Căn bậc hai của một tích số không âm
Tính chất căn bậc hai của số · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-02-B1
Tách căn của một tích chỉ hợp lệ khi từng căn sau khi tách có nghĩa. Một tích dương tạo bởi hai số âm là trường hợp cần phân biệt với công thức dành cho hai thừa số không âm.
Sau bài này, em có thể:
- Biến đổi tích căn với đúng điều kiện.
- So sánh miền và chứng minh các trường hợp bằng nhau.
Cần biết trước: Mô-đun 01; phép nhân, chia và phân tích số thành tích.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với $a,b\ge0$,
Thật vậy, tích ở vế phải không âm và bình phương bằng $ab$, nên là căn số học của $ab$. Điều kiện $ab\ge0$ chỉ bảo đảm vế trái có nghĩa; để vế phải có nghĩa riêng lẻ còn cần $a,b\ge0$. Chọn thừa số chính phương giúp tính chính xác, nhưng không tách căn của tổng như căn của tích.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Nhân trước hoặc tách căn
Cơ bản
Đề bài
Tính $\sqrt{9\cdot25}$ theo hai cách.
Lời giải và cách suy nghĩ
Nhân trước được $\sqrt{225}=15$. Tách căn vì $9,25\ge0$ được $\sqrt9\sqrt{25}=3\cdot5=15$.
Cách tự kiểm
Hai cách phải có cùng giá trị.
Ví dụ 2. Một thừa số chính phương
Cơ bản
Đề bài
Rút gọn $\sqrt{16\cdot11}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Cả hai thừa số không âm, nên bằng $\sqrt{16}\sqrt{11}=4\sqrt{11}$. Giữ dạng chính xác.
Cách tự kiểm
Bình phương $4\sqrt{11}$ được $176$.
Ví dụ 3. Tích của hai số âm
Cơ bản
Đề bài
Có thể tách $\sqrt{(-2)(-8)}$ thành $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$ trong $\mathbb R$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Vế trái bằng $\sqrt{16}=4$ nhưng hai căn ở vế phải không xác định thực. Tích không âm chưa đủ để tách thành từng căn.
Cách tự kiểm
Kiểm từng số dưới căn sau khi tách.
Ví dụ 4. Thừa số không
Cơ bản
Đề bài
Tính $\sqrt{0\cdot7}$ và $\sqrt{0\cdot(-7)}$. Có cùng cách tách không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Cả hai tích đều bằng $0$, nên căn bằng $0$. Biểu thức đầu tách thành $\sqrt0\sqrt7$ được; biểu thức sau không tách thành $\sqrt0\sqrt{-7}$ trong $\mathbb R$.
Cách tự kiểm
Nhân với $0$ không làm một căn không xác định trở nên xác định.
Ví dụ 5. Từ một tích căn sang một căn
Vận dụng
Đề bài
Tính $\sqrt2\sqrt{18}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Vì $2,18\ge0$, tích bằng $\sqrt{36}=6$. Không viết thành $\sqrt{20}$ vì không cộng hai số dưới căn.
Cách tự kiểm
$6^2=2\cdot18$.
Ví dụ 6. Bình phương của tích
Vận dụng
Đề bài
Rút gọn $\sqrt{a^2b^2}$ với $a,b$ thực.
Lời giải và cách suy nghĩ
$a^2b^2=(ab)^2$, nên căn bằng $|ab|=|a||b|$. Nó chỉ bằng $ab$ khi $ab\ge0$.
Cách tự kiểm
Với $a=-1,b=2$, kết quả $2$, không phải $-2$.
Ví dụ 7. Miền của hai cách viết
Nâng cao
Đề bài
So sánh miền xác định của $\sqrt{(x-1)(x+1)}$ và $\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tích dưới căn thứ nhất không âm khi $x\le-1$ hoặc $x\ge1$. Vế tách cần cả $x-1\ge0,x+1\ge0$, nên $x\ge1$. Hai cách chỉ bằng nhau trên miền chung $x\ge1$.
Cách tự kiểm
$x=-2$ cho căn của tích có nghĩa nhưng hai căn riêng không có nghĩa.
Ví dụ 8. Tích căn bằng không
Nâng cao
Đề bài
Với $a,b\ge0$, chứng minh $\sqrt a\sqrt b=0$ khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $b=0$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tích bằng $\sqrt{ab}$, bằng $0$ đúng khi $ab=0$. Với số thực, điều đó tương đương một thừa số bằng $0$. Ngược lại mỗi trường hợp ấy đều cho tích căn bằng $0$.
Cách tự kiểm
Giữ điều kiện xác định trước khi dùng tích bằng không.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Tách căn khi chỉ biết tích không âm.
- Áp dụng công thức của tích cho tổng.
- Quên giá trị tuyệt đối khi xuất hiện bình phương có dấu.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Tính $\sqrt{9\cdot16}$ theo hai cách: nhân dưới căn trước, rồi tách thành tích hai căn.
Gợi ý bài 1
Kiểm hai thừa số không âm.
-
Không dùng máy tính, rút gọn $\sqrt{25\cdot6}$.
