Đến nội dung chính
THCSLớp 9Thống kê và xác suấtMở mô-đun

Mô hình xác suất và mô phỏng · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-54-B5

Tần số tương đối mô tả một lần chạy hữu hạn; xác suất thuộc mô hình. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

  • Đối chiếu mô phỏng với xác suất tính bằng kiểm đếm.
  • Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
  • Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.

Cần biết trước: Mô-đun 51,53. Mô phỏng là quan sát, không thay thế phép tính hoặc chứng minh.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Tần số tương đối mô tả một lần chạy hữu hạn; xác suất thuộc mô hình. Chúng có thể gần, bằng hoặc khác nhau, nhưng một lần chạy không thay chứng minh xác suất bằng kiểm đếm.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tần số và xác suất xu

Cơ bản

Đề bài

Xu công bằng có xác suất N $1/2$. Dữ liệu giả định $12$ N trên $20$. Tính chênh lệch.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tần số tương đối $60\%$, cao hơn $10$ điểm phần trăm. Đây là số liệu giả định, không phải bằng chứng đã chạy mô phỏng.

Cách tự kiểm

So $12/20$ với $1/2$.

Ví dụ 2. So với một phần sáu

Cơ bản

Đề bài

Hai xúc xắc có xác suất tổng $7$ là $1/6$. Dữ liệu giả định $18/120$. So sánh.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thấp hơn $1/60$, tức khoảng $1,67$ điểm phần trăm. Khác biệt không tự chứng minh mô hình sai.

Cách tự kiểm

Tỉ lệ quan sát $15\%$, lý thuyết khoảng $16,67\%$.

Ví dụ 3. Trùng lý thuyết chưa thành chứng minh

Vận dụng

Đề bài

Mô phỏng $60$ lần tổng $7$ xuất hiện $10$ lần. Có chứng minh xác suất bằng $1/6$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. $10/60=1/6$ chỉ mô tả lần chạy ấy; một tỉ lệ khớp không thay chứng minh bằng mô hình đồng khả năng và đếm cặp.

Cách tự kiểm

Tỉ lệ trùng lý thuyết trong một mẫu không xác định tham số.

Ví dụ 4. Chưa xuất hiện không là không thể

Vận dụng

Đề bài

Mười lần không có tổng $7$ có chứng minh biến cố không thể không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Nếu mô hình hai xúc xắc công bằng độc lập đúng, tổng $7$ vẫn có xác suất $1/6$ mỗi lần. Cần kiểm quy trình nếu nghi vấn, không đổi xác suất thành $0$.

Cách tự kiểm

Không xuất hiện hữu hạn lần khác không thể theo mô hình.

Ví dụ 5. Gộp hai lượt khác quy mô

Vận dụng

Đề bài

Hai lượt giả định có $8/20$ và $17/30$ lần N. Tính tỉ lệ gộp.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gộp $25/50=1/2$. Hai mẫu có số lần khác nhau; trung bình không trọng số sẽ khác.

Cách tự kiểm

Cộng số N và số lần, không lấy trung bình hai tỉ lệ.

Ví dụ 6. Độ lệch trong hai bảng cụ thể

Nâng cao

Đề bài

Tỉ lệ ở $20$ lần là $60\%$, ở $100$ lần là $54\%$. Có thể nói chênh với $50\%$ đã giảm trong hai bảng này không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Có, độ lệch từ $10$ xuống $4$ điểm phần trăm trong các dữ liệu đã nêu. Không suy mọi lần tăng số thử đều làm độ lệch giảm.

Cách tự kiểm

Tính hai độ lệch tuyệt đối.

Ví dụ 7. Tránh chọn lọc lần chạy

Nâng cao

Đề bài

Vì sao chỉ giữ các lần chạy gần $1/6$ làm báo cáo sai lệch?

Lời giải và cách suy nghĩ

Nó loại có chủ đích các kết quả xa dự đoán. Cần định trước số lần, lưu mọi kết quả và báo đầy đủ lý do chạy lại nếu có.

Cách tự kiểm

Quy tắc chọn dữ liệu dựa vào chính kết quả muốn chứng tỏ.

