Lập hệ từ năng suất hoặc hỗn hợp đơn giản
Mô hình thực tiễn bằng hệ phương trình · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-10-B3
Năng suất là lượng làm được trong một đơn vị thời gian. Bài hỗn hợp lập phương trình bảo toàn thành phần, với giả định nồng độ cùng cách đo và các thể tích cộng được.
Sau bài này, em có thể:
- Lập hệ sản lượng hoặc bảo toàn thành phần.
- Giữ đơn vị và điều kiện mô hình.
- Xét giới hạn hỗn hợp, dữ kiện thiếu và bài toán ngược.
Cần biết trước: Mô-đun 09; đổi đơn vị, phần trăm, chuyển động đều.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với năng suất không đổi $x$, trong $t$ giờ tạo được $tx$ sản phẩm; tổng sản lượng cộng các phần đã làm. Trong mô hình hỗn hợp, nếu thể tích $x,y$ có tỉ phần cùng loại $p,q$, thì lượng thành phần là $px+qy$ và tổng thể tích $x+y$ khi được phép cộng thể tích. Bài pha dưới đây chỉ là mô hình toán giả định. Điều kiện không âm và đơn vị phải được kiểm, không biến nghiệm âm thành một hướng dẫn thao tác.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hai máy cùng thời gian
Cơ bản
Đề bài
Hai máy cùng chạy $3$ giờ làm $180$ sản phẩm; máy A hơn B $8$ sản phẩm/giờ. Tìm năng suất.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt $x>y>0$ theo sản phẩm/giờ. $3(x+y)=180,\ x-y=8$ nên $x+y=60$, $x=34,y=26$. Kiểm $3(34+26)=180$.
Cách tự kiểm
Năng suất không phải tổng sản phẩm.
Ví dụ 2. Hai thời gian khác nhau
Cơ bản
Đề bài
A chạy $2$ giờ, B chạy $4$ giờ, được $140$ sản phẩm; năng suất A hơn B $10$. Tìm năng suất.
Lời giải và cách suy nghĩ
$2x+4y=140,\ x-y=10$. Thế $x=y+10$ cho $6y+20=140$, $y=20,x=30$ sản phẩm/giờ.
Cách tự kiểm
$2\cdot30+4\cdot20=140$.
Ví dụ 3. Hỗn hợp tỉ phần
Cơ bản
Đề bài
Mô hình giả định: tổng $10$ lít từ hai loại $10\%$ và $30\%$, thu tỉ phần $22\%$; cùng cách đo và thể tích cộng được. Tìm từng thể tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
$x+y=10,\ 0{,}1x+0{,}3y=2{,}2$. Trừ $0{,}1$ lần tổng cho $0{,}2y=1{,}2$, nên $y=6,x=4$ lít. Kiểm thành phần $0{,}4+1{,}8=2{,}2$.
Cách tự kiểm
Phương trình thứ hai bảo toàn lượng thành phần đang xét.
Ví dụ 4. Nồng độ ngoài khoảng
Cơ bản
Đề bài
Theo cùng mô hình, muốn $6$ lít loại $40\%$ từ loại $10\%$ và $30\%$. Có thể không?
Lời giải và cách suy nghĩ
$x+y=6,\ 0{,}1x+0{,}3y=2{,}4$ cho $y=9,x=-3$ lít. Vi phạm không âm, nên không có hỗn hợp phù hợp.
Cách tự kiểm
Không đổi nghiệm âm thành dương để nhận kết quả.
Ví dụ 5. Tìm thời gian từ năng suất đã khôi phục
Nâng cao
Đề bài
Hai máy có tổng năng suất $50$ sản phẩm/giờ và A gấp $3/2$ B. Tìm năng suất và thời gian cùng làm $200$ sản phẩm.
Lời giải và cách suy nghĩ
$x+y=50,\ 2x=3y$ cho $y=20,x=30$. Tổng năng suất $50$ nên thời gian $200/50=4$ giờ nếu chạy liên tục, không đổi năng suất.
Cách tự kiểm
Quan hệ tỉ lệ phải đặt đúng thứ tự.
Ví dụ 6. Điều kiện của tỉ phần đích
Nâng cao
Đề bài
Chứng minh hỗn hợp hai loại tỉ phần $p<q$ với thể tích không âm chỉ có tỉ phần $c$ trong $[p;q]$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Với tổng $V>0$, $c=(px+qy)/V=p+(q-p)y/V$. Vì $0\le y/V\le1$, suy ra $p\le c\le q$. Ngược lại, mọi $c$ trong khoảng cho $y=V(c-p)/(q-p)$, $x=V-y$ không âm.
Cách tự kiểm
Nếu cả hai thể tích dương thì $p<c<q$.
Ví dụ 7. Không đủ để tách năng suất
Nâng cao
Đề bài
Hai máy cùng làm $5$ giờ được $200$ sản phẩm. