?
Lời giải
Hình chữ nhật là tứ giác đơn lồi: mỗi góc nhỏ hơn $180^\circ $ và phần trong nằm cùng phía mỗi đường chứa cạnh.
Cách tự kiểm
Không có chỗ lõm hay cạnh tự cắt.
Ví dụ 2. Đỉnh nằm phía trong tam giác
Đề bài
$B$ thuộc một phía đường $AD$; $C$ nằm bên trong tam giác $ABD$. Nối $A–B–C–D–A$, không có ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
Tại $C$ đường biên lõm vào; góc trong ở $C$ lớn hơn $180^\circ $. Tứ giác đơn này lõm.
Cách tự kiểm
Không lấy góc nhỏ tạo bởi hai tia $CB$, $CD$ để thay góc trong phản xạ của miền tứ giác.
Ví dụ 3. Đường tự cắt
Đề bài
Hai đoạn $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm nằm trong cả hai đoạn khi nối $A–B–C–D–A$.
Lời giải
Đường biên tự cắt nên không là tứ giác đơn, dù bốn đỉnh phân biệt và không có ba đỉnh thẳng hàng.
Cách tự kiểm
Giao điểm không phải đầu mút là dấu hiệu tự cắt.
Ví dụ 4. Điều kiện cần chưa đủ
Đề bài
Bốn đỉnh phân biệt, không ba đỉnh thẳng hàng đã đủ suy lồi chưa?
Lời giải
Chưa. Có thể nối thành đường tự cắt, hoặc có một đỉnh tạo chỗ lõm. Cần kiểm đường biên đơn và tính lồi.
Cách tự kiểm
Ví dụ có $C$ trong tam giác $ABD$ vẫn đáp ứng hai điều kiện về số điểm nhưng là hình lõm.
3. Những lỗi thường gặp
- Gọi mọi đường khép bốn đoạn là tứ giác đơn.
- Dùng góc nhỏ giữa hai cạnh tại chỗ lõm thay góc trong.
- Dựa vẻ ngoài mà không kiểm thứ tự nối đỉnh.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Quan sát tứ giác $ABCD$ trong hình dưới. Đường biên có chỗ lõm vào không? Nhận dạng lồi hay lõm theo các góc trong. Hình không ghi số đo góc.
-
Tứ giác đơn $ABCD$ có một góc trong tại $C$ lớn hơn $180^\circ $, ba góc kia nhỏ hơn $180^\circ $. Đỉnh nào tạo chỗ lõm vào, và tứ giác có lồi không?
-
Đường bẻ $ABCDA$ có $AB$ và $CD$ cắt nhau tại một điểm nằm trong cả hai đoạn. Cặp cạnh nào cắt nhau ngoài đầu mút? Có thuộc tứ giác đơn đang xét không?
-
Bạn cho rằng chỉ cần bốn đỉnh phân biệt và không có ba đỉnh thẳng hàng là chắc chắn lồi. Hãy dùng một hình lõm hoặc tự cắt để nêu điều còn thiếu.
-
Một tứ giác đơn có một góc trong $210^\circ $. Nó có lồi không?
-
Một hình chữ nhật được nối đỉnh theo thứ tự làm hai đường chéo cắt nhau trên đường biên. Đường mới có còn là tứ giác đơn không?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Đây là tứ giác lồi: không có góc trong lõm lớn hơn $180^\circ $; phần trong nằm cùng một phía của mỗi đường thẳng chứa cạnh.
-
Đỉnh $C$ tạo góc trong lớn hơn $180^\circ $; hình là tứ giác đơn lõm, không lồi.
-
$AB$ và $CD$ cắt nhau ở phần trong các đoạn; hình tự cắt, không là tứ giác đơn theo phạm vi bài.
-
Các điều đó chưa bảo đảm đường biên đơn hoặc tính lồi. Hình lõm có bốn đỉnh như vậy nhưng một góc trong lớn hơn $180^\circ $; hình tự cắt còn không đơn. Cần kiểm thêm quan hệ cạnh và phần trong, không chỉ số đỉnh.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
Không; góc trong lớn hơn $180^\circ $ cho biết đó là tứ giác lõm.
-
Không. Đổi thứ tự nối có thể làm đường biên tự cắt; phải phân loại đường mới, không dựa vào tập bốn điểm cũ.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.