Đưa thừa số số học ra ngoài dấu căn
Tính chất căn bậc hai của số · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-02-B3
Thừa số chính phương giúp đưa căn về dạng ngắn mà vẫn giữ giá trị chính xác. Với bài số nguyên, phân tích thừa số còn cho biết lúc nào một căn có thể là số nguyên.
Sau bài này, em có thể:
- Rút chính xác các thừa số chính phương.
- Suy ngược và giải thích điều kiện căn là số nguyên.
Cần biết trước: Mô-đun 01; phép nhân, chia và phân tích số thành tích.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với $c\ge0,d\ge0$, $\sqrt{c^2d}=c\sqrt d$. Để rút căn của một số nguyên dương, tìm một thừa số chính phương lớn, rồi kiểm phần dưới căn còn chứa thừa số chính phương nào lớn hơn $1$ không. Một số nguyên dương là số chính phương khi mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố đều chẵn.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Chọn bình phương lớn
Cơ bản
Đề bài
Rút gọn $\sqrt{108}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$108=36\cdot3$, nên $\sqrt{108}=6\sqrt3$. Số $3$ không còn thừa số chính phương lớn hơn $1$.
Cách tự kiểm
$(6\sqrt3)^2=108$.
Ví dụ 2. Có nhiều cách tách
Cơ bản
Đề bài
Rút gọn $\sqrt{300}$ bằng hai cách tách.
Lời giải và cách suy nghĩ
$300=100\cdot3$ cho $10\sqrt3$. Nếu tách $25\cdot12$, được $5\sqrt{12}=5\cdot2\sqrt3=10\sqrt3$.
Cách tự kiểm
Một đẳng thức đúng chưa chắc đã rút gọn hết.
Ví dụ 3. Thập phân là bình phương
Cơ bản
Đề bài
Rút gọn $\sqrt{0{,}81\cdot7}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$0{,}81=0{,}9^2$ và $0{,}9\ge0$, nên bằng $0{,}9\sqrt7$.
Cách tự kiểm
Không thay $0{,}81$ bằng $0{,}81^2$.
Ví dụ 4. Tổng căn cùng dạng
Cơ bản
Đề bài
Rút gọn $\sqrt{128}-\sqrt{32}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$128=64\cdot2$, $32=16\cdot2$, nên hiệu $8\sqrt2-4\sqrt2=4\sqrt2$.
Cách tự kiểm
Rút từng căn trước khi trừ hệ số.
Ví dụ 5. Tìm số dưới căn
Vận dụng
Đề bài
Tìm $n\ge0$ biết $\sqrt n=4\sqrt5$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai vế không âm. Bình phương được $n=16\cdot5=80$; thử lại $\sqrt{80}=4\sqrt5$.
Cách tự kiểm
Nghiệm duy nhất do bình phương đã xác định $n$.
Ví dụ 6. Thừa số cần thêm nhỏ nhất
Vận dụng
Đề bài
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để $\sqrt{18k}$ nguyên.
Lời giải và cách suy nghĩ
$18=2\cdot3^2$. Cần thêm một thừa số $2$ để số mũ của $2$ chẵn; $k=2$ cho $\sqrt{36}=6$. $k=1$ không được nên $2$ là nhỏ nhất.
Cách tự kiểm
Không chỉ đưa ra một giá trị làm được.
Ví dụ 7. Hai dạng rút gọn
Nâng cao
Đề bài
Bạn viết $\sqrt{242}=11\sqrt2$, bạn khác viết $\sqrt{242}=\sqrt{121}\sqrt2$. Có gì khác nhau?
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai cách đúng vì $242=121\cdot2$. Cách thứ hai còn phép căn $\sqrt{121}=11$ chưa thực hiện; hai cách có cùng giá trị chính xác.
Cách tự kiểm
Không đánh đồng chưa tính hết với đẳng thức sai.
Ví dụ 8. Mọi thừa số có thể thêm
Nâng cao
Đề bài
Tìm tất cả số nguyên dương $k$ để $\sqrt{18k}$ nguyên.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt $q=\sqrt{18k}$ nguyên dương. Khi đó $q^2=18k$ chia hết cho $9$, nên $q$ chia hết cho $3$ theo phân tích thừa số nguyên tố. Đặt $m=q/3$ nguyên dương, suy ra $m^2=2k$. Vì $m^2$ chẵn nên $m=2t$ với $t$ nguyên dương; do đó $k=2t^2$. Ngược lại dạng này cho $\sqrt{18k}=6t$, nên đã tìm hết.
Cách tự kiểm
Trường hợp nhỏ nhất tương ứng $t=1$.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chọn một thừa số chính phương nhưng dừng quá sớm.
- Cộng các số dưới căn thay cho cộng hệ số căn cùng dạng.
- Tìm được một $k$ mà chưa chứng minh nhỏ nhất hoặc đầy đủ.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Rút gọn $\sqrt{48}$ và giải thích cách chọn thừa số chính phương.
Gợi ý bài 1
$48=16\cdot3$.
-
Rút gọn $\sqrt{200}$ và $\sqrt{1{,}44\cdot5}$.
Gợi ý bài 2
$200=100\cdot2$, $1{,}44=1{,}2^2$.
