Đến nội dung chính

Tam giác vuông lớp 9: tìm cạnh kề từ huyền và côsin

THCSLớp 9Hình học phẳngMở mô-đun

Hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-24-B2

Côsin nối cạnh huyền với cạnh góc vuông kề góc đang xét. Công thức còn mô tả độ dài hình chiếu trong một mô hình tam giác vuông đã xác định rõ.

Sau bài này, em có thể:

  • Giải thích hệ thức cạnh kề bằng huyền nhân côsin.
  • Dùng hệ thức theo hai chiều và kết hợp điều kiện hình học.

Cần biết trước: Mô-đun 21–23; hệ thức được suy ra trực tiếp từ định nghĩa tỉ số.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Với góc nhọn $\alpha$, kề $b$ và huyền $c>0$, từ $\cos\alpha=b/c$ suy ra

$$b=c\cos\alpha,\qquad c=\frac b{\cos\alpha}.$$

Côsin dương nhỏ hơn 1 nên cạnh kề dương nhỏ hơn huyền. Trong $ABC$ vuông tại $A$, $AB=BC\cos B$, còn $AC=BC\cos C$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cạnh kề được xác định

Cơ bản

Đề bài

$ABC$ vuông tại $A$, $BC=26$ cm, $B=60^\circ$. Tìm $AB$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$AB$ kề góc $B$, nên $AB=26\cos60^\circ=13$ cm.

Cách tự kiểm

Không chọn $AC$, vì cạnh ấy đối $B$.

Ví dụ 2. Huyền có căn

Cơ bản

Đề bài

Tam giác vuông có huyền $6\sqrt2$ cm và góc $45^\circ$. Tính cạnh kề.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh kề bằng $6\sqrt2\cdot\sqrt2/2=6$ cm; cạnh đối cũng 6 cm.

Cách tự kiểm

Pythagore cho huyền bình phương 72, đúng dữ kiện.

Ví dụ 3. Suy ngược huyền

Vận dụng

Đề bài

Cạnh kề góc $60^\circ$ dài 11 cm. Tính huyền và cạnh đối.

Lời giải và cách suy nghĩ

Huyền $c=11/(1/2)=22$ cm. Đối $\sqrt{22^2-11^2}=11\sqrt3$ cm.

Cách tự kiểm

Cạnh huyền phải gấp đôi cạnh kề $60^\circ$.

Ví dụ 4. Chọn đúng góc phụ

Vận dụng

Đề bài

$ABC$ vuông tại $A$, $B=40^\circ$. Có thể dùng côsin của góc nào để tìm $AC$ từ huyền?

Lời giải và cách suy nghĩ

Vì $C=50^\circ$ và $AC$ kề $C$, có $AC=BC\cos50^\circ$. Đây cũng là $BC\sin40^\circ$.

Cách tự kiểm

Không viết $AC=BC\cos40^\circ$; góc đó có cạnh kề khác.

Ví dụ 5. Hình chiếu của đoạn nghiêng

Nâng cao

Đề bài

Một đoạn nghiêng dài 20 m tạo góc $60^\circ$ với phương ngang, hình chiếu xuống ngang và chênh cao tạo tam giác vuông. Tính độ dài ngang.

Lời giải và cách suy nghĩ

Độ dài ngang là cạnh kề $60^\circ$, bằng $20\cos60^\circ=10$ m. Chênh cao nếu cần là $10\sqrt3$ m.

Cách tự kiểm

Độ dài ngang nhỏ hơn đoạn nghiêng 20 m.

Ví dụ 6. Từ tổng hai đoạn

Nâng cao

Đề bài

Tam giác vuông có góc $60^\circ$. Tổng cạnh kề góc đó và cạnh huyền bằng $45$ cm. Tìm mỗi cạnh.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt huyền $c>0$; cạnh kề $c/2$. Có $3c/2=45$, nên $c=30$ cm và kề 15 cm. Đối $15\sqrt3$ cm.

Cách tự kiểm

Thay lại tổng 45 và tỉ số $\frac{15}{30}=\frac12$.

