Hình nón lớp 9: đỉnh, đáy, chiều cao và đường sinh

Hình nón và các phép tính · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-41-B1

Bài này tập trung vào mô tả đỉnh, đáy, chiều cao và đường sinh hình nón. Em kiểm điều kiện và đối tượng trước khi tính; phần nâng cao yêu cầu giải thích, suy ngược hoặc xét những dữ kiện chưa đủ.

Sau bài này, em có thể:

• Mô tả đỉnh, đáy, chiều cao và đường sinh hình nón.
• Chọn đúng điều kiện, đơn vị và cách kiểm kết quả.
• Giải bài suy ngược hoặc phân biệt kết luận duy nhất với dữ kiện chưa đủ.

Cần biết trước: Mô-đun 24,36,40; phân biệt chiều cao với đường sinh. Phần nâng cao dùng phương trình, hệ bậc nhất và điều kiện nghiệm dương.

1. Kiến thức và phương pháp

Nón tròn xoay có đỉnh $S$, tâm đáy $O$, bán kính $OA=r>0$, chiều cao $SO=h>0$ vuông góc đáy. Với $A$ trên đường tròn đáy, $SA=l$ là đường sinh. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ nên

Đường sinh lớn hơn từng cạnh góc vuông.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đọc ba đoạn

Cơ bản

Đề bài

Nón có $SO=12,OA=5,SA=13$ cm; $O$ là tâm đáy, $A$ trên đường tròn đáy. Gắn $h,r,l$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$h=12,r=5,l=13$ cm. $SO$ vuông góc đáy; $SA$ nối đỉnh với đường tròn đáy. Kiểm $13^2=12^2+5^2$.

Cách tự kiểm

Đọc hai đầu mút của mỗi đoạn.

Ví dụ 2. Cạnh nghiêng

Cơ bản

Đề bài

$r=12,h=9$ cm. Đường sinh có bằng $9$ cm không?

Lời giải và cách suy nghĩ

$l=\sqrt{12^2+9^2}=15$ cm, khác chiều cao. Chiều cao là cạnh góc vuông; đường sinh là cạnh huyền.

Cách tự kiểm

Dựng tam giác vuông $SOA$.

Ví dụ 3. Từ đường kính

Cơ bản

Đề bài

Đường kính đáy $16$ cm, cao $15$ cm. Tìm $l$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=8$ cm; $l=\sqrt{64+225}=17$ cm. Không dùng đường kính thay bán kính.

Cách tự kiểm

Chia đôi đường kính trước.

Ví dụ 4. Kiểm bộ số

Vận dụng

Đề bài

Có nón với $(r,h,l)=(6,8,11)$ cm không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: $6^2+8^2=100\ne121$. Nếu $r,h$ đúng thì $l=10$; chỉ từ mâu thuẫn chưa biết số đo nào sai.

Cách tự kiểm

Kiểm đồng thời cả ba số.

Ví dụ 5. Phóng đều

Vận dụng

Đề bài

Nón $(3,4,5)$ cm được phóng đều để $h=12$ cm. Tìm $r,l$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hệ số $12/4=3$, nên $r=9,l=15$ cm. Cả ba độ dài cùng nhân $3$.

Cách tự kiểm

Tìm một hệ số chung.

Ví dụ 6. Từ tỉ số

Nâng cao

Đề bài

$r:h=3:4$, $l=20$ cm. Tìm $r,h$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt $r=3t,h=4t$, $t>0$. $25t^2=400$ nên $t=4$, $r=12,h=16$ cm. Loại nghiệm âm.

Cách tự kiểm

Biểu diễn theo một tham số dương.

Ví dụ 7. Không duy nhất

Nâng cao

Đề bài

Chỉ biết $l=10$ cm. Bán kính và chiều cao có duy nhất không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: $(6,8)$ và $(8,6)$ cm đều cho $r^2+h^2=100$ nhưng là hai nón khác nhau.

Cách tự kiểm

Tìm hai cặp có cùng tổng bình phương.

Ví dụ 8. Từ hiệu hai đoạn

Thử thách

Đề bài

$r=12$ cm, $l-h=4$ cm. Khôi phục $l,h$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(l-h)(l+h)=144$ nên $l+h=36$. Giải tổng-hiệu được $l=20,h=16$ cm, duy nhất và dương.

Cách tự kiểm

Dùng hiệu hai bình phương.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
• Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
• Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Hình nón có $r=3$ cm, $h=4$ cm, $l=5$ cm. Đoạn nào nối đỉnh với tâm đáy?

   Gợi ý bài 1

   Đoạn từ đỉnh đến tâm đáy vuông góc đáy là đại lượng nào?

