Biểu diễn và kiểm tập nghiệm trên trục số

Bất phương trình bậc nhất một ẩn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-12-B4

Trục số thể hiện đúng cả hướng tia và việc nhận điểm biên. Phần mở rộng phân biệt hợp, giao và nghiệm nguyên; hình vẽ minh họa phải thống nhất với kết luận đại số.

Sau bài này, em có thể:

• Đọc và vẽ tập nghiệm.
• Kiểm biên, hướng và hợp/giao đơn giản.

Cần biết trước: Mô-đun 11; phương trình bậc nhất lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Điểm rỗng biểu thị không nhận biên, điểm kín biểu thị nhận biên. Điều kiện $x>a$ hoặc $x\ge a$ tô sang phải; $x<a$ hoặc $x\le a$ tô sang trái. “Đồng thời” lấy phần giao; “hoặc” lấy phần hợp. Vẽ trục trên giấy và dùng hai giá trị hai phía để kiểm hướng.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tia phải rỗng

Cơ bản

Đề bài

Biểu diễn $x>1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt chấm rỗng tại $1$, tô tia sang phải. $2$ được nhận, $0$ và $1$ bị loại.

Cách tự kiểm

Hướng và điểm biên là hai thông tin riêng.

Ví dụ 2. Tia trái kín

Cơ bản

Đề bài

Biểu diễn $x\le-2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Chấm kín tại $-2$, tô tia trái. $-3$ và $-2$ được nhận, $0$ bị loại.

Cách tự kiểm

Đọc dấu trước khi tô.

Ví dụ 3. Giải rồi vẽ

Cơ bản

Đề bài

Biểu diễn nghiệm $-3x<6$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Chia $-3$ đổi chiều: $x>-2$. Chấm rỗng tại $-2$, tô sang phải.

Cách tự kiểm

$x=0$ cho $0<6$, xác nhận phía phải.

Ví dụ 4. Đọc từ mô tả hình

Cơ bản

Đề bài

Hình có điểm kín tại $4$, tia phải. Viết điều kiện.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x\ge4$. Điểm kín nhận $4$; tia phải nhận các số lớn hơn.

Cách tự kiểm

Không nhầm trục bên trái với vùng nghiệm.

Ví dụ 5. Giao hai tia

Nâng cao

Đề bài

Biểu diễn đồng thời $x>-1$ và $x\le3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Giữ phần nằm giữa: $-1<x\le3$. Đầu $-1$ rỗng, đầu $3$ kín.

Cách tự kiểm

Điểm phải thỏa cả hai điều kiện.

Ví dụ 6. Hợp hai tia

Nâng cao

Đề bài

Biểu diễn $x\le0$ hoặc $x>2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tô tia trái có điểm kín $0$ và tia phải có điểm rỗng $2$; khoảng $(0;2]$ bị loại.

Cách tự kiểm

“Hoặc” chỉ đòi ít nhất một điều kiện.

Ví dụ 7. Tia và nghiệm nguyên

Nâng cao

Đề bài

Tìm nghiệm nguyên của $-2<x\le3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Các số nguyên là $-1,0,1,2,3$. Không nhận $-2$; không tự lấy mọi số trên đoạn làm nghiệm nguyên.

Cách tự kiểm

Kết quả là năm điểm rời rạc khi yêu cầu nguyên.

Ví dụ 8. Điều kiện lồng nhau

Thử thách

Đề bài

Tìm $a$ để mọi số thỏa $x\ge a$ đều thỏa $x>2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $a>2$ vì $x=a$ được nhận ở giả thiết và phải lớn hơn $2$. Nếu $a>2$, từ $x\ge a>2$ suy kết luận. Vì vậy điều kiện cần và đủ là $a>2$.

Cách tự kiểm

Tại $a=2$, điểm biên phản bác yêu cầu.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Tô sai hướng sau chia âm.
• Nhầm điểm rỗng và kín.
• Nhầm “và” với “hoặc” hoặc bỏ miền nguyên.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Giải $x+2>4$ rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số do em vẽ.

   

   Gợi ý bài 1

   Giải trước: $x>2$; xác định loại biên và hướng.

2. Giải $-2x\le6$ và mô tả chấm biên, hướng tia.

   Gợi ý bài 2

   Chia $-2$ đổi chiều rồi đọc dấu $\ge$.