Gợi ý bài 2
$\sqrt{25}=5$.
-
Bạn Lan viết $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{-4}\sqrt{-9}$. Vế nào xác định trong $\mathbb R$? Giải thích.
Gợi ý bài 3
Xét từng căn ở hai vế.
-
Với $a\ge0$, chứng minh $\sqrt{a\cdot a}=a$. Điều gì thay đổi nếu $a<0$?
Gợi ý bài 4
Căn của bình phương là độ lớn.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Nhân trước: $\sqrt{144}=12$. Tách căn: $\sqrt9\sqrt{16}=3\cdot4=12$.
-
Vì $25,6\ge0$, căn bằng $\sqrt{25}\sqrt6=5\sqrt6$.
-
Vế trái $\sqrt{36}=6$ xác định; hai căn riêng ở vế phải không xác định thực. Không được áp dụng công thức khi từng thừa số âm.
-
Nếu $a\ge0$, $\sqrt{a\cdot a}=\sqrt a\sqrt a=a$. Nếu $a<0$, không tách thành hai căn của $a$ trong $\mathbb R$; vẫn có $\sqrt{a^2}=|a|=-a$.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Rút gọn $\sqrt{36\cdot5}$.
Gợi ý bài 5
Tách căn của thừa số chính phương.
-
Tính $\sqrt{0{,}25\cdot64}$.
Gợi ý bài 6
Có thể nhân trước hoặc tách hai căn.
-
Tính $\sqrt3\sqrt{12}$.
Gợi ý bài 7
Đưa về căn của tích.
-
Giải thích vì sao $\sqrt{4+9}\ne\sqrt4+\sqrt9$.
Gợi ý bài 8
Tính bình phương của tổng ở vế phải.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$6\sqrt5$, vì $36,5\ge0$.
-
$\sqrt{16}=4$; cũng bằng $0{,}5\cdot8=4$.
-
Bằng $\sqrt{36}=6$ do hai số dưới căn không âm.
-
Vế phải $5$, bình phương $25\ne13$. Vế trái $\sqrt{13}$; công thức tách căn của tích không áp dụng cho tổng.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Tìm $t$ để $\sqrt{5t}=10$.
Gợi ý bài 9
Kiểm vế phải không âm và bình phương.
-
Viết điều kiện để $\sqrt{u-3}\sqrt{u+2}$ có nghĩa và gộp thành một căn trên miền đó.
Gợi ý bài 10
Cả hai số dưới căn phải không âm.
-
Với $a,b\ge0$ và $\sqrt a\sqrt b=6$, có xác định duy nhất $a,b$ không?
Gợi ý bài 11
Bình phương rồi tìm hai cặp khác nhau.
-
Cho $a<0,b<0$. Vì sao $\sqrt{ab}$ có nghĩa nhưng không được viết thành $\sqrt a\sqrt b$?
Gợi ý bài 12
Phân biệt dấu của tích với dấu từng thừa số.
-
Với $x\ge0$, chứng minh $\sqrt{x^2\cdot7}=x\sqrt7$; nếu $x<0$ thì sửa thế nào?
Gợi ý bài 13
$\sqrt{x^2}=|x|$.
-
Tìm $a,b\ge0$ biết $a+b=0$ rồi tính $\sqrt a\sqrt b$.
Gợi ý bài 14
Tổng hai số không âm bằng $0$.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
$5t=100$ nên $t=20$. Nó thỏa $5t\ge0$ và $\sqrt{100}=10$, nên là nghiệm duy nhất.
-
Cần $u\ge3$. Khi đó tích bằng $\sqrt{(u-3)(u+2)}$; căn gộp còn có thể có miền rộng hơn nhưng không tự mở rộng miền biểu thức đầu.
-
Chỉ suy $ab=36$. Chẳng hạn $(a,b)=(1,36)$ và $(4,9)$ đều thỏa, nên không duy nhất.
-
$ab>0$ nên căn của tích có nghĩa. Từng số $a,b$ âm nên hai căn riêng không xác định trong $\mathbb R$.
-
Tách được $|x|\sqrt7$. Với $x\ge0$ là $x\sqrt7$; với $x<0$ là $-x\sqrt7$.
-
Phải có $a=b=0$ nên tích căn bằng $0$. Không thể dùng một cặp trái dấu vì trái điều kiện.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Giải $\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}=0$ và chỉ ra vì sao $x=-1$ không là nghiệm.
Gợi ý bài 15
Đặt điều kiện trước khi gộp hoặc bình phương.
-
Với $a,b\ge0$, chứng minh $2\sqrt a\sqrt b\le a+b$ và xác định khi bằng.
Gợi ý bài 16
Khai triển bình phương $\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Miền $x\ge1$. Tích bằng $0$ đòi $x-1=0$ hoặc $x+1=0$; chỉ $x=1$ thuộc miền. Ứng viên $-1$ làm căn $\sqrt{x-1}$ không xác định.
-
Bình phương không âm nên $a+b-2\sqrt a\sqrt b\ge0$. Đẳng thức đúng khi $\sqrt a=\sqrt b$, tương đương $a=b$; chiều ngược hiển nhiên bằng thay vào.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.