Ví dụ 7. Đại lượng được giữ khi phóng đều

Nâng cao

Đề bài

Một tam giác vuông có huyền $c$ và cạnh kề $b=c\cos\alpha$. Phóng đều hệ số $k>0$ có giữ công thức không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Huyền mới $kc$, kề mới $kb$. Vì góc không đổi, $kc\cos\alpha=k(c\cos\alpha)=kb$. Công thức phù hợp với phép phóng; côsin không bị nhân thêm $k$.

Cách tự kiểm

Phân biệt độ dài mới với giá trị tỉ số.

Ví dụ 8. Giới hạn của dữ kiện về hình chiếu

Thử thách

Đề bài

Đoạn dài 10 cm có hình chiếu ngang 8 cm. Tìm góc nhọn với ngang; giải thích vì sao không thể có hình chiếu 12 cm.

Lời giải và cách suy nghĩ

Có $\cos\alpha=8/10=4/5$, nên $\alpha=\arccos(4/5)\approx36{,}9^\circ$. Hình chiếu 12 cmđòi côsin 1,2, trái miền góc nhọn.

Cách tự kiểm

Tìm góc từ đúng tỉ số kề/huyền, không dùng sin với $\frac{8}{10}$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Dùng côsin của góc đối với cạnh cần tìm.
  • Nhầm hình chiếu ngang với đoạn nghiêng.
  • Nhận cạnh kề lớn hơn hoặc bằng huyền.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. $ABC$ vuông tại $A$, $BC=18$ cm, $B=60^\circ$. Tính $AB$.

    Gợi ý bài 1

    $AB$ là cạnh kề $B$.

  2. Tam giác vuông có huyền 10 cm, góc nhọn $45^\circ$. Tính cạnh kề góc đó.

    Gợi ý bài 2

    Thay $\cos45^\circ$ chính xác.

  3. Từ $\cos\alpha=b/c$, $c>0$, suy ra $b=c\cos\alpha$. Nêu đúng vai trò $b,c$.

    Gợi ý bài 3

    Nhân hai vế với $c$.

  4. Cạnh kề góc $60^\circ$ dài 8 cm. Tính huyền.

    Gợi ý bài 4

    Giải ngược $b=c\cos60^\circ$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $AB=18\cos60^\circ=9$ cm.

  2. Cạnh kề $10\sqrt2/2=5\sqrt2$ cm.

  3. $b$ là cạnh góc vuông kề góc nhọn $\alpha$, $c$ là cạnh huyền. Nhân đẳng thức cho $c$ thu hệ thức, không hoán vai hai cạnh.

  4. Huyền $c=8/(1/2)=16$ cm.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Tam giác vuông có huyền 24 cm, góc nhọn $30^\circ$. Tính cạnh kề chính xác.

    Gợi ý bài 5

    $\cos30^\circ$ bằng $\sqrt3/2$.

  2. Cạnh kề $45^\circ$ dài 7 cm. Tìm huyền.

    Gợi ý bài 6

    Chia cho $\cos45^\circ$.

  3. $ABC$ vuông tại $A$, $BC=13$ cm và $\cos B=5/13$. Tìm $AB,AC$.

    Gợi ý bài 7

    Tìm kề bằng phép nhân rồi dùng Pythagore.

  4. Một bạn lấy $b=c/\cos\alpha$ khi cần tìm cạnh kề. Dùng bất đẳng thức để kiểm.

    Gợi ý bài 8

    Côsin góc nhọn nhỏ hơn 1.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Cạnh kề $12\sqrt3$ cm. Cạnh đối 12 cmđể kiểm Pythagore.

  2. Huyền $7/(\sqrt2/2)=7\sqrt2$ cm.

  3. $AB=5$ cm; $AC=\sqrt{169-25}=12$ cm.

  4. Công thức ấy làm $b>c$, trái cạnh kề nhỏ hơn huyền. Đúng là $b=c\cos\alpha$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Một tam giác vuông có góc $60^\circ$, hiệu huyền và cạnh kề góc $60^\circ$ là 9 cm. Tìm huyền.

