Đến nội dung chính

Bài toán thực tế kết hợp phương trình và Viète lớp 9

THCSLớp 9Số và đại sốMở mô-đun

Tổng tích hai số và ứng dụng Viète · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-20-B4

Các tình huống thực tế thường cho tổng và tích gián tiếp qua chu vi, diện tích hoặc một phương trình mô hình. Viète hỗ trợ giải và kiểm, nhưng miền thực tế vẫn quyết định phương án.

Sau bài này, em có thể:

  • Lập mô hình rồi dùng tổng/tích.
  • Kiểm tồn tại, miền và đơn vị.

Cần biết trước: Mô-đun 18–19; không dùng hệ thức Viète để giả định nghiệm chưa tồn tại.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Với hình chữ nhật chu vi $p$, tổng hai kích thước là $p/2$, không phải $p$. Với hai số liên tiếp, đặt số nhỏ $n$ rồi biểu diễn số kia $n+1$. Sau khi giải phương trình, dùng tổng và tích kiểm nghiệm đại số, sau đó kiểm miền và đơn vị.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chu vi và diện tích

Cơ bản

Đề bài

Chữ nhật chu vi $28$ cm, diện tích $48$ cm$^2$. Tìm kích thước.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng hai cạnh $14$, tích $48$. Giải $t^2-14t+48=0$ cho $6$ và $8$; kích thước $6$ cm và $8$ cm.

Cách tự kiểm

Kiểm chu vi $2(6+8)=28$.

Ví dụ 2. Hai số liên tiếp

Cơ bản

Đề bài

Hai số nguyên dương liên tiếp có tổng bình phương $61$. Tìm.

Lời giải và cách suy nghĩ

$n^2+(n+1)^2=61$ cho $n^2+n-30=0$, nghiệm $5$ và $-6$. Nhận $5$ và $6$; kiểm $25+36=61$.

Cách tự kiểm

Nghiệm âm không là số nhỏ dương.

Ví dụ 3. Chuyển động

Cơ bản

Đề bài

Đi $40$ km, tăng vận tốc $2$ km/h thì giảm $1$ giờ. Tìm vận tốc cũ.

Lời giải và cách suy nghĩ

$40/v-40/(v+2)=1$, $v>0$, nên $v^2+2v-80=0$. Nghiệm $8$ và $-10$ có tổng $-2$, tích $-80$; nhận $8$ km/h.

Cách tự kiểm

Thời gian $5$ giờ và $4$ giờ.

Ví dụ 4. Kiểm không tồn tại

Cơ bản

Đề bài

Chữ nhật chu vi $16$ m, diện tích $20$ m$^2$. Có tồn tại không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng hai cạnh $8$, tích $20$, biệt thức $64-80<0$; không có kích thước thực.

Cách tự kiểm

Không viết kích thước gần đúng từ căn âm.

Ví dụ 5. Hai số chẵn liên tiếp

Nâng cao

Đề bài

Hai số chẵn dương liên tiếp có tích $80$. Tìm.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt $n,n+2$ với $n$ chẵn dương. $n^2+2n-80=0$ cho $8$ và $-10$; nhận $8$ và $10$.

Cách tự kiểm

Kiểm cả chẵn, dương, chênh $2$.

Ví dụ 6. Hiệu diện tích

Nâng cao

Đề bài

Vuông cạnh $x>0$ tăng cạnh $4$ m làm diện tích tăng $64$ m$^2$. Giải và giải thích có cần Viète không.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(x+4)^2-x^2=64$ cho $8x+16=64$, nên $x=6$ m. Đây là bậc nhất sau thu gọn; không cần Viète bậc hai.

Cách tự kiểm

Chọn phương pháp theo phương trình sau thu gọn.

Ví dụ 7. Từ hình vuông và tổng cạnh

Nâng cao

Đề bài

Hai vuông có tổng độ dài cạnh $10$ cm, tổng diện tích $58$ cm$^2$. Tìm cạnh.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gọi cạnh $u,v>0$. $u+v=10$, $u^2+v^2=58$, nên $uv=21$. Hai cạnh là $3$ và $7$ cm.

Cách tự kiểm

Kiểm tổng diện tích $9+49=58$.

Ví dụ 8. Thiết kế điều kiện tồn tại

Thử thách

Đề bài

Chữ nhật có chu vi cố định $p>0$. Muốn diện tích ít nhất $A>0$, điều kiện nào trên $A$ là cần và đủ để có thể thiết kế?

Lời giải và cách suy nghĩ

Diện tích tối đa $p^2/16$ đạt ở hình vuông cạnh $p/4$. Vì vậy cần và đủ $0<A\le p^2/16$: hình vuông đã đạt ít nhất mọi ngưỡng ấy.

Cách tự kiểm

Bài yêu cầu ít nhất, không nhất thiết đúng bằng ngưỡng.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Lấy chu vi làm tổng hai cạnh.
  • Bỏ miền nguyên, dương hoặc bước kiểm tình huống.
  • Ép Viète khi phương trình thực ra bậc nhất.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Một hình chữ nhật có chu vi $30$ cm, diện tích $54$ cm$^2$. Tìm kích thước bằng tổng và tích.

    Gợi ý bài 1

    Chu vi chia 2 mới là tổng hai kích thước.

  2. Hai số nguyên dương liên tiếp có tổng bình phương $85$. Đặt số nhỏ $n$ rồi giải; dùng tổng, tích nếu phù hợp để kiểm.

    Gợi ý bài 2

    Đặt số nhỏ dương, giải rồi kiểm liên tiếp.

