Đưa thừa số không âm vào trong dấu căn

Tính chất căn bậc hai của số · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-02-B4

Đưa thừa số vào căn có ích khi so sánh hai số chứa căn. Hệ số âm cần giữ dấu ngoài căn; ngoại lệ bằng không phải được xét riêng khi phát biểu điều kiện.

Sau bài này, em có thể:

• Đưa thừa số vào căn đúng dấu.
• So sánh và suy ngược với điều kiện tham số, số nguyên.

Cần biết trước: Mô-đun 01; phép nhân, chia và phân tích số thành tích.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $c\ge0,a\ge0$,

Nếu $c<0$, viết $c=-|c|$ thì $c\sqrt a=-\sqrt{c^2a}$. Khi $a>0$, dấu của tích là dấu của $c$; khi $a=0$, tích bằng $0$ với mọi $c$. Vì thế không được làm mất dấu âm chỉ vì bình phương hệ số.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hệ số nguyên

Cơ bản

Đề bài

Đưa $3\sqrt2$ vào căn.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vì $3\ge0$, $3\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}$.

Cách tự kiểm

Hệ số vào căn phải được bình phương.

Ví dụ 2. Hệ số thập phân

Cơ bản

Đề bài

Tính $5\sqrt{0{,}04}$ bằng đưa hệ số vào căn.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bằng $\sqrt{25\cdot0{,}04}=\sqrt1=1$.

Cách tự kiểm

Tính trực tiếp $5\cdot0{,}2=1$ để đối chiếu.

Ví dụ 3. Giữ dấu âm

Cơ bản

Đề bài

Viết $-4\sqrt3$ bằng một căn có dấu ngoài.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bằng $-\sqrt{16\cdot3}=-\sqrt{48}$, không phải $\sqrt{48}$.

Cách tự kiểm

Vế đầu âm vì $\sqrt3>0$.

Ví dụ 4. So sánh hai hệ số

Cơ bản

Đề bài

So sánh $4\sqrt2$ với $3\sqrt3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai số không âm; đưa vào căn được $\sqrt{32}$ và $\sqrt{27}$. Vì $32>27$, số thứ nhất lớn hơn.

Cách tự kiểm

Không so riêng các hệ số $4,3$.

Ví dụ 5. Một hệ số có ẩn

Vận dụng

Đề bài

Viết $x\sqrt5$ dưới dạng một căn theo dấu của $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Với $x\ge0$, bằng $\sqrt{5x^2}$. Với $x<0$, bằng $-\sqrt{5x^2}$.

Cách tự kiểm

Bình phương hệ số không cho biết dấu ban đầu.

Ví dụ 6. Trường hợp số dưới căn bằng không

Vận dụng

Đề bài

Đẳng thức $-2\sqrt a=\sqrt{4a}$ có thể đúng với $a\ge0$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu $a>0$, vế trái âm và vế phải dương nên sai. Nếu $a=0$, hai vế cùng $0$. Vậy đúng chỉ tại $a=0$.

Cách tự kiểm

Không bỏ ngoại lệ bằng $0$.

Ví dụ 7. Chứng minh công thức đưa vào

Nâng cao

Đề bài

Với $c,a\ge0$, dùng định nghĩa căn số học để chứng minh $c\sqrt a=\sqrt{c^2a}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế trái không âm và bình phương bằng $c^2a$. Nó thỏa đúng hai điều kiện xác định căn số học của $c^2a$, nên đẳng thức đúng.

Cách tự kiểm

Không chỉ kiểm bình phương mà quên dấu.

Ví dụ 8. Tìm hệ số từ một căn

Nâng cao

Đề bài

Tìm số thực $c$ để $c\sqrt3=\sqrt{12}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế phải $2\sqrt3$ và $\sqrt3>0$, nên chia hai vế cho $\sqrt3$ được $c=2$. Ứng viên $-2$ chỉ có cùng bình phương, không cùng dấu.

Cách tự kiểm

Thử hệ số âm sẽ cho vế trái âm.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Đưa hệ số vào căn mà không bình phương.
• Làm mất dấu trừ khi hệ số âm.
• Phát biểu điều kiện mà quên ngoại lệ số dưới căn bằng $0$.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Đưa $4\sqrt3$ vào một dấu căn bậc hai.

   Gợi ý bài 1

   Bình phương hệ số $4$.

2. Đưa $0{,}5\sqrt{12}$ vào một dấu căn, rồi tính giá trị.

   Gợi ý bài 2

   $0{,}5^2=0{,}25$.

