Côtang của góc nhọn trong tam giác vuông – lớp 9
Định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-21-B4
Côtang đổi thứ tự hai cạnh góc vuông so với tang. Bài học luyện việc chọn đúng cạnh và dùng quan hệ nghịch đảo trong những bài suy ngược có điều kiện.
Sau bài này, em có thể:
- Viết côtang theo cạnh kề trên cạnh đối.
- Kết hợp côtang với Pythagore, chu vi và diện tích.
Cần biết trước: Tam giác đồng dạng, Pythagore và tỉ lệ cạnh lớp 8; mô-đun 05.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với $ABC$ vuông tại $A$,
Côtang dương và $\cot B=1/\tan B$. Không dùng cạnh huyền trong cả tử lẫn mẫu của côtang. Khi suy ngược độ dài, cần kiểm các cạnh dương và mẫu khác $0$.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tính trực tiếp
Cơ bản
Đề bài
$ABC$ vuông tại $A$, $AB=28$, $AC=45$ cm. Tính $\cot B$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Cạnh kề $B$ là $AB$, cạnh đối là $AC$. Vậy $\cot B=28/45$.
Cách tự kiểm
Mẫu là cạnh đối, không phải huyền $53$ cm.
Ví dụ 2. Nghịch đảo tang
Cơ bản
Đề bài
Góc nhọn $\alpha$ có $\tan\alpha=8/15$. Tính côtang.
Lời giải và cách suy nghĩ
Vì hai tỉ số có tử và mẫu đổi chỗ, $\cot\alpha=15/8$. Tích hai số bằng $1$.
Cách tự kiểm
Nghịch đảo của một tỉ số không phải lấy góc nghịch đảo.
Ví dụ 3. Đổi góc trong cùng hình
Vận dụng
Đề bài
$KLM$ vuông tại $K$, $KL=11$, $KM=60$ cm. Tính $\cot L,\cot M$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$\cot L=KL/KM=11/60$, $\cot M=60/11$. Hai cạnh cùng đóng vai khác nhau ở hai góc.
Cách tự kiểm
Tích bằng $1$, dù một số nhỏ và một số lớn hơn $1$.
Ví dụ 4. Cạnh huyền chưa dùng trực tiếp
Vận dụng
Đề bài
$ABC$ vuông tại $A$, $BC=25$, $AB=24$ cm. Tìm $\cot B$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$AC=\sqrt{25^2-24^2}=7$ cm. Suy ra $\cot B=24/7$; không lấy $25/7$.
Cách tự kiểm
$24^2+7^2=25^2$.
Ví dụ 5. Côtang và diện tích
Nâng cao
Đề bài
Tam giác vuông có $\cot B=3$ và cạnh đối $B$ dài $4$ cm. Tính diện tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
Kề $B$ dài $3\cdot4=12$ cm, nên diện tích $\frac12\cdot12\cdot4=24$ $\mathrm{cm}^{2}$.
Cách tự kiểm
Không dùng $\frac12\cdot BC\cdot4$, vì hai đoạn ấy không vuông góc.
Ví dụ 6. Chọn nghiệm hợp hình
Nâng cao
Đề bài
Hai cạnh góc vuông kề và đối của $B$ lần lượt là $x+3$ và $x-1$ cm. Cho $\cot B=2$. Tìm $x$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$(x+3)/(x-1)=2$ với $x>1$. Suy ra $x+3=2x-2$, $x=5$; hai cạnh $8,4$ cm đều dương.
Cách tự kiểm
Thay lại $8/4=2$, không chỉ kiểm phương trình sau nhân chéo.
Ví dụ 7. Liên hệ hai hình chiếu
Nâng cao
Đề bài
Trong tam giác vuông tại $A$, đường cao $AH$ xuống $BC$ với $H$ nằm giữa $B,C$. Chứng minh $\cot B=BH/AH$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ và có góc tại $B$ chung với $ABC$. Theo đồng dạng góc–góc, các tỉ số lượng giác góc $B$ bằng nhau. Trong $ABH$, côtang $B$ là $BH/AH$.
Cách tự kiểm
$AH$ đối $B$ trong tam giác nhỏ, khác với $AC$ trong tam giác lớn.
Ví dụ 8. Hai dữ kiện tỉ số và tổng
Thử thách
Đề bài
Tam giác vuông có $\cot B=5/12$ và tổng hai cạnh góc vuông bằng $51$ cm. Tìm huyền.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt kề $5k$, đối $12k$ với $k>0$. Tổng $17k=51$ cho $k=3$. Huyền $13k=39$ cm theo Pythagore.
Cách tự kiểm
Hai cạnh $15,36$ có đúng côtang $15/36=5/12$.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đảo nhầm thứ tự kề và đối.
- Đưa cạnh huyền vào công thức côtang.
- Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm độ dài dương và mẫu khác $0$.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
$ABC$ vuông tại $A$, $AB=20$, $AC=21$. Tính $\cot B$.
Gợi ý bài 1
Lấy kề chia đối.
-
Góc nhọn $\alpha$ có $\tan\alpha=5/12$. Tính $\cot\alpha$.
Gợi ý bài 2
Dùng tích tang và côtang.
-
$MNP$ vuông tại $M$, $MN=9$, $MP=12$. Tính $\cot N,\cot P$.
Gợi ý bài 3
Cạnh kề $N$ là $MN$.