3. Một hình tự vẽ dùng chấm kín tại $1$ và tia trái. Viết điều kiện $x$, rồi kiểm $x=1$ và $x=2$.

   Gợi ý bài 3

   Điểm kín là có bằng; tia trái là nhỏ hơn.

4. Giải $4-x<1$. Một bạn tô tia trái từ $3$ với chấm rỗng. Sửa hình bằng lời và kiểm $x=4$.

   Gợi ý bài 4

   Thử $x=4$ để phát hiện hướng tô sai.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $x>2$. Vẽ chấm rỗng tại $2$, tô tia về bên phải; $2$ không được nhận.

2. Chia $-2$ đổi chiều: $x\ge-3$. Chấm kín tại $-3$, tia sang phải.

3. Hình biểu diễn $x\le1$. $x=1$ được nhận; $x=2$ không được nhận.

4. $-x<-3$ tương đương $x>3$. Cần chấm rỗng tại $3$, tia phải. $x=4$ cho $0<1$ đúng; hình tia trái sẽ bỏ nghiệm này.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Biểu diễn $x<-3$ bằng lời.

   Gợi ý bài 5

   Dấu nghiêm loại biên.

6. Biểu diễn $x\ge5$ bằng lời.

   Gợi ý bài 6

   Dấu có bằng nhận biên.

7. Hình có chấm rỗng $0$, tia phải; viết điều kiện.

   Gợi ý bài 7

   Phía phải là lớn hơn.

8. Giải $x-1\le2$ rồi mô tả hình.

   Gợi ý bài 8

   Cộng $1$ hai vế.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Chấm rỗng tại $-3$, tô tia trái.

6. Chấm kín tại $5$, tô tia phải.

7. $x>0$.

8. $x\le3$: chấm kín tại $3$, tia trái.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Giải $2-4x\ge10$ và kiểm hình bằng $x=-3$.

   Gợi ý bài 9

   Chia âm đổi chiều.

10. Biểu diễn đồng thời $x\ge-2$ và $x<4$.

    Gợi ý bài 10

    Lấy phần giao hai tia.

11. Biểu diễn $x<-1$ hoặc $x\ge2$; số $0$ có được nhận không?

    Gợi ý bài 11

    Lấy phần hợp.

12. Tìm nghiệm nguyên của $-3\le x<2$.

    Gợi ý bài 12

    Liệt kê nguyên và kiểm biên.

13. Đồng thời $x\le1$ và $x>3$ có nghiệm không?

    Gợi ý bài 13

    Hai tia có phần chung không?

14. $x<2$ hoặc $x\ge2$ biểu diễn tập nào? Nếu cả hai dấu đều nghiêm thì sao?

    Gợi ý bài 14

    Kiểm điểm $2$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $-4x\ge8$ nên $x\le-2$. Chấm kín $-2$, tia trái; $-3$ cho $14\ge10$ đúng.

10. $-2\le x<4$: đầu trái kín, đầu phải rỗng.

11. Hai tia ngoài: rỗng tại $-1$ về trái, kín tại $2$ về phải. $0$ không thỏa điều kiện nào.

12. $-3,-2,-1,0,1$; $2$ bị loại.

13. Không. Nếu thỏa cả hai thì $3<x\le1$, mâu thuẫn.

14. Điều kiện đầu nhận mọi số thực vì phủ hai phía và điểm $2$. Nếu là $x<2$ hoặc $x>2$, tập là mọi số thực trừ $2$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tìm $a$ để mọi $x< a$ đều thỏa $x\le3$.

    Gợi ý bài 15

    Nếu $a>3$, chọn trung điểm của $3$ và $a$.

16. Chứng minh hai mô tả “$x\le1$ hoặc $x\ge4$” và “không có $1<x<4$” tương đương. Vì sao đổi hai dấu có bằng thành nghiêm sẽ sai?

    Gợi ý bài 16

    Phân loại vị trí số thực so với hai đầu mút.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Cần và đủ $a\le3$. Nếu vậy $x<a\le3$. Nếu $a>3$, số $(a+3)/2$ nhỏ hơn $a$ nhưng lớn hơn $3$, phản bác.

16. Mọi số không nằm hẳn trong khoảng mở $(1;4)$ phải ở bên trái hoặc bằng $1$, hoặc bên phải hoặc bằng $4$; chiều ngược cũng đúng. Nếu dùng hai dấu nghiêm thì loại $1,4$, dù chúng không thuộc khoảng mở; vì thế không còn tương đương.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.