Ví dụ 8. Một lần thêm có kết quả xác định

Thử thách

Đề bài

Mẫu $100$ lần gieo có $15$ mặt $6$, tiếp theo một lần ra $6$. Độ lệch với $1/6$ có nhất thiết giảm không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cả hai dưới $1/6$, tỉ lệ tăng từ $0,15$ lên khoảng $0,1584$, nên trong tình huống này độ lệch giảm. Đây là kết luận về hai mẫu cụ thể, không quy luật cho mọi lần mới.

Cách tự kiểm

So $15/100$ và $16/101$ với $1/6$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
  • Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
  • Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Mô hình xu công bằng có $P(\text{ngửa})=\frac12$. Một dữ liệu mô phỏng giả định có $12$ lần ngửa trong $20$ lần. Tính tần số tương đối và độ chênh so với $\frac12$.

    Gợi ý bài 1

    Tính $12/20$ và so $1/2$ bằng điểm phần trăm.

  2. Mô hình hai xúc xắc công bằng độc lập cho $P(\text{tổng }7)=\frac16$. Dữ liệu mô phỏng giả định có $18$ lần tổng $7$ trong $120$ lần. Tính tần số tương đối và so sánh.

    Gợi ý bài 2

    So $18/120$ với $1/6$.

  3. Nếu đã chạy mô phỏng ở bài trước, tính tần số tương đối của tổng $7$ bằng dữ liệu lưu, đối chiếu với phép đếm $\frac6{36}$. Nêu điều có thể kết luận và giới hạn; nếu chưa chạy, ghi đúng trạng thái.

    Gợi ý bài 3

    Chỉ báo đúng số k,N từ dữ liệu đã lưu; chưa chạy thì chưa có kết quả.

  4. Một bạn chỉ giữ những lần chạy cho tỉ lệ gần $\frac16$ rồi báo đó là toàn bộ mô phỏng. Vấn đề gì xảy ra? Đề xuất quy tắc lưu dữ liệu công bằng.

    Gợi ý bài 4

    Quy định trước số thử và lưu mọi kết quả, không chọn lọc theo độ gần.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4
  1. $\frac{12}{20}=0{,}6=60\%$; chênh 0,1 tức 10 điểm phần trăm so với 50%. Đây là số liệu giả định để luyện đọc, không phải báo cáo chạy thật.

  2. $\frac{18}{120}=0{,}15=15\%$, thấp hơn $\frac16\approx16{,}67\%$ khoảng $1{,}67$ điểm phần trăm. Khác nhau không tự chứng minh mô hình sai.

  3. Báo đúng số lần $k$ trên $N$ lần đã lưu, so $\frac{k}{N}$ với $\frac16$. Chỉ mô tả kết quả của lần chạy; không khẳng định xác suất được chứng minh bằng mô phỏng hay tỉ lệ phải bằng $\frac16$. Chưa chạy thì ghi chưa có kết quả thực nghiệm.

  4. Chọn lọc kết quả làm báo cáo sai lệch. Quy định trước số lần thử và số lần chạy, lưu mọi kết quả cùng điều kiện; nếu chạy lại để kiểm thì nêu đầy đủ lý do, không loại dữ liệu chỉ vì xa dự đoán.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Dữ liệu giả định có $28$ N trên $50$ lần. Tính tỉ lệ và độ chênh so với $1/2$.

    Gợi ý bài 5

    Lấy số N chia số lần.

  2. Dữ liệu giả định có $19$ tổng $7$ trên $120$ lần. Viết tỉ lệ chính xác và chênh lệch so lý thuyết.

    Gợi ý bài 6

    $1/6=20/120$.

  3. Hai lượt có $6/20$ và $20/40$ lần đạt biến cố. Tỉ lệ gộp là bao nhiêu?

    Gợi ý bài 7

    Tổng thuận lợi $26$, tổng thử $60$.

  4. Tỉ lệ $50\%$ từ $2$ lần và từ $200$ lần đều khớp xác suất xu công bằng. Có thể xem mọi ý nghĩa suy rộng như nhau không?

    Gợi ý bài 8

    Số lần và cách sinh dữ liệu vẫn là thông tin cần thiết.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8
  1. $56\%$, cao hơn $6$ điểm phần trăm.

  2. Tỉ lệ $19/120$, thấp hơn $1/120$, tức khoảng $0,83$ điểm phần trăm.

  3. $26/60=13/30\approx43,33\%$, không phải trung bình $40\%$.

