Giải thích tỉ số lượng giác của góc 45 độ
Góc đặc biệt và hai góc phụ nhau · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-22-B1
Giá trị lượng giác của góc $45^\circ$ được suy ra từ tam giác vuông cân, không phải từ việc lấy một nửa giá trị ở $90^\circ$. Chứng minh bằng cạnh giúp em giữ kết quả căn thức chính xác.
Sau bài này, em có thể:
- Giải thích bốn tỉ số của góc $45^\circ$ bằng tam giác vuông cân.
- Vận dụng giá trị chính xác trong suy luận và bài toán hình học.
Cần biết trước: Mô-đun 21; tam giác vuông cân, tam giác đều và Pythagore lớp 8.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông $a>0$ thì huyền $a\sqrt2$ theo Pythagore. Hai góc nhọn bằng nhau, tổng $90^\circ$ nên đều bằng $45^\circ$. Vì vậy
Các tỉ số không phụ thuộc $a$; không suy chúng bằng cách chia đôi số đo góc trong một tỉ lệ tuyến tính.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Từ cạnh đến góc
Cơ bản
Đề bài
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=AC=5$ cm. Tính huyền và $\sin B$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$BC=\sqrt{25+25}=5\sqrt2$ cm. Hai góc nhọn bằng $45^\circ$, nên $\sin B=5/(5\sqrt2)=\sqrt2/2$.
Cách tự kiểm
Huyền $5\sqrt2$ lớn hơn $5$; không làm tròn $\sqrt2$ khi chưa cần.
Ví dụ 2. Không phụ thuộc độ dài
Cơ bản
Đề bài
Giải thích $\tan45^\circ=1$ bằng hai cạnh góc vuông bất kì của tam giác vuông cân.
Lời giải và cách suy nghĩ
Gọi mỗi cạnh bằng $a>0$. Tang của góc nhọn là $a/a=1$; côtang cũng bằng $1$. Hệ số độ dài triệt tiêu.
Cách tự kiểm
Không cần chọn $a=1$; việc chọn ấy chỉ là một mô hình cụ thể.
Ví dụ 3. Huyền cho trước
Vận dụng
Đề bài
Tam giác vuông cân có huyền $14$ cm. Tìm cạnh góc vuông.
Lời giải và cách suy nghĩ
Nếu cạnh là $a>0$, $2a^2=196$ nên $a=7\sqrt2$ cm. Cũng có $a=14\sin45^\circ$.
Cách tự kiểm
Hai cách đều cho $a^2=98$; nghiệm âm không là độ dài.
Ví dụ 4. Cộng các giá trị chính xác
Vận dụng
Đề bài
Tính $\sin45^\circ+\cos45^\circ$ và tích của chúng.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tổng là $\sqrt2$, tích là $(\sqrt2/2)^2=1/2$. Không làm tròn từng giá trị thành $0{,}7$ rồi nhận tổng $1{,}4$ là chính xác.
Cách tự kiểm
Tổng bình phương bằng $1$, khác bình phương của tổng là $2$.
Ví dụ 5. Từ tỉ số nhận vuông cân
Nâng cao
Đề bài
Tam giác vuông tại $A$ có $\sin B=\cos B$. Giải thích vì sao dùng được hàng góc $45^\circ$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai tỉ số cho $AC/BC=AB/BC$, nên $AC=AB$. Do đó $B=C=45^\circ$ và cả hai sin, côsin bằng $\sqrt2/2$.
Cách tự kiểm
Bằng nhau của hai tỉ số trong cùng tam giác là dữ kiện đủ; không dựa hình trông cân.
Ví dụ 6. Diện tích từ cạnh huyền
Nâng cao
Đề bài
Tam giác vuông cân có huyền $10\sqrt2$ cm. Tính diện tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
Cạnh góc vuông bằng $(10\sqrt2)(\sqrt2/2)=10$ cm. Diện tích $10^2/2=50$ $\mathrm{cm}^{2}$.