2. Phân biệt đường sinh và chiều cao hình nón.

   Gợi ý bài 2

   So hai đầu mút và quan hệ vuông góc của từng đoạn.

3. Một hình nón có $r=5$ cm, $h=12$ cm. Tính đường sinh.

   Gợi ý bài 3

   Dùng tam giác vuông gồm bán kính, chiều cao, đường sinh.

4. Với $r>0,h>0$, có thể $l=h$ không? Giải thích.

   Gợi ý bài 4

   Từ $l^2=h^2+r^2$ và $r>0$, so hai bình phương.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Chiều cao $SO=h=4$ cm nối đỉnh với tâm đáy.

2. Đường sinh nối đỉnh với điểm trên đường tròn đáy; chiều cao đi từ đỉnh vuông góc đáy đến tâm. Hai đoạn thường khác độ dài.

3. $l=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.

4. Không; $l^2=h^2+r^2>h^2$ nên $l>h$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. $OA=8,SO=15,SA=17$ cm. Nêu $r,h,l$ và kiểm.

   Gợi ý bài 5

   Gắn đúng vai trò của tâm và đỉnh.

6. $OA=7,SO=24,SA=25$ cm. Nêu $r,h,l$ và kiểm.

   Gợi ý bài 6

   Gắn đúng vai trò của tâm và đỉnh.

7. $OA=9,SO=12,SA=15$ cm. Nêu $r,h,l$ và kiểm.

   Gợi ý bài 7

   Gắn đúng vai trò của tâm và đỉnh.

8. $OA=20,SO=21,SA=29$ cm. Nêu $r,h,l$ và kiểm.

   Gợi ý bài 8

   Gắn đúng vai trò của tâm và đỉnh.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $r=8,h=15,l=17$ cm; $8^2+15^2=17^2$ đúng Pythagore.

6. $r=7,h=24,l=25$ cm; $7^2+24^2=25^2$ đúng Pythagore.

7. $r=9,h=12,l=15$ cm; $9^2+12^2=15^2$ đúng Pythagore.

8. $r=20,h=21,l=29$ cm; $20^2+21^2=29^2$ đúng Pythagore.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Chứng minh $l>r,l>h$ khi $r,h>0$.

   Gợi ý bài 9

   So bình phương của số dương.

10. $l=r=9$ cm có cho nón không suy biến không?

    Gợi ý bài 10

    Kiểm chiều cao.

11. $r=h=6$ cm. Tìm $l$ và bác bỏ $l=12$.

    Gợi ý bài 11

    Dùng tổng bình phương.

12. $M$ trong đĩa đáy, $OM<r$. $SM$ có là đường sinh không? So $SM,l$.

    Gợi ý bài 12

    Phân biệt đĩa với đường tròn biên.

13. $r=x,h=6,l=10$ cm. Tìm $x$.

    Gợi ý bài 13

    Kiểm điều kiện của độ dài.

14. Tăng mỗi số trong $(3,4,5)$ thêm $2$. Bộ $(5,6,7)$ còn phù hợp không?

    Gợi ý bài 14

    Kiểm Pythagore của bộ mới.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $l^2-r^2=h^2>0$ và $l^2-h^2=r^2>0$. Các độ dài dương nên kết luận đúng.

10. $h^2=l^2-r^2=0$ nên $h=0$. Không thỏa chiều cao dương.

11. $l^2=72$ nên $l=6\sqrt2$ cm. $r+h$ là độ dài đường gấp khúc, không phải cạnh huyền.

12. Không, vì $M$ không trên đường tròn đáy. $SM^2=h^2+OM^2<l^2$ nên $SM<l$.

13. $x^2=64$ cho $x=\pm8$. Chỉ $x=8$ hợp lệ vì bán kính dương.

14. Không: $25+36=61\ne49$. Phóng đều là nhân cùng hệ số, không cộng cùng số.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. $r+h=14,l=10$ cm. Tìm mọi cặp $(r,h)$ dương.

    Gợi ý bài 15

    Tính tích từ bình phương tổng.

16. $r=5$ cm, $l-h=d>0$. Khi nào có nón không suy biến?

    Gợi ý bài 16

    Giải tổng-hiệu rồi kiểm dấu.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $2rh=14^2-10^2=96$ nên $rh=48$. Hai số có tổng $14$ và tích $48$ là $6,8$. Đúng hai cặp $(6,8),(8,6)$, đều hợp lệ.

16. $l+h=25/d$, nên $h=(25/d-d)/2$. Điều kiện $h>0$ tương đương $0<d<5$. Tại $d=5$ chiều cao bằng $0$, bị loại.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.