Giải thích góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng cung

Tia $CO$ trùng tia $CB$ nên $\angle ACO=\alpha$. Vì $OA=OC$ nên $\angle OAC=\alpha$; góc ngoài $\angle AOB$ của tam giác $AOC$ bằng $2\alpha$. Góc này chắn cung $AB$ không chứa $C$.

$\angle ACB=25^\circ+40^\circ=65^\circ$. Hai cung $AD,DB$ không chứa $C$ có số đo $50^\circ,80^\circ$; tổng cung $AB$ không chứa $C$ bằng $130^\circ=2\cdot65^\circ$.

$\angle ACB=70^\circ-20^\circ=50^\circ$. Cung $AD$ không chứa $C$ bằng $140^\circ$, cung $BD$ tương ứng bằng $40^\circ$; cung $AB$ không chứa $C$ bằng $140^\circ-40^\circ=100^\circ$.

Cung $AB$ không chứa $C$ có số đo $220^\circ$, nên góc ở tâm phản xạ tương ứng bằng $220^\circ$. Góc nhỏ $AOB=360^\circ-220^\circ=140^\circ$, không bằng $2\cdot110^\circ$.

$OA=OC$ nên $\angle ACO=41^\circ$. Vì $OC$ cùng tia $CB$, $\angle ACB=41^\circ$; cung bị chắn bằng $82^\circ$.

$\angle ACB=72^\circ$ nên mỗi nửa bằng $36^\circ$. Hai cung $AD,DB$ tương ứng đều bằng $72^\circ$.

Góc $ACB=85^\circ$ nên $\angle DCB=85^\circ-29^\circ=56^\circ$.

Cung $AB$ không chứa $C$ bằng $156^\circ-62^\circ=94^\circ$. Do đó góc $ACB=47^\circ$.

Tam giác $AOC$ cân và không suy biến, nên hai góc đáy bằng nhau và có tổng nhỏ hơn $180^\circ$. Vì vậy mỗi góc đáy, cũng là $\angle ACB$, nhỏ hơn $90^\circ$.

Nếu $0<s\le180^\circ$, góc ở tâm nhỏ bằng $s$. Nếu $180^\circ<s<360^\circ$, nó bằng $360^\circ-s$. Luôn có $\angle ACB=s/2$.

Đỉnh ở cung lớn thì góc bằng $48^\circ$; đỉnh ở cung nhỏ thì góc bằng $(360^\circ-96^\circ)/2=132^\circ$.

Cung bị chắn bằng $216^\circ$, nên cung chứa đỉnh có số đo $360^\circ-216^\circ=144^\circ$.

Không. Góc nội tiếp có một cạnh là đường kính phải nhỏ hơn $90^\circ$ như suy ra từ tam giác $AOC$ cân; $97^\circ$ mâu thuẫn điều đó.

$OB$ là tia đối của $OC$, nên $\angle AOB$ là góc ngoài tại $O$ của tam giác $AOC$. Định lí góc ngoài cho $\angle AOB=\angle OAC+\angle ACO$.

$\angle ACB=115^\circ$ và cung bị chắn bằng $230^\circ$. Do đó góc nhỏ $AOB=130^\circ$. Hai góc nền đều dưới $90^\circ$, nên cấu hình không mâu thuẫn.

Tia từ đỉnh qua tâm hoặc trùng một cạnh, hoặc nằm trong góc, hoặc nằm ngoài góc. Trường hợp trùng dùng tam giác cân; trường hợp trong cộng hai quan hệ nền; trường hợp ngoài lấy hiệu hai quan hệ nền với cung lồng nhau. Ba khả năng phủ mọi vị trí.