Đọc và biểu diễn thứ tự của số thực

Thứ tự số thực và tính chất bất đẳng thức · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-11-B1

Thứ tự số thực thể hiện vị trí trên trục số và ý nghĩa của các dấu so sánh. Bài học phân biệt điểm biên, số âm, căn thức và dữ kiện chỉ cho một khoảng.

Sau bài này, em có thể:

• Đọc và biểu diễn thứ tự số thực.
• So căn và số âm với điều kiện dấu rõ ràng.
• Dùng phản ví dụ và lập luận hiệu để kiểm nhận định.

Cần biết trước: Mô-đun 01; số thực và quy tắc dấu.

1. Kiến thức và phương pháp

Trên trục số, số ở bên trái nhỏ hơn số ở bên phải. $a\le b$ nghĩa là $a<b$ hoặc $a=b$; tương tự với $\ge$. Khi so căn, có thể so bình phương nếu hai số đang so đều không âm; với số âm cần chú ý dấu. Một khoảng giá trị không xác định duy nhất một số. Trục trống sau dùng tham chiếu cho nhiệm vụ4; em tự đánh dấu và giữ đều khoảng cách đơn vị.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Sắp xếp có căn

Cơ bản

Đề bài

Sắp xếp tăng dần $-\sqrt{16};-1{,}5;0;\sqrt4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\sqrt{16}=4,\sqrt4=2$, nên $-4<-1{,}5<0<2$. Số âm có độ lớn lớn hơn nằm xa hơn về bên trái.

Cách tự kiểm

Không so số âm chỉ bằng chữ số bỏ dấu.

Ví dụ 2. So căn với phân số

Cơ bản

Đề bài

So $\sqrt5$ và $9/4$ mà không dùng làm tròn.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cả hai dương và $5=80/16<81/16=(9/4)^2$, nên $\sqrt5<9/4$.

Cách tự kiểm

Đã kiểm hai số không âm trước khi so bình phương.

Ví dụ 3. Căn có dấu âm

Cơ bản

Đề bài

So $-\sqrt7$ và $-2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vì $\sqrt7>2$ do $7>4$, nên số đối $-\sqrt7$ nằm trái $-2$: $-\sqrt7<-2$.

Cách tự kiểm

Lấy số đối đảo thứ tự.

Ví dụ 4. Điểm biên

Cơ bản

Đề bài

Điều kiện $x\le-1$ và $x<-1$ có nhận $x=-1$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Điều kiện thứ nhất nhận vì có dấu bằng; điều kiện thứ hai không. Cả hai nhận $x=-2$, đều không nhận $x=0$.

Cách tự kiểm

Một điểm biên phân biệt hai tập nghiệm.

Ví dụ 5. Trị tuyệt đối không giữ mọi thứ tự

Nâng cao

Đề bài

Từ $a<b$, có luôn $|a|<|b|$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. $a=-5,b=-2$ thỏa $a<b$ nhưng $|a|=5>2=|b|$. Độ lớn là khoảng cách tới $0$, không phải vị trí trái–phải.

Cách tự kiểm

Phản ví dụ phải thỏa giả thiết trước.

Ví dụ 6. Nằm giữa không phải trung điểm

Nâng cao

Đề bài

Biết $2<x<3$. Có suy $x=2{,}5$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. $x=9/4$ và $x=11/4$ đều nằm trong khoảng nhưng khác $2{,}5$. Dữ kiện cho nhiều giá trị, không cho vị trí chính xác.

Cách tự kiểm

Cho hai giá trị hợp lệ là đủ bác bỏ duy nhất.

Ví dụ 7. Số có bình phương bằng nhau

Nâng cao

Đề bài

Biết $a^2=b^2$. Có suy $a=b$ không? Nếu thêm $a,b\ge0$ thì sao?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không luôn đúng: $a=-3,b=3$ là phản ví dụ. Nếu cả hai không âm, bình phương tăng trên số không âm, nên cùng bình phương buộc $a=b$.

Cách tự kiểm

Điều kiện dấu làm thay kết luận.

Ví dụ 8. Từ thứ tự đến hiệu

Thử thách

Đề bài

Chứng minh $a<b$ khi và chỉ khi $b-a>0$. Dùng để so $3+\sqrt2$ và $2+\sqrt2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$a<b$ tương đương cộng $-a$ hai vế được $0<b-a$; chiều ngược cộng $a$. Hiệu số đầu trừ số sau là $1>0$, nên $3+\sqrt2>2+\sqrt2$.

Cách tự kiểm

So hiệu có thể tránh tính căn gần đúng.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• So số âm bằng độ lớn mà quên vị trí.
• Nhầm dấu nghiêm với dấu có bằng.
• Suy một khoảng thành một giá trị hoặc so bình phương mà chưa kiểm dấu.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Sắp xếp tăng dần $-1{,}5;0;-2;3/2$.

   Gợi ý bài 1

   Xác định dấu, rồi so vị trí hai số âm.

2. Điền $<,>$ hoặc $=$ vào $-\sqrt9\ \ldots\ -2$ và $\sqrt{1/4}\ \ldots\ 0{,}5$.

   Gợi ý bài 2

   Tính các căn chính không âm trước khi gắn dấu âm bên ngoài.

3. Giải thích khác nhau giữa $x>4$ và $x\ge4$. Số $4$ thỏa điều kiện nào?

   Gợi ý bài 3

   Kiểm trường hợp dấu bằng.