  3. Một người dự định đi $60$ km với vận tốc $v>0$. Nếu tăng $5$ km/h thì giảm $1$ giờ. Giải phương trình bậc hai rồi dùng tổng, tích để kiểm hai nghiệm đại số.

    Gợi ý bài 3

    Thời gian cũ trừ mới, miền vận tốc dương.

  4. Một hình chữ nhật được yêu cầu chu vi $12$ m, diện tích $10$ m$^2$. Hãy dùng điều kiện tồn tại để kiểm trước khi cố tìm kích thước.

    Gợi ý bài 4

    Kiểm biệt thức để phát hiện kích thước không tồn tại.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. Tổng kích thước $15$, tích $54$. $t^2-15t+54=(t-6)(t-9)=0$, nên kích thước $6$ cm và $9$ cm; chu vi $30$, diện tích $54$.

  2. $n^2+(n+1)^2=85$, nên $n^2+n-42=(n-6)(n+7)=0$. Nhận $n=6$, số lớn $7$. Kiểm $36+49=85$; tổng $13$, tích $42$.

  3. $\dfrac{60}{v}-\dfrac{60}{v+5}=1$ dẫn đến $v^2+5v-300=0$. Nghiệm $15$ và $-20$ có tổng $-5$, tích $-300$; nhận $v=15$. Kiểm thời gian $4$ giờ và $3$ giờ.

  4. Tổng kích thước $6$, tích $10$, nên $\Delta=36-40=-4<0$. Không có hai kích thước thực, vì thế không có hình chữ nhật đáp ứng dữ kiện.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Chữ nhật chu vi $20$ cm, diện tích $21$ cm$^2$. Tìm cạnh.

    Gợi ý bài 5

    Tổng hai cạnh $10$.

  2. Hai số nguyên dương liên tiếp có tích $42$. Tìm.

    Gợi ý bài 6

    $n(n+1)=42$.

  3. Hai số chẵn dương liên tiếp có tích $48$. Tìm.

    Gợi ý bài 7

    $n(n+2)=48$.

  4. Chữ nhật chu vi $12$ m, diện tích $8$ m$^2$. Tìm cạnh.

    Gợi ý bài 8

    Tổng $6$, tích $8$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Hai cạnh $3$ và $7$ cm.

  2. Hai số $6$ và $7$.

  3. Hai số $6$ và $8$.

  4. Hai cạnh $2$ và $4$ m.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Hai vuông có tổng cạnh $8$ cm, tổng diện tích $34$ cm$^2$. Tìm cạnh.

    Gợi ý bài 9

    $uv=(64-34)/2=15$.

  2. Chữ nhật chu vi $10$ m, diện tích $7$ m$^2$. Có tồn tại không?

    Gợi ý bài 10

    Tổng cạnh $5$, biệt thức $25-28$.

  3. Hai số nguyên dương liên tiếp có tổng bình phương $113$. Tìm.

    Gợi ý bài 11

    $n^2+(n+1)^2=113$.

  4. Đi $60$ km, tăng vận tốc $5$ km/h giảm $1$ giờ. Tìm vận tốc cũ và dùng tổng/tích kiểm hai nghiệm.

    Gợi ý bài 12

    $v^2+5v-300=0$.

  5. Một bài cho hai số nguyên dương tổng $5$, tích $5$. Có phương án không?

    Gợi ý bài 13

    Nghiệm $(5\pm\sqrt5)/2$.

  6. Vì sao biết chu vi chữ nhật không đủ xác định diện tích? Cho hai hình cùng chu vi.

    Gợi ý bài 14

    Chọn hai cặp cùng tổng cạnh.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Cạnh $3$ và $5$ cm.

  2. Không tồn tại vì biệt thức âm.

  3. $n^2+n-56=0$, nghiệm $7$ và $-8$; nhận $7$ và $8$.

  4. Nghiệm $15$ và $-20$ có tổng $-5$, tích $-300$; nhận $15$ km/h. Thời gian $4$ giờ và $3$ giờ.

  5. Không có cặp nguyên dù hai nghiệm thực dương; không làm tròn.

  6. Hai cặp cạnh $(1;5)$ và $(2;4)$ đều có chu vi $12$ cm, nhưng diện tích lần lượt $5$ cm$^2$ và $8$ cm$^2$. Tổng cạnh cố định chưa xác định tích.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Hai vuông cạnh dương có tổng diện tích $50$ cm$^2$ và tổng cạnh $10$ cm. Chứng minh chúng bằng nhau.

    Gợi ý bài 15

    $uv=(100-50)/2=25$.

  2. Một hình chữ nhật có chu vi $p>0$, diện tích bằng đúng $p^2/16$. Chứng minh đó là hình vuông bằng hai cách.

    Gợi ý bài 16

    Dùng biệt thức hoặc bình phương hiệu hai cạnh.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Hai cạnh là nghiệm $(t-5)^2=0$, nên đều $5$ cm. Hoặc $(u-v)^2=2(u^2+v^2)-(u+v)^2=0$.

  2. Tổng cạnh $p/2$, tích $p^2/16$. Phương trình cạnh có biệt thức $p^2/4-4p^2/16=0$, nên hai cạnh bằng $p/4$. Cách khác, $(u-v)^2=(p/2)^2-4p^2/16=0$, cũng suy bằng nhau.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án