Đo mô hình trụ, nón, cầu và ghi dữ liệu lớp 9

Dự án đo đạc hình khối và video toán · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-59-B3

Đo một vật gần hình trụ, nón hay cầu là chọn mô hình cho vật ấy. Bài này tập trung vào cách ghi số đo, nhận đúng đại lượng và kiểm các kích thước có tương thích hay không.

Sau bài này, em có thể:

• Phân biệt đường kính, bán kính, chiều cao và đường sinh.
• Suy kích thước từ chu vi hoặc dữ kiện kết hợp, giữ đúng phạm vi xấp xỉ.

Cần biết trước: Mô-đun 25,39,44. Có bản vẽ hoặc mô hình bàn học thay đo thực; ghi rõ đã làm hay mới đề xuất.

1. Kiến thức và phương pháp

Ghi mỗi lần đo cùng đơn vị và tên đại lượng. Với trụ tròn xoay dùng bán kính đáy $r=d/2$, chiều cao vuông góc $h$. Với nón tròn xoay, đường sinh $l$ khác chiều cao và thỏa $l^2=r^2+h^2$. Với cầu mô hình, đường tròn lớn có chu vi $C=2\pi r$. Các quan hệ này kiểm mô hình; không khẳng định vật thực hoàn toàn là hình lí tưởng.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đường kính thành bán kính

Cơ bản

Đề bài

Một trụ mô hình có đường kính đáy $8$ cm, chiều cao $12$ cm. Ghi $r,h$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=4$ cm, $h=12$ cm. Khi tính $\pi r^2h$, phải dùng $4$, không dùng đường kính $8$.

Cách tự kiểm

Ghi kí hiệu trước khi thay số.

Ví dụ 2. Ghi hai lần đo

Vận dụng

Đề bài

Hai lần đo đường kính là $10{,}0$ và $10{,}2$ cm. Nêu một giá trị đại diện và khoảng bao hai số đo, chưa khẳng định sai số thật.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trung bình hai số đo $10{,}1$ cm; khoảng bao là $[10{,}0;10{,}2]$ cm. Chưa có căn cứ coi khoảng này chắc chắn chứa đường kính thật nếu chưa đánh giá dụng cụ và cách đo.

Cách tự kiểm

Khoảng số đo quan sát khác khoảng bảo đảm cho giá trị thật.

Ví dụ 3. Đường sinh và chiều cao

Vận dụng

Đề bài

Nón tròn xoay có $r=3$, $h=4$ cm. Tìm đường sinh.

Lời giải và cách suy nghĩ

$l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Nó dài hơn chiều cao vì $r>0$.

Cách tự kiểm

$l^2=25=9+16$.

Ví dụ 4. Kiểm một bộ kích thước

Nâng cao

Đề bài

Một bảng ghi nón tròn xoay $r=5,h=12,l=14$ cm, coi các số chính xác. Có nhất quán không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: $5^2+12^2=169=13^2$, không phải $14^2$. Nếu $r,h$ đúng thì $l=13$ cm; nếu là số đo cần kiểm sai số, không tự thay một số mà thiếu căn cứ.

Cách tự kiểm

Phân biệt dữ kiện chính xác với bản ghi gần đúng.

Ví dụ 5. Chu vi đường tròn lớn

Vận dụng

Đề bài

Mô hình cầu có chu vi đường tròn lớn $18\pi$ cm. Tìm bán kính và đường kính.

Lời giải và cách suy nghĩ

$2\pi r=18\pi$ nên $r=9$ cm, $d=18$ cm.

Cách tự kiểm

Cần giả thiết đường đo là đường tròn lớn.

Ví dụ 6. Đo theo đường tròn chưa biết vị trí

Nâng cao

Đề bài

Trên mặt cầu đo được một đường tròn có chu vi $10\pi$ cm, nhưng chưa biết có là đường tròn lớn không. Có suy bán kính cầu đúng $5$ cm không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Chỉ suy bán kính đường tròn đã đo là $5$ cm. Đường tròn ấy có bán kính không vượt bán kính cầu, nên bán kính cầu ít nhất $5$ cm; bằng khi đó là đường tròn lớn.

Cách tự kiểm

Không thay một đường tròn bất kì bằng đường tròn lớn.

Ví dụ 7. Kích thước ngoài và trong

Nâng cao

Đề bài

Ống trụ mô hình có bán kính ngoài $6$ cm, thành đều dày $0{,}4$ cm. Tìm bán kính trong; vì sao đo ngoài chưa đủ tính sức chứa?

Lời giải và cách suy nghĩ

Bán kính trong $5{,}6$ cm. Sức chứa dùng khoảng trống bên trong cùng chiều cao trong; kích thước ngoài bao gồm phần vật liệu.

Cách tự kiểm

Chiều cao trong cũng có thể khác chiều cao ngoài.

Ví dụ 8. Khôi phục nón từ hai kiểu đo

Thử thách

Đề bài

Nón tròn xoay có chu vi đáy $12\pi$ cm, đường sinh $10$ cm. Tìm $r,h$ và kiểm tính tồn tại.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=6$ cm. Vì $l>r$, $h=\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm dương, nên có mô hình nón không suy biến.

Cách tự kiểm

Nếu $l\le r$ thì không có chiều cao dương như yêu cầu.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
• Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
• Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Chọn một vật gần hình trụ sẵn có; đo $d,h$ bằng cm ít nhất hai lần, lập bảng và nêu vật có hoàn toàn là trụ không.

   Gợi ý bài 1

   Đo và ghi các lần riêng, không điền số mẫu vào bảng thật.

2. Dùng một hình nón giấy tự tạo hoặc bản mô hình. Ghi bán kính đáy $r$, chiều cao vuông góc $h$ và đường sinh $l$ nếu đo được. Vì sao không gọi $l$ là $h$?

   Gợi ý bài 2

   Phân biệt chiều cao vuông góc và đường sinh.

3. Một quả bóng gần hình cầu có đường kính đo bằng thước giữa hai mặt phẳng song song là $12{,}4$ cm. Tính bán kính mô hình và nêu một giới hạn.

   Gợi ý bài 3

   Bán kính bằng nửa đường kính của mô hình cầu.

4. Chỉ có chu vi đường tròn lớn của mô hình cầu là $31{,}4$ cm. Nêu cách ước lượng bán kính với $\pi\approx3{,}14$, rồi phân biệt số đo trực tiếp và số suy ra.

   Gợi ý bài 4

   Chỉ dùng $C=2\pi r$ với đường tròn lớn.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Dữ liệu tùy vật; bảng cần tên mô hình, đơn vị, $d,h$ của từng lần và nhận xét như mép cong/đáy lõm. Không dùng số mẫu thay số đo.

2. $h$ vuông góc mặt phẳng đáy; $l$ nối đỉnh với một điểm đường tròn đáy, thường dài hơn $h$. Cần ghi đúng đại lượng thực đo; có thể ghi chưa đo được.

3. $r=6{,}2$ cm. Bóng có thể méo hoặc số đo có sai số; kết quả thuộc mô hình cầu gần đúng.

4. $r=C/(2\pi)\approx31{,}4/6{,}28=5$ cm. $C$ là số đo đã cho; $r$ là giá trị suy ra từ giả thiết đường đo là đường tròn lớn.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Trụ đường kính $14$ cm, cao $9$ cm. Ghi $r,h$ dùng trong công thức.

   Gợi ý bài 5

   Bán kính bằng nửa đường kính.

6. Nón có $r=8,h=15$ cm. Tìm $l$.

   Gợi ý bài 6

   Pythagore trong mặt cắt qua trục.

7. Cầu có chu vi đường tròn lớn $20\pi$ cm. Tìm đường kính.

   Gợi ý bài 7

   $C=\pi d$.

8. Một bạn ghi $d=120$ mm, $h=15$ cm cho trụ. Đổi về cm và tìm $r$.

   Gợi ý bài 8

   Đổi đơn vị trước khi lấy nửa đường kính.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $r=7,h=9$ cm.

6. $l=17$ cm.

7. $d=20$ cm.

8. $d=12$ cm, $r=6$ cm, $h=15$ cm.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Ba lần đo cùng một chiều cao là $9{,}8;10{,}0;10{,}2$ cm. Tính trung bình và độ chênh lớn nhất; có được tự báo chắc chắn cao đúng $10$ cm không?

   Gợi ý bài 9

   Tách phép tính trung bình với khẳng định về vật.

10. Nón tròn xoay có $l=5$, $r=6$ cm, coi chính xác. Có mô hình dương không?

    Gợi ý bài 10

    Chiều cao bình phương $l^2-r^2$.

11. Bán kính cầu mô hình nằm trong $[6;6{,}2]$ cm. Cho khoảng đường kính và chu vi đường tròn lớn.

    Gợi ý bài 11

    Nhân khoảng với hệ số dương.

12. Nón có $l=13$ cm, chu vi đáy $10\pi$ cm. Tìm chiều cao.

    Gợi ý bài 12

    Từ chu vi tìm $r$, rồi dùng $l^2=r^2+h^2$.

13. Khai triển mặt bên nón thành quạt bán kính $l=10$ cm, góc $216^\circ$. Tìm bán kính đáy và chiều cao nón.

    Gợi ý bài 13

    Độ dài cung quạt bằng chu vi đáy.

14. Chỉ biết chiều cao trụ $10$ cm, có xác định thể tích duy nhất không? Đưa hai bộ kích thước.

    Gợi ý bài 14

    Thay đổi bán kính mà giữ chiều cao.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Trung bình $10$ cm, chênh lớn nhất $0{,}4$ cm. Không từ ba số đo suy giá trị thật chính xác; cần thông tin sai số và cách đo.

10. Không vì $h^2=25-36<0$. Không lấy căn của số âm trong mô hình độ dài thực.

11. $d\in[12;12{,}4]$ cm và $C\in[12\pi;12{,}4\pi]$ cm.

12. $r=5$ cm, $h=12$ cm.

13. $2\pi r=(216/360)2\pi\cdot10=12\pi$, nên $r=6$ cm. $h=\sqrt{100-36}=8$ cm.

14. Không. $r=1$ cho $V=10\pi$; $r=2$ cho $V=40\pi$ cm$^3$. Cùng chiều cao không đủ.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Nón có $h:r=4:3$ và $l=15$ cm. Khôi phục kích thước.

    Gợi ý bài 15

    Đặt $h=4t,r=3t$ nên $l=5t$.

16. Trụ có chu vi đáy $C$ và chiều cao bằng đường kính. Biểu diễn $r,h$ theo $C>0$, rồi cho cách kiểm một bản ghi số đo.

    Gợi ý bài 16

    $C=2\pi r$, $h=2r$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $t=3$, nên $h=12,r=9$ cm. Tỉ lệ cộng với một độ dài chọn quy mô duy nhất.

16. $r=C/(2\pi)$, $h=C/\pi$. Kiểm quan hệ $C=\pi h$ trong mô hình; nếu bản ghi gần đúng khác nhau cần xét sai số chứ không tự khẳng định vật sai hình.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.