  4. Không. Cùng tỉ lệ mô tả không có cùng lượng thông tin hoặc độ ổn định; còn phải kiểm quy trình, độc lập và việc chọn lọc dữ liệu. Không tự suy mức chắc chắn chỉ từ một nhãn.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Đang có $8$ N trong $20$ lần. Phải có bao nhiêu N liên tiếp thêm vào để tỉ lệ thành $1/2$?

    Gợi ý bài 9

    Lập $(8+x)/(20+x)=1/2$.

  2. Đang có $12$ N trong $20$ lần. Nếu bốn lần tiếp theo đều N thì độ lệch so $1/2$ tăng hay giảm?

    Gợi ý bài 10

    Tỉ lệ mới $16/24=2/3$.

  3. Mô phỏng $120$ lần tổng $7$ có $18$ thuận lợi. Thêm $30$ lần, muốn tỉ lệ gộp đúng $1/6$ thì số thuận lợi mới phải bao nhiêu?

    Gợi ý bài 11

    Tổng sau là $150$, số thuận lợi mục tiêu $25$.

  4. Mô phỏng $60$ lần có $10$ thuận lợi. Một hàng bị ghi trùng đúng một lần và là thuận lợi. Sửa tỉ lệ.

    Gợi ý bài 12

    Bỏ dòng lặp giảm cả tử và mẫu một.

  5. Hai báo cáo mỗi báo cáo $100$ lần, tỉ lệ biến cố $10\%$ và $30\%$. Gộp là $20\%$. Có suy từng báo cáo gần $20\%$ không?

    Gợi ý bài 13

    Gộp có thể che sai khác giữa các phần.

  6. Tổng $7$ có xác suất lý thuyết $1/6$. Muốn tỉ lệ thực nghiệm đúng $1/6$ sau $N$ lần, điều kiện cần của $N$ là gì?

    Gợi ý bài 14

    Số thuận lợi phải là số nguyên $N/6$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14
  1. $x=4$. Sau thêm $12/24=1/2$. Đây là câu hỏi giả định; không được tiếp tục thử chỉ đến khi đẹp rồi giấu quy tắc dừng.

  2. Độ lệch tăng từ $0,1$ lên $1/6$. Thêm số lần không bảo đảm tỉ lệ của mọi mẫu cụ thể gần hơn ngay lập tức.

  3. Cần $25-18=7$ thuận lợi trong $30$ lần thêm. Có thể xảy ra nhưng không được ép kết quả hoặc chỉ giữ lần chạy đáp ứng mục tiêu.

  4. Tỉ lệ thật của dữ liệu còn lại $9/59$, không còn đúng $1/6$. Phải sửa dữ liệu hợp lệ, không giữ dòng sai để tỉ lệ khớp.

  5. Không. Tỉ lệ từng phần lệch $10$ điểm phần trăm so gộp. Cần giữ cả dữ liệu theo lượt để kiểm điều kiện hoặc cơ chế sinh có thay đổi không.

  6. $N$ phải chia hết cho $6$. Điều này chỉ làm tỉ lệ ấy có thể về số học, không bảo đảm nó sẽ xuất hiện trong lần chạy.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Tỉ lệ một biến cố sau $100$ lần là $p=0,2$. Nếu lần tiếp theo thuận lợi, công thức tỉ lệ mới và độ tăng là gì?

    Gợi ý bài 15

    Tử tăng một, mẫu tăng một.

  2. Có $N>0$ lần thử với tần số tương đối $a/N=p_0$ đúng bằng xác suất lý thuyết $0<p_0<1$. Sau thêm một lần thử, có thể vẫn đúng bằng $p_0$ không?

    Gợi ý bài 16

    Xét hai trường hợp thêm thuận lợi hoặc không thuận lợi.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16
  1. Tỉ lệ mới $21/101$, độ tăng $21/101-1/5=4/505$. Tổng quát với $a$ thuận lợi trên $N$, tăng bằng $(N-a)/(N(N+1))$.

  2. Nếu thuận lợi, $(a+1)/(N+1)=p_0$ kết hợp $a=p_0N$ buộc $p_0=1$. Nếu không thuận lợi, $a/(N+1)=p_0$ buộc $p_0=0$. Cả hai trái $0<p_0<1$, nên không thể giữ đúng bằng sau chỉ một lần thêm.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.