4. Vẽ trục số trên giấy, đánh dấu $A=-2,B=1,C=3$. So sánh $A$ với $B$ và $B$ với $C$. Dùng hình trục trống làm tham chiếu.

   Gợi ý bài 4

   Giữ các khoảng đơn vị bằng nhau và đọc từ trái sang phải.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $-2<-1{,}5<0<3/2$, vì $3/2=1{,}5>0$ và $-2$ nằm trái $-1{,}5$.

2. $-\sqrt9=-3<-2$; $\sqrt{1/4}=1/2=0{,}5$.

3. $x>4$ đòi lớn hơn hẳn $4$, còn $x\ge4$ cho phép bằng $4$. Số $4$ chỉ thỏa điều kiện thứ hai.

4. $A<B$ và $B<C$, tức $-2<1$ và $1<3$. Trên hình tự vẽ, $A$ trái $B$, $B$ trái $C$; cần đánh dấu đúng khoảng cách đơn vị.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Sắp xếp $-\sqrt{25};-4;1/2;0$ tăng dần.

   Gợi ý bài 5

   Tính $\sqrt{25}$ trước.

6. So $\sqrt{16}$ và $4$; so $-\sqrt{16}$ và $-3$.

   Gợi ý bài 6

   Căn chính của $16$ là số không âm.

7. Trong $-2,-1,0$, số nào thỏa $x\ge-1$ và số nào thỏa $x>-1$?

   Gợi ý bài 7

   Kiểm riêng điểm biên $-1$.

8. Đánh dấu trên giấy $P=-3,Q=0,R=2$ và viết thứ tự.

   Gợi ý bài 8

   Vị trí tăng dần từ trái sang phải.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $-5<-4<0<1/2$.

6. $\sqrt{16}=4$; $-\sqrt{16}=-4<-3$.

7. $x\ge-1$ nhận $-1$ và $0$; $x>-1$ chỉ nhận $0$. Số $-2$ bị loại cả hai.

8. $P<Q<R$, tức $-3<0<2$. Khoảng $PQ$ là $3$ đơn vị, $QR$ là $2$ đơn vị; không chia đều ba điểm nếu sai khoảng cách.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. So $\sqrt3$ với $7/4$ bằng bình phương và nêu điều kiện áp dụng.

   Gợi ý bài 9

   Hai số đều dương; so $3$ với $49/16$.

10. So $-\sqrt{10}$ và $-3$ mà không làm tròn.

    Gợi ý bài 10

    So hai độ lớn dương trước.

11. Biết $a<b$. Có luôn $-a<-b$ không? Cho phản ví dụ và sửa.

    Gợi ý bài 11

    Thử $a=1,b=2$.

12. Biết $1<x<2$. Có thể kết luận $x$ nguyên không? Nếu không, có số nguyên nào thỏa không?

    Gợi ý bài 12

    Xem có số nguyên nằm hẳn giữa hai số nguyên liên tiếp không.

13. Tìm các số thực vừa thỏa $x\le3$ vừa thỏa $x\ge3$. Giải thích.

    Gợi ý bài 13

    Hai hướng so sánh phải đồng thời đúng.

14. Biết $a,b\le0$ và $a^2<b^2$. So sánh $a,b$.

    Gợi ý bài 14

    Đổi sang hai độ lớn $-a,-b$ không âm.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $3=48/16<49/16$, nên $\sqrt3<7/4$. Lập luận so bình phương giữ thứ tự vì cả hai không âm.

10. $\sqrt{10}>3$ do $10>9$, nên $-\sqrt{10}<-3$.

11. Không: $-1>-2$. Quy tắc đúng là $-a>-b$; hai số đối phản chiếu vị trí qua $0$.

12. Không có số nguyên nào thỏa; nhiều số thực như $3/2$ thỏa. Giả thiết không nói $x$ nguyên và cũng không buộc nó nguyên.

13. Chỉ $x=3$: nếu nhỏ hơn $3$ thì vi phạm $\ge3$, nếu lớn hơn thì vi phạm $\le3$; $3$ thỏa cả hai.

14. $(-a)^2<(-b)^2$ và $-a,-b\ge0$, nên $-a<-b$. Lấy số đối suy $a>b$. Không được kết luận như khi hai số dương.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Với $0<a<b$, chứng minh $\dfrac1b<\dfrac1a$. Vì sao cần biết dấu?

    Gợi ý bài 15

    Nhân điều cần chứng minh với $ab>0$, hoặc tính hiệu.

16. Cho $a<b$. Chứng minh tồn tại một số thực nằm hẳn giữa hai số đó và cho hai số khác nhau như vậy.

    Gợi ý bài 16

    Dùng các phân số của khoảng dương $b-a$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $\dfrac1a-\dfrac1b=(b-a)/(ab)>0$, nên $1/b<1/a$. Mẫu dương nhờ $a,b>0$. Nếu đổi miền dấu mà không kiểm, phép nhân bất đẳng thức có thể sai chiều hoặc không xác định tại $0$.

16. Đặt $u=a+(b-a)/3$, $v=a+2(b-a)/3$. Vì $b-a>0$, ta có $a<u<v<b$. Do đó không chỉ có trung điểm mà có ít nhất hai số khác nhau nằm giữa; mọi phép chia ở đây dùng số dương $3$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.