Cách tự kiểm
Cạnh huyền không vuông góc với một cạnh góc vuông nên không dùng chúng làm đáy và chiều cao.
Ví dụ 7. Bác bỏ quy tắc chia đôi góc
Nâng cao
Đề bài
Bạn lập luận $\sin45^\circ=\frac12$ vì $45^\circ$ bằng nửa $90^\circ$. Dùng tam giác vuông cân cạnh 1 để bác bỏ.
Lời giải và cách suy nghĩ
Huyền bằng $\sqrt2$ nên sin bằng $1/\sqrt2$. Nếu số ấy bằng $1/2$ thì $\sqrt2=2$, bình phương cho $2=4$, mâu thuẫn. Tỉ số độ dài không tuyến tính theo số đo góc.
Cách tự kiểm
Đây là phản chứng bằng giá trị chính xác, không phụ thuộc máy tính.
Ví dụ 8. Dấu bằng trong bài toán cạnh
Thử thách
Đề bài
Tam giác vuông có huyền $c$ và chu vi $P$. Chứng minh $P\le c(1+\sqrt2)$; nhận dạng trường hợp bằng.
Lời giải và cách suy nghĩ
Gọi hai cạnh góc vuông $a,b>0$. Từ $(a-b)^2\ge0$, có $(a+b)^2\le2(a^2+b^2)=2c^2$. Suy ra $P=a+b+c\le c\sqrt2+c$. Dấu bằng khi $a=b$, tức hai góc nhọn bằng $45^\circ$.
Cách tự kiểm
Cả $a+b$ và $c\sqrt2$ dương nên lấy căn không đổi chiều bất đẳng thức.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chia giá trị sin theo cách chia đôi số đo góc.
- Làm tròn căn thức trong một phép tính cần kết quả chính xác.
- Nhầm tổng bình phương với bình phương của tổng.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Tam giác vuông cân có mỗi cạnh góc vuông $6$ cm. Tính huyền và sin của mỗi góc nhọn.
Gợi ý bài 1
Dùng Pythagore rồi chia cạnh đối cho huyền.
-
Dùng tam giác vuông cân cạnh góc vuông $a>0$ để giải thích $\cos45^\circ=\sqrt2/2$.
Gợi ý bài 2
Tìm huyền theo $a$.
-
Tính $\sin45^\circ/\cos45^\circ$ và đối chiếu với $\tan45^\circ$.
Gợi ý bài 3
Hai số ở tử và mẫu bằng nhau, khác $0$.
-
Bạn viết $\sin45^\circ=1/2$ vì $45^\circ$ bằng nửa $90^\circ$. Bác bỏ bằng tam giác vuông cân.
Gợi ý bài 4
Chọn hai cạnh góc vuông bằng $1$.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Huyền $6\sqrt2$ cm; mỗi góc nhọn $45^\circ$, sin bằng $6/(6\sqrt2)=\sqrt2/2$.
-
Huyền $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2$. Côsin bằng $a/(a\sqrt2)=\sqrt2/2$.
-
Thương bằng $1$, đúng bằng $\tan45^\circ$.
-
Huyền bằng $\sqrt2$ nên sin bằng $1/\sqrt2=\sqrt2/2\ne1/2$. Không có quy tắc chia đôi giá trị sin theo cách chia đôi góc.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Tính $2\sin^245^\circ+3\tan45^\circ$.
Gợi ý bài 5
Giữ căn thức đến khi bình phương.
-
Tam giác vuông cân có huyền $8\sqrt2$ cm. Tìm cạnh và diện tích.
Gợi ý bài 6
Nhân huyền với $\sqrt2/2$.
-
Hình vuông cạnh $7$ cm có đường chéo dài bao nhiêu và sin góc giữa đường chéo với cạnh bằng bao nhiêu?
Gợi ý bài 7
Đường chéo chia hình thành hai tam giác vuông cân.
