Rút gọn phân thức bằng phân tích nhân tử
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử biến phép rút gọn thành việc nhận các thừa số chung. Điều kiện cần được tìm trước khi nhân tử bị giản ước biến mất.
Sau bài này, em có thể:
- Dùng hằng đẳng thức và nhân tử chung để rút gọn.
- Ghi đầy đủ giá trị bị loại từ mẫu ban đầu.
Cần biết trước: Mô-đun 10; phân tích đa thức thành nhân tử.
1. Kiến thức và phương pháp
Các bước: tìm điều kiện mẫu gốc; phân tích tử và mẫu thành tích; giản ước các nhân tử chung; ghi kết quả cùng điều kiện gốc. Nếu không có nhân tử chung, không được gạch riêng các hạng tử giống nhau.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Nhân tử chung và hiệu bình phương
Đề bài
Rút gọn $\frac{x^2+3x}{x^2-9}$.
Lời giải
Điều kiện $x\ne3,-3$. Tử $x(x+3)$, mẫu $(x-3)(x+3)$, nên rút gọn thành $\frac{x}{x-3}$ trên miền ấy.
Cách tự kiểm
Giá trị $-3$ vẫn bị loại dù không còn hiện trong mẫu mới.
Ví dụ 2. Bình phương ở tử
Đề bài
Rút gọn $\frac{a^2-4a+4}{a^2-4}$.
Lời giải
Điều kiện $a\ne2,-2$. Tử $(a-2)^2$, mẫu $(a-2)(a+2)$, nên kết quả $\frac{a-2}{a+2}$.
Cách tự kiểm
Giản ước một trong hai nhân tử $a-2$, không phải cả bình phương.
Ví dụ 3. Hai biến
Đề bài
Rút gọn $\frac{4x^2-y^2}{2x+y}$.
Lời giải
Với $2x+y\ne0$, tử bằng $(2x-y)(2x+y)$. Giản ước nhân tử chung cho $2x-y$.
Cách tự kiểm
Điều kiện có thể giữ dạng $2x+y\ne0$, không cần giải riêng cho một biến.
Ví dụ 4. Sửa gạch hạng tử
Đề bài
Sửa $\frac{x^2+2x+1}{x+1}=x^2+1$.
Lời giải
Tử là $(x+1)^2$, nên sau chia cho $x+1$ còn $x+1$, với $x\ne-1$. Không có quy tắc gạch riêng $2x$ hoặc $1$ trong tổng.
Cách tự kiểm
Nhân $(x+1)(x+1)$ thu đúng tử gốc.
3. Những lỗi thường gặp
- Không phân tích hết tử và mẫu trước khi rút gọn.
- Giản ước quá nhiều lần một nhân tử.
- Ghi chỉ điều kiện của mẫu mới.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Rút gọn $\frac{x^2-1}{x^2+x}$, ghi điều kiện gốc.
-
Rút gọn $\frac{a^2-4a+4}{a^2-4}$, ghi điều kiện.
-
Rút gọn $\frac{4x^2-y^2}{2x+y}$, ghi điều kiện.
-
Sửa phép rút gọn $\frac{x^2+2x+1}{x+1}=x^2+1$. Nêu nhân tử được phép rút gọn và giải thích sai lầm trong việc bỏ các hạng tử.
-
Rút gọn $\frac{u^2-9}{u^2+3u}$.
-
Rút gọn $\frac{m^2+6m+9}{m+3}$.
-
Rút gọn $\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$, ghi điều kiện gốc. Giá trị $x=2$ có bị loại không?
-
Rút gọn $\frac{a^2-2ab+b^2}{a-b}$ và kiểm kết quả bằng nhân lại, không gạch riêng các hạng tử.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$\frac{x-1}{x}$, $x\ne0,-1$.
-
$\frac{a-2}{a+2}$, $a\ne2,-2$.
-
$2x-y$, $2x+y\ne0$.
-
Với $x\ne-1$, tử số là $(x+1)^2$, nên $\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$. Chỉ được rút gọn một nhân tử chung $x+1$ của toàn bộ tử và mẫu; không được gạch riêng các hạng tử trong một tổng để thu được $x^2+1$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$\frac{u-3}{u}$, với $u\ne0,-3$.
-
$m+3$, với $m\ne-3$.
-
Tử $(x-2)(x+2)$, mẫu $(x+2)^2$, nên kết quả $(x-2)/(x+2)$ với $x\ne-2$. Giá trị $2$ được phép và cho $0$.
-
Tử $(a-b)^2$, nên kết quả $a-b$ với $a-b\ne0$. Nhân $(a-b)(a-b)$ thu lại tử $a^2-2ab+b^2$.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.