Đến nội dung chính

Lập phương trình bậc hai từ kích thước hình lớp 9

THCSLớp 9Số và đại sốMở mô-đun

Máy tính và mô hình phương trình bậc hai · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-18-B3

Kích thước hình tạo phương trình qua diện tích hoặc định lí Pythagore. Đặt miền trước, phân biệt viền trong/ngoài và kiểm kết quả trở lại hình ban đầu.

Sau bài này, em có thể:

  • Lập phương trình từ hình có miền.
  • Kiểm kích thước và tính khả thi.

Cần biết trước: Mô-đun 17; lập phương trình và kiểm điều kiện thực tế.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Độ dài phải dương; viền phía trong còn đòi các kích thước còn lại dương. Vẽ sơ đồ và biểu thị mọi kích thước theo một ẩn. Nếu hạng bình phương triệt tiêu, giải bậc nhất thay vì ép công thức bậc hai.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Diện tích chữ nhật

Cơ bản

Đề bài

Chữ nhật dài hơn rộng $3$ m, diện tích $40$ m$^2$. Tìm kích thước.

Lời giải và cách suy nghĩ

Rộng $x>0$, dài $x+3$. $x(x+3)=40$ nên $(x-5)(x+8)=0$. Nhận rộng $5$, dài $8$ m.

Cách tự kiểm

Kiểm $5\cdot8=40$ và chênh 3.

Ví dụ 2. Viền ngoài

Cơ bản

Đề bài

Tấm hình $8\times4$ cm có viền đều ngoài rộng $x>0$, tổng diện tích $60$ cm$^2$. Tìm $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(8+2x)(4+2x)=60$ nên $x^2+6x-7=0=(x-1)(x+7)$. Nhận $x=1$ cm.

Cách tự kiểm

Kích thước ngoài $10$ và $6$ cho 60.

Ví dụ 3. Viền trong

Cơ bản

Đề bài

Vườn $10\times8$ m có lối đi đều phía trong rộng $x$, phần giữa $48$ m$^2$. Tìm $x$ với $0<x<4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(10-2x)(8-2x)=48$ nên $x^2-9x+8=0=(x-1)(x-8)$. Chỉ $x=1$ thuộc miền.

Cách tự kiểm

Phần giữa $8\times6=48$.

Ví dụ 4. Tam giác vuông

Cơ bản

Đề bài

Hai cạnh vuông là $x,x+7$ cm, huyền $13$ cm. Tìm $x>0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2+(x+7)^2=169$ nên $x^2+7x-60=0=(x-5)(x+12)$. Nhận $x=5$, cạnh kia 12.

Cách tự kiểm

$5^2+12^2=13^2$.

Ví dụ 5. Diện tích chênh triệt tiêu

Nâng cao

Đề bài

Vuông tăng cạnh $3$ cm làm diện tích tăng $45$ cm$^2$. Có cần bậc hai không?

Lời giải và cách suy nghĩ

$(x+3)^2-x^2=45$ cho $6x+9=45$, nên $x=6$ cm. Phương trình sau rút gọn bậc nhất.

Cách tự kiểm

Không gọi mọi bài có bình phương là bậc hai.

Ví dụ 6. Chu vi và diện tích

Nâng cao

Đề bài

Chữ nhật chu vi $26$ cm, diện tích $36$ cm$^2$. Tìm kích thước.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai cạnh $x,13-x$, miền $0<x<13$. $x(13-x)=36$ cho $x^2-13x+36=0$, nghiệm 4, 9. Hai cạnh 4, 9.

Cách tự kiểm

Hoán đổi ẩn chỉ đổi vai trò dài/rộng.

Ví dụ 7. Dữ kiện không thể

Nâng cao

Đề bài

Chữ nhật chu vi $12$ m, diện tích $12$ m$^2$ có tồn tại không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh có tổng 6, đặt $x,6-x$. Diện tích $9-(x-3)^2\le9<12$, không thể.

Cách tự kiểm

Kiểm tồn tại trước ép ra nghiệm.

Ví dụ 8. Miền loại nghiệm đại số

Thử thách

Đề bài

Vườn $12\times10$ m có viền trong, phần giữa $80$ m$^2$. Lập và chọn nghiệm đúng.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(12-2x)(10-2x)=80$, $0<x<5$. Rút gọn $x^2-11x+10=0$, nghiệm 1, 10. Chỉ $x=1$; $10$ làm các kích thước âm nên không là viền.

Cách tự kiểm

Hai tích âm có thể cho diện tích dương nhưng không tạo hình hợp lệ.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm viền trong/ngoài hoặc chỉ thêm một lần x.
  • Nhận nghiệm làm kích thước âm.
  • Ép bậc hai khi các hạng bình phương đã triệt tiêu.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Hình chữ nhật dài hơn rộng $4$ m, diện tích $45$ m$^2$. Lập phương trình theo chiều rộng $x$ và tìm kích thước.

    Gợi ý bài 1

    Chiều rộng dương, chiều dài rộng+4.

  2. Một tấm hình $10$ cm $\times6$ cm có viền đều rộng $x$ cm ở ngoài bốn phía. Tổng diện tích cả viền là $96$ cm$^2$. Tìm $x>0$.

    Gợi ý bài 2

    Viền ngoài thêm $2x$ vào cả hai kích thước.

  3. Hình vuông cạnh $x$ cm được tăng cạnh thêm $2$ cm, diện tích mới lớn hơn diện tích cũ $28$ cm$^2$. Bài này có thật sự cần giải bậc hai không?