-
Tìm $x>0$ nếu $x\cos45^\circ=9$.
Gợi ý bài 8
Chia cho số $\sqrt2/2$ khác $0$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$2\cdot(1/2)+3\cdot1=4$.
-
Mỗi cạnh góc vuông $8$ cm; diện tích $32$ $\mathrm{cm}^{2}$.
-
Đường chéo $7\sqrt2$ cm; góc với cạnh $45^\circ$, sin bằng $\sqrt2/2$.
-
$x=9/(\sqrt2/2)=9\sqrt2$. Thay lại tích bằng $9$.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Tam giác vuông có một góc $45^\circ$ và chu vi $12+6\sqrt2$ cm. Tìm các cạnh.
Gợi ý bài 9
Đặt mỗi cạnh góc vuông bằng $a$.
-
Một bạn ghi hai cạnh góc vuông $5,7$ và một góc nhọn $45^\circ$. Chỉ ra dữ kiện mâu thuẫn.
Gợi ý bài 10
Góc còn lại bằng bao nhiêu?
-
Chứng minh $\sin45^\circ+\cos45^\circ>1$ mà không dùng số gần đúng.
Gợi ý bài 11
Tổng bằng căn dương nào?
-
Tìm mọi $t\ge0$ thỏa $t\sin45^\circ=\cos45^\circ$.
Gợi ý bài 12
Côsin và $\sin45^\circ$ bằng nhau, khác $0$.
-
Hình chữ nhật có hai cạnh $x,2x$ với $x>0$. Đường chéo có tạo góc $45^\circ$ với cạnh dài không?
Gợi ý bài 13
Tang góc bằng ngắn chia dài.
-
Tam giác vuông cân có diện tích $18$ $\mathrm{cm}^{2}$. Tìm huyền, giải thích vì sao chỉ có một giá trị dương.
Gợi ý bài 14
Đặt cạnh $a>0$, diện tích $a^2/2$.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Chu vi $a(2+\sqrt2)=6(2+\sqrt2)$ nên $a=6$. Các cạnh là $6,6,6\sqrt2$ cm.
-
Góc kia cũng $45^\circ$, nên hai cạnh đối chúng phải bằng nhau. $5\ne7$ nên không có tam giác đáp ứng cả ba dữ kiện.
-
Tổng $\sqrt2>1$ vì bình phương hai số dương cho $2>1$.
-
Chia hai vế cho $\sqrt2/2$ thu $t=1$. Giá trị này đáp ứng điều kiện và là duy nhất.
-
Tang góc đó $x/(2x)=1/2$, khác $\tan45^\circ$ là $1$. Vì thế góc không bằng $45^\circ$; hai tam giác tạo bởi đường chéo không vuông cân.
-
$a^2=36$ nên $a=6$; huyền $6\sqrt2$ cm. Nghiệm $a=-6$ không hợp lệ, nên chỉ có một độ dài huyền.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Tam giác vuông có huyền $6$ cm. Tìm diện tích lớn nhất và góc nhọn khi đạt được; chứng minh không chỉ thử hình $45^\circ$.
Gợi ý bài 15
Dùng $(a-b)^2\ge0$.
-
Tìm tất cả $a,b>0$ nếu $a^2+b^2=50$ và $a+b=10$. Diễn giải bằng góc $45^\circ$.
Gợi ý bài 16
Bình phương tổng rồi tìm tích.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$2ab\le a^2+b^2=36$, nên $S=ab/2\le9$ $\mathrm{cm}^{2}$. Dấu bằng khi $a=b=3\sqrt2$, hai góc nhọn đều $45^\circ$. Đây là giới hạn đúng cho mọi tam giác vuông có huyền 6.
-
$100=50+2ab$ cho $ab=25$. Khi ấy $(a-b)^2=50-50=0$, nên $a=b=5$. Tam giác có hai cạnh góc vuông ấy là vuông cân, góc nhọn $45^\circ$; không có cặp khác.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.