3. Viết $-2\sqrt5$ bằng một căn có dấu phía ngoài. Vì sao không bằng $\sqrt{20}$?

   Gợi ý bài 3

   Giữ dấu trừ ngoài phép đưa vào.

4. So sánh $2\sqrt7$ và $3\sqrt3$ bằng cách đưa thừa số vào căn.

   Gợi ý bài 4

   Hai hệ số đều không âm.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $4\sqrt3=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{48}$ vì $4\ge0$.

2. $0{,}5\sqrt{12}=\sqrt{0{,}25\cdot12}=\sqrt3$.

3. $-2\sqrt5=-\sqrt{20}$. Không bằng $\sqrt{20}$ vì số thứ nhất âm, số thứ hai dương.

4. $2\sqrt7=\sqrt{28}$, $3\sqrt3=\sqrt{27}$. Vì $28>27$, suy ra $2\sqrt7>3\sqrt3$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Đưa $6\sqrt2$ vào căn.

   Gợi ý bài 5

   Bình phương $6$.

6. Đưa $\frac12\sqrt{20}$ vào căn và rút gọn.

   Gợi ý bài 6

   Bình phương hệ số phân số.

7. Viết $-3\sqrt6$ bằng căn có dấu ngoài.

   Gợi ý bài 7

   Dấu âm không được mất.

8. So sánh $5\sqrt2$ và $2\sqrt{13}$.

   Gợi ý bài 8

   Đưa hai hệ số dương vào căn.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Bằng $\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{72}$.

6. Bằng $\sqrt{20/4}=\sqrt5$.

7. Bằng $-\sqrt{9\cdot6}=-\sqrt{54}$.

8. Được $\sqrt{50}$ và $\sqrt{52}$, nên $5\sqrt2<2\sqrt{13}$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Tìm $c\ge0$ để $c\sqrt2=\sqrt{50}$.

   Gợi ý bài 9

   Chia cho $\sqrt2>0$.

10. Với $a>0$, vì sao $c\sqrt a=\sqrt{c^2a}$ buộc $c\ge0$?

    Gợi ý bài 10

    Xét dấu hai vế.

11. Viết $(x-1)\sqrt3$ theo hai miền để đưa hệ số vào căn.

    Gợi ý bài 11

    Chia tại $x=1$.

12. Tìm $a\ge0$ để $-5\sqrt a=\sqrt{25a}$.

    Gợi ý bài 12

    Khi nào hai số trái dấu có thể bằng nhau?

13. Chứng minh $2\sqrt{3t}<3\sqrt{2t}$ với mọi $t>0$; khi $t=0$ thì sao?

    Gợi ý bài 13

    Đưa hệ số vào căn rồi so sánh.

14. Bạn viết $x\sqrt4=\sqrt{4x^2}$ với mọi $x$. Sửa điều kiện và cho phản ví dụ.

    Gợi ý bài 14

    Vế phải là $2|x|$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $\sqrt{50}=5\sqrt2$, nên chỉ $c=5$.

10. Vế phải không âm; vì $\sqrt a>0$, vế trái có dấu của $c$, nên $c\ge0$. Nếu $a=0$, suy luận dấu này không còn buộc $c$.

11. Với $x\ge1$, bằng $\sqrt{3(x-1)^2}$; với $x<1$, bằng $-\sqrt{3(x-1)^2}$.

12. Chỉ khi cả hai bằng $0$, tức $a=0$. Với $a>0$, một vế âm và một vế dương.

13. Hai số là $\sqrt{12t},\sqrt{18t}$. Với $t>0$, $12t<18t$ nên bất đẳng thức đúng; tại $t=0$ hai vế bằng $0$.

14. Vế trái $2x$, nên đẳng thức đúng khi $x\ge0$. Với $x=-1$, hai vế $-2,2$, nên phát biểu cho mọi $x$ sai.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tìm tất cả số thực $c$ sao cho $c\sqrt a=\sqrt{c^2a}$ với mọi $a\ge0$.

    Gợi ý bài 15

    Xét riêng $a=1$ để có điều kiện cần.

16. Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\sqrt{50}<n\sqrt2<\sqrt{98}$.

    Gợi ý bài 16

    Đưa $n$ vào căn, rồi dùng $n$ nguyên.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $a=1$ buộc $c=|c|$, tức $c\ge0$. Điều kiện này đủ theo công thức đưa vào căn. Không có hệ số âm dù nó vẫn thỏa riêng tại $a=0$.

16. Bất đẳng thức tương đương $50<2n^2<98$, tức $25<n^2<49$. Với $n$ nguyên dương, chỉ $n=6$. Kiểm $n\sqrt2=\sqrt{72}$ nằm giữa hai căn đã cho.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.