Giải phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất lớp 9

Phương trình bậc hai và các dạng đặc biệt · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-16-B3

Dạng khuyết hạng bậc nhất quy về một phương trình bình phương. Dấu của vế phải quyết định số nghiệm thực; căn chính không âm khác với hai nghiệm của phương trình.

Sau bài này, em có thể:

• Giải dạng khuyết bậc nhất.
• Phân loại số nghiệm theo dấu.

Cần biết trước: Mô-đun 06,12,15; căn thức và phân tích nhân tử.

1. Kiến thức và phương pháp

$ax^2+c=0$ với $a\ne0$ tương đương $x^2=-c/a$. Đặt $q=-c/a$: nếu $q>0$ có hai nghiệm $\pm\sqrt q$; nếu $q=0$ có nghiệm kép $0$; nếu $q<0$ không có nghiệm thực. Kí hiệu $\sqrt q$ chỉ căn chính không âm khi $q\ge0$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai nghiệm nguyên

Cơ bản

Đề bài

Giải $x^2-16=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=16$ nên $x=\pm4$.

Cách tự kiểm

Không chỉ ghi $\sqrt{16}=4$ rồi bỏ $-4$.

Ví dụ 2. Hệ số khác một

Cơ bản

Đề bài

Giải $3x^2-12=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=4$, nghiệm $\pm2$.

Cách tự kiểm

Thế hai dấu đều đúng.

Ví dụ 3. Nghiệm căn

Cơ bản

Đề bài

Giải $2x^2-3=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=3/2$, nên $x=\pm\sqrt{3/2}=\pm\sqrt6/2$.

Cách tự kiểm

Giữ giá trị chính xác.

Ví dụ 4. Vô nghiệm thực

Cơ bản

Đề bài

Giải $5x^2+2=0$ trong $\mathbb R$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=-2/5<0$, không thể vì bình phương thực không âm.

Cách tự kiểm

Không dùng căn âm trong miền thực.

Ví dụ 5. Hệ số đầu âm

Nâng cao

Đề bài

Giải $-4x^2+9=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=9/4$, nghiệm $\pm3/2$.

Cách tự kiểm

Dấu của $a$ riêng không quyết định có nghiệm.

Ví dụ 6. Căn chính và nghiệm

Nâng cao

Đề bài

Bạn viết $\sqrt9=\pm3$. Sửa, rồi giải $x^2=9$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\sqrt9=3$ là căn chính. Phương trình có $x=3$ hoặc $x=-3$ vì cả hai bình phương bằng $9$.

Cách tự kiểm

Hai phát biểu dùng kí hiệu khác nhau.

Ví dụ 7. Tham số ở vế bình phương

Nâng cao

Đề bài

Phân loại nghiệm của $x^2=m$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$m>0$: hai nghiệm $\pm\sqrt m$; $m=0$: nghiệm kép $0$; $m<0$: không nghiệm thực.

Cách tự kiểm

Ba miền phải đủ và rời nhau.

Ví dụ 8. Giải điều kiện có nghiệm

Thử thách

Đề bài

Khi nào $2x^2+m-3=0$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=(3-m)/2$. Cần và đủ $(3-m)/2>0$, tức $m<3$. Tại $m=3$ chỉ nghiệm kép, $m>3$ vô nghiệm.

Cách tự kiểm

Dấu nghiêm phù hợp hai nghiệm phân biệt.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ nghiệm âm.
• Viết căn chính có hai dấu.
• Lấy căn số âm trong miền thực.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Giải $4x^2-25=0$ và kiểm đủ hai dấu.

   Gợi ý bài 1

   Đưa về $x^2=q$, xét dấu $q$.

2. Giải $2x^2+18=0$ trên $\mathbb R$.

   Gợi ý bài 2

   Đưa về $x^2=-9$ rồi xét tính không âm của bình phương số thực.

3. Giải $7x^2=0$. Hai kí hiệu $+0$ và $-0$ có tạo hai nghiệm phân biệt không?

   Gợi ý bài 3

   $+0$ và $-0$ có là cùng một số không?

4. Giải $(x-1)^2=5$ và thử bằng cách tính $x-1$.

   Gợi ý bài 4

   Đặt $x-1=\sqrt5$ hoặc $x-1=-\sqrt5$, rồi cộng $1$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $x^2=25/4$ nên $x=5/2$ hoặc $x=-5/2$. Mỗi nghiệm bình phương cho $25/4$.

2. $x^2=-9$, điều không thể xảy ra với $x$ thực, nên phương trình vô nghiệm thực.

3. $x^2=0$ nên $x=0$. $+0=-0$, vì vậy chỉ có một nghiệm thực phân biệt (nghiệm kép $0$).

4. $x-1=\sqrt5$ hoặc $x-1=-\sqrt5$ nên $x=1+\sqrt5$ hoặc $x=1-\sqrt5$. Khi thế, $(x-1)^2=(\pm\sqrt5)^2=5$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Giải $x^2-25=0$.

   Gợi ý bài 5

   $x^2=25$.

6. Giải $4x^2-1=0$.

   Gợi ý bài 6

   Chia $4$.

7. Giải $-2x^2+18=0$.

   Gợi ý bài 7

   $x^2=9$.

8. Giải $3x^2+6=0$ trong $\mathbb R$.

   Gợi ý bài 8

   $x^2=-2$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $x=\pm5$.

6. $x=\pm1/2$.

7. $x=\pm3$.

8. Vô nghiệm thực.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Giải $5x^2-7=0$ chính xác.

   Gợi ý bài 9

   $x^2=7/5$.

10. Giải $-x^2=0$ và nêu số nghiệm phân biệt.

    Gợi ý bài 10

    Bình phương bằng không.

11. Chứng minh nếu $q>0$ thì $x^2=q$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

    Gợi ý bài 11

    Phân tích $(x-\sqrt q)(x+\sqrt q)$.

12. Giải $x^2+1=m$ theo $m$.

    Gợi ý bài 12

    Quy về $x^2=m-1$.

13. Điều kiện để $ax^2+c=0$ với $a\ne0$ có hai nghiệm phân biệt là gì theo tích $ac$?

    Gợi ý bài 13

    Cần $-c/a>0$.

14. Bạn nói hệ số đầu âm thì vô nghiệm. Bác bằng một phương trình khuyết bậc nhất.

    Gợi ý bài 14

    Chọn vế bình phương dương sau chia.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $x=\pm\sqrt{7/5}=\pm\sqrt{35}/5$.

10. Chỉ $x=0$, nghiệm kép.

11. Tích bằng $0$ cho đúng hai khả năng $\pm\sqrt q$. Chúng khác nhau vì $\sqrt q>0$.

12. $m>1$: $x=\pm\sqrt{m-1}$; $m=1$: $x=0$; $m<1$: vô nghiệm thực.

13. Cần và đủ $ac<0$, vì $-c/a=(-ac)/a^2$ và $a^2>0$.

14. $-x^2+4=0$ có hai nghiệm $\pm2$, dù hệ số đầu âm.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tìm $m$ để $3x^2+m=0$ có nghiệm $2$, rồi nêu mọi nghiệm.

    Gợi ý bài 15

    Thay $2$ trước.

16. Giải đầy đủ theo $m$ phương trình $mx^2=1$.

    Gợi ý bài 16

    Xét dấu $m$ và $m=0$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $12+m=0$ nên $m=-12$; phương trình có $x=\pm2$.

16. Nếu $m>0$, $x=\pm1/\sqrt m$. Nếu $m=0$, $0=1$ sai; nếu $m<0$, $x^2=1/m<0$. Vì vậy hai miền sau đều không có nghiệm thực.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.