-
Bạn viết $\cot B=BC/AC$ trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Vì sao sai? Viết đúng.
Gợi ý bài 4
Côtang có dùng huyền không?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$\cot B=AB/AC=20/21$.
-
$\cot\alpha=12/5$, vì $(5/12)(12/5)=1$.
-
$\cot N=9/12=3/4$, $\cot P=12/9=4/3$.
-
$BC$ là huyền nên không đúng tử số. Phải viết $\cot B=AB/AC$, là kề/đối của hai cạnh góc vuông.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
$\cot B=7/24$ và cạnh đối $B$ dài $48$ cm. Tìm cạnh kề.
Gợi ý bài 5
Nhân côtang với cạnh đối.
-
Cạnh kề và đối một góc nhọn dài $16,30$ cm. Tính tang và côtang.
Gợi ý bài 6
Giữ đúng thứ tự từng định nghĩa.
-
Một góc có côtang $1$. Tìm quan hệ cạnh và số đo góc.
Gợi ý bài 7
Tỉ số kề/đối bằng $1$.
-
Côtang một góc nhọn bằng $0$ có hợp lệ không? Giải thích bằng cạnh.
Gợi ý bài 8
Cả hai cạnh góc vuông đều dương.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Cạnh kề bằng $(7/24)48=14$ cm. Huyền bằng $50$ cm nếu cần kiểm.
-
Tang bằng $30/16=15/8$, côtang bằng $16/30=8/15$; tích bằng $1$.
-
Hai cạnh góc vuông bằng nhau nên tam giác vuông cân. Góc đang xét bằng $45^\circ$.
-
Không: kề/đối là thương hai số dương nên lớn hơn $0$. Tử bằng $0$ sẽ làm tam giác suy biến.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
$ABC$ vuông tại $A$, $\cot B=4/3$, $BC=20$ cm. Tìm các cạnh.
Gợi ý bài 9
Đặt kề $4k$, đối $3k$.
-
Biết côtang của một góc bằng $2$ và diện tích tam giác vuông bằng $49$ $\mathrm{cm}^{2}$. Tìm hai cạnh góc vuông.
Gợi ý bài 10
Đặt đối $t>0$, kề $2t$.
-
Chứng minh $\cot B=\sin C/\sin B$ trong tam giác vuông tại $A$.
Gợi ý bài 11
Viết các sin có chung mẫu $BC$.
-
Cạnh kề gấp ba cạnh đối. Có thể đồng thời nói sin của góc đang xét bằng $1/2$ không?
Gợi ý bài 12
Tìm bộ tỉ lệ $1:3:\sqrt{10}$.
-
Cho $\cot B=u>0$. Chứng minh $\cos B=u/\sqrt{1+u^2}$.
Gợi ý bài 13
Chuẩn hóa cạnh đối bằng $t>0$.
-
Đường cao $AH$ trong $ABC$ vuông tại $A$ có $BH=9$, $AH=12$ cm. Dùng tam giác nhỏ để tìm $\cot B$ và $\cot C$.
Gợi ý bài 14
Hai tam giác vuông có góc $B$ chung.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Đặt $AB=4k$, $AC=3k$ với $k>0$. Pythagore cho $BC=5k=20$, nên $k=4$. Vậy $AB=16$, $AC=12$ cm; hai cạnh dương và côtang $B=16/12=4/3$.
-
Đặt cạnh đối góc đang xét bằng $t>0$. Vì côtang bằng $2$, cạnh kề bằng $2t$. Diện tích $\frac12t\cdot2t=t^2=49$, nên $t=7$. Hai cạnh là $7,14$ cm; loại nghiệm $t=-7$.
-
$\sin C/\sin B=(AB/BC)/(AC/BC)=AB/AC=\cot B$. Phép chia hợp lệ vì $AC,BC>0$.
-
Không. Đặt đối $t$, kề $3t$ thì huyền $t\sqrt{10}$, nên sin bằng $1/\sqrt{10}\ne1/2$. Hai thông tin không tương thích.
-
Đối $t$, kề $ut$, huyền $t\sqrt{1+u^2}$. Côsin là kề/huyền nên bằng $u/\sqrt{1+u^2}$.
-
$\cot B=BH/AH=3/4$. Hai góc $B,C$ của tam giác lớn phụ nhau nên hai côtang nghịch đảo; do đó $\cot C=4/3$.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Tìm tất cả giá trị dương $u$ để có một góc nhọn thỏa $\cot\alpha=u$ và $\cot\alpha+\tan\alpha=10/3$.
Gợi ý bài 15
Tang là $1/u$.
-
Hai góc nhọn của một tam giác vuông có tổng hai côtang bằng $2$. Chứng minh cả hai góc bằng $45^\circ$.
Gợi ý bài 16
Dùng $(u-1)^2/u$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$u+1/u=10/3$ tương đương $3u^2-10u+3=0$, tức $(3u-1)(u-3)=0$. Vậy $u=1/3$ hoặc $3$. Các bộ cạnh góc vuông $1,3$ theo hai thứ tự thực hiện được cả hai.
-
Đặt $u=\cot B>0$ thì $\cot C=1/u$. Tổng bằng $2$ dẫn đến $(u-1)^2/u=0$, nên $u=1$. Hai cạnh góc vuông bằng nhau; $B=C=45^\circ$.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.