    Gợi ý bài 3

    Khai triển để thấy $x^2$ triệt tiêu.

  4. Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là $x$ và $x+1$ cm, cạnh huyền $5$ cm. Lập phương trình và chọn nghiệm.

    Gợi ý bài 4

    Tam giác vuông cho phương trình Pythagore, chọn chiều dài dương.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $x>0$, dài $x+4$. $x(x+4)=45$, nên $(x-5)(x+9)=0$. Nhận $x=5$, dài $9$ m; loại $-9$.

  2. Kích thước ngoài $10+2x,6+2x$. $(10+2x)(6+2x)=96$, nên $x^2+8x-9=0$, cho $x=1$ hoặc $-9$. Nhận viền rộng $1$ cm; kiểm $12\cdot8=96$.

  3. $(x+2)^2-x^2=28,x>0$. Rút gọn $4x+4=28$ nên $x=6$ cm. Hạng $x^2$ triệt tiêu, bài đưa về phương trình bậc nhất; không ép dùng công thức bậc hai.

  4. $x>0$ và $x^2+(x+1)^2=25$. Suy ra $2x^2+2x-24=0$, hay $(x-3)(x+4)=0$. Nhận $x=3$, cạnh còn lại $4$ cm; kiểm $9+16=25$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Chữ nhật dài hơn rộng $2$ m, diện tích $24$ m$^2$. Tìm kích thước.

    Gợi ý bài 5

    $x(x+2)=24$, $x>0$.

  2. Vuông cạnh $x>0$ có diện tích $49$ cm$^2$. Tìm cạnh.

    Gợi ý bài 6

    Chọn căn dương.

  3. Hai cạnh vuông $x,x+1$, huyền 5 cm. Tìm cạnh.

    Gợi ý bài 7

    Dùng Pythagore.

  4. Vuông tăng cạnh $2$ cm làm diện tích tăng $20$ cm$^2$. Tìm cạnh cũ.

    Gợi ý bài 8

    Hiệu hai bình phương.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $(x-4)(x+6)=0$, nhận rộng 4 m, dài 6 m.

  2. $x=7$ cm.

  3. $x=3$, cạnh kia 4 cm; nghiệm âm loại.

  4. $4x+4=20$ nên $x=4$ cm.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Chữ nhật chu vi $22$ cm, diện tích $30$ cm$^2$. Tìm cạnh.

    Gợi ý bài 9

    Tổng hai cạnh 11.

  2. Tấm $6\times4$ cm có viền ngoài đều rộng $x$, tổng diện tích $48$ cm$^2$. Tìm $x>0$.

    Gợi ý bài 10

    $(6+2x)(4+2x)=48$.

  3. Vườn $8\times6$ m có viền trong, phần giữa $24$ m$^2$. Tìm $x$ với $0<x<3$.

    Gợi ý bài 11

    $(8-2x)(6-2x)=24$.

  4. Vì sao viền đều phía ngoài thêm $2x$ mỗi kích thước, không chỉ $x$?

    Gợi ý bài 12

    Mỗi kích thước được mở rộng ở hai đầu.

  5. Chữ nhật có tổng hai cạnh $8$ cm, diện tích $20$ cm$^2$ có tồn tại không?

    Gợi ý bài 13

    Diện tích $16-(x-4)^2$.

  6. Hai cạnh góc vuông tỉ lệ $3:4$, diện tích $54$ cm$^2$. Tìm các cạnh.

    Gợi ý bài 14

    Đặt hai cạnh là $3t,4t$ với $t>0$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. $x(11-x)=30$, nghiệm 5, 6; cạnh 5 cm, 6 cm.

  2. $x^2+5x-6=0$, nghiệm 1, -6; nhận 1 cm.

  3. $x^2-7x+6=0$, nghiệm 1, 6; chỉ 1 m.

  4. Có viền rộng $x$ ở cả hai phía đối diện nên dài thêm $x+x=2x$. Chỉ thêm $x$ mô tả viền ở một phía, khác bài.

  5. Không; diện tích tối đa $16$ cm$^2$ khi hai cạnh bằng $4$ cm, nhỏ hơn $20$ cm$^2$.

  6. $6t^2=54$ nên $t=3$; cạnh 9 cm, 12 cm, huyền 15 cm.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Chữ nhật có chu vi $p>0$ và diện tích $S>0$. Chứng minh tồn tại khi và chỉ khi $S\le p^2/16$.

    Gợi ý bài 15

    Tổng hai cạnh $p/2$, dùng biệt thức.

  2. Vườn $10\times6$ m làm viền trong rộng $x$. Có thể phần giữa bằng diện tích viền không? Tìm $x$ chính xác và kiểm miền.

    Gợi ý bài 16

    Phần giữa có diện tích bằng $30$ m$^2$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Hai cạnh là nghiệm $t^2-(p/2)t+S=0$. Có nghiệm thực khi $p^2/4-4S\ge0$. Với $S>0$ và tổng dương, hai nghiệm dương. Điều kiện cần và đủ là $0<S\le p^2/16$; bằng khi hình vuông.

  2. $(10-2x)(6-2x)=30$ cho $2x^2-16x+15=0$. Nghiệm $4\pm\sqrt{34}/2$; miền $0<x<3$ chỉ nhận $4-\sqrt{34}/2\approx1{,}08$ m. Phần giữa 30, viền cũng 30 theo mô hình.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án