-
Hai bạn rút $\sqrt{180}$ thành $3\sqrt{20}$ và $6\sqrt5$. Cả hai đẳng thức có đúng không? Dạng nào đã đưa hết thừa số chính phương ra ngoài?
Gợi ý bài 3
Phân tích $180$ theo hai cách.
-
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để $\sqrt{12k}$ là số nguyên. Giải thích bằng phân tích $12$.
Gợi ý bài 4
Xét tính chẵn của các số mũ nguyên tố.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Vì $16=4^2$, $\sqrt{48}=4\sqrt3$. Chọn thừa số $16$ giúp đưa hết phần chính phương ra ngoài.
-
$\sqrt{200}=10\sqrt2$ và $\sqrt{1{,}44\cdot5}=1{,}2\sqrt5$ vì các hệ số đưa ra không âm.
-
Cả hai đúng vì $180=9\cdot20=36\cdot5$. Nhưng $\sqrt{20}=2\sqrt5$ nên dạng $6\sqrt5$ đã rút tiếp; $5$ không còn ước chính phương lớn hơn $1$.
-
$12=2^2\cdot3$, cần thêm thừa số $3$, nên $k=3$ cho $\sqrt{36}=6$. $k=1,2$ cho $12,24$, đều không là số chính phương, nên $3$ nhỏ nhất.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Rút gọn $\sqrt{147}$.
Gợi ý bài 5
$147=49\cdot3$.
-
Rút gọn $\sqrt{320}$.
Gợi ý bài 6
Tìm thừa số $64$.
-
Rút gọn $\sqrt{2{,}25\cdot2}$.
Gợi ý bài 7
$2{,}25=1{,}5^2$.
-
Tính $\sqrt{63}+\sqrt{28}$.
Gợi ý bài 8
Đưa cả hai về hệ số của $\sqrt7$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Bằng $7\sqrt3$; bình phương lại được $147$.
-
$320=64\cdot5$, nên căn bằng $8\sqrt5$.
-
Bằng $1{,}5\sqrt2$, với hệ số dương $1{,}5$.
-
$3\sqrt7+2\sqrt7=5\sqrt7$.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để $\sqrt{20k}$ nguyên.
Gợi ý bài 9
$20=2^2\cdot5$.
-
Tìm $n$ biết $\sqrt n=7\sqrt3$.
Gợi ý bài 10
Bình phương số không âm.
-
Vì sao $2\sqrt{75}$ chưa phải dạng rút gọn hết?
Gợi ý bài 11
$75$ có ước chính phương $25$.
-
Chứng minh $\sqrt{72}+\sqrt{8}=\sqrt{128}$.
Gợi ý bài 12
Rút về cùng căn $\sqrt2$.
-
Với $n$ nguyên dương, nếu $\sqrt n$ là số nguyên thì $\sqrt{9n}$ có nguyên không? Chiều ngược có đúng không?
Gợi ý bài 13
Chiều ngược dùng bình phương và phân tích thừa số.
-
Tìm mọi số nguyên dương $k$ để $\sqrt{8k}$ nguyên.
Gợi ý bài 14
Đặt $2k$ bằng một bình phương.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Cần thêm thừa số $5$ với số mũ lẻ; nhỏ nhất $k=5$, khi ấy căn bằng $10$. Với $k<5$, chưa có thừa số $5$ cần thiết.
-
$n=49\cdot3=147$; thử $\sqrt{147}=7\sqrt3$.
-
$2\sqrt{75}=2\cdot5\sqrt3=10\sqrt3$; phần dưới căn $3$ không còn thừa số chính phương lớn hơn $1$.
-
Vế trái $6\sqrt2+2\sqrt2=8\sqrt2$, vế phải $8\sqrt2$. Đẳng thức này do rút gọn, không phải quy tắc cộng căn tùy ý.
-
Chiều thuận: $\sqrt{9n}=3\sqrt n$ nguyên. Chiều ngược: $9n$ chính phương có mọi số mũ nguyên tố chẵn; trừ số mũ chẵn của $9$ vẫn cho $n$ chính phương. Vì vậy cũng đúng.
-
$\sqrt{8k}=2\sqrt{2k}$ nguyên đòi $8k$ chính phương; số mũ của $2$ trong $k$ phải lẻ và các số mũ khác chẵn. Tương đương $k=2t^2$, $t$ nguyên dương; khi ấy căn bằng $4t$.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Có số nguyên dương $k$ nào làm cả $\sqrt{12k}$ và $\sqrt{18k}$ đều nguyên không?
Gợi ý bài 15
Chỉ xét số mũ của thừa số nguyên tố $2$.
-
Tìm số nguyên dương $n$ thỏa $\sqrt n+\sqrt{n+7}=7$.
Gợi ý bài 16
Đặt $\sqrt{n+7}=7-\sqrt n$ rồi bình phương có kiểm dấu.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Không. Gọi số mũ của $2$ trong $k$ là $e$. Muốn $12k$ chính phương cần $e+2$ chẵn; muốn $18k$ chính phương cần $e+1$ chẵn. Hai số liên tiếp không thể cùng chẵn.
-
Vế phải phải không âm. Bình phương cho $n+7=49-14\sqrt n+n$, nên $\sqrt n=3$, $n=9$. Thử $\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$, đúng; mọi nghiệm phải qua bước suy ra $\sqrt n=3$, nên chỉ có nghiệm này.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.