    Gợi ý bài 9

    Cạnh kề bằng nửa huyền.

  2. Một tam giác vuông có cạnh kề góc $30^\circ$ dài $3\sqrt3$ cm. Tìm diện tích và chứng minh dữ kiện đủ xác định ba cạnh.

    Gợi ý bài 10

    Tìm huyền theo $\cos30^\circ$, rồi đối.

  3. Cho $b=(x+1)$ cm và $c=(3x-1)$ cm là cạnh kề và huyền của góc $60^\circ$. Tìm $x$ và kiểm.

    Gợi ý bài 11

    Dùng $b=c/2$ kèm các cạnh dương.

  4. Hai đoạn nghiêng cùng dài $c$ tạo góc nhọn với phương ngang. Hình chiếu ngang bằng nhau. Chứng minh hai góc bằng nhau bằng tam giác vuông.

    Gợi ý bài 12

    Huyền và kề bằng nhau, dùng Pythagore cho đối.

  5. Giữ góc nhọn $\alpha$ và tăng huyền thêm $t>0$. Cạnh kề tăng bao nhiêu?

    Gợi ý bài 13

    Viết công thức cho hai huyền $c$ và $c+t$.

  6. Bạn cho cạnh huyền $c$ và kề $b$, nhưng $b=c$. Công thức có thể biểu diễn một góc nhọn không?

    Gợi ý bài 14

    Xét cạnh còn lại hoặc côsin.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Đặt huyền $c>0$ thì $c-c/2=9$ nên $c=18$ cm, cạnh kề 9 cm; đối $9\sqrt3$ cm.

  2. Huyền $(3\sqrt3)/(\sqrt3/2)=6$ cm; đối 3 cm. Diện tích $9\sqrt3/2$ $\mathrm{cm}^{2}$. Các công thức lần lượt xác định duy nhất các độ dài dương, nên dữ kiện đủ.

  3. $x+1=(3x-1)/2$ cho $x=3$. Kề 4, huyền 8 cmđều dương và kề nhỏ hơn huyền; đối $4\sqrt3$ cm.

  4. Hai cạnh đối có cùng bình phương $c^2-b^2$ và dương nên bằng nhau. Ba cặp cạnh bằng nhau, hai tam giác bằng nhau; hai góc tương ứng bằng nhau. Đây là chứng minh tính duy nhất của góc, không chỉ so số hiển thị.

  5. Hiệu kề $(c+t)\cos\alpha-c\cos\alpha=t\cos\alpha$. Nó dương và nhỏ hơn $t$, do côsin thuộc $(0,1)$.

  6. Không. Pythagore cho đối bằng 0; côsin bằng 1 là biên suy biến. Trong tam giác vuông không suy biến phải có $0<b<c$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=10$ cm và hai cạnh góc vuông nguyên dương. Giá trị $\sin B$ viết được thành phân số có mẫu $5$. Tìm các khả năng của cạnh kề $AB$.

    Gợi ý bài 15

    Xét các số nguyên $1\le b\le9$ sao cho $100-b^2$ là bình phương.

  2. Góc nhọn $\alpha$ cố định, một đề ghi kề $b$, huyền $c$ và $b=2c\cos\alpha$. Chứng minh công thức ấy không thể đồng thời đúng với định nghĩa khi $c>0$.

    Gợi ý bài 16

    So với $b=c\cos\alpha$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Đặt $b=AB$, $a=AC$ là các số nguyên dương. Ta có $a^2+b^2=100$. Các bình phương nguyên dương nhỏ hơn $100$ là $1;4;9;16;25;36;49;64;81$; chỉ có cặp $36+64=100$. Do đó $AB=6$ hoặc $8$ cm, cạnh đối tương ứng là $8$ hoặc $6$ cm. Hai giá trị sin là $4/5$ và $3/5$, đều đúng điều kiện mẫu $5$.

  2. Hai đẳng thức trừ nhau cho $c\cos\alpha=0$. Nhưng $c>0$ và côsin góc nhọn dương, mâu thuẫn. Lỗi hệ số 2 không thể được chữa bằng chọn một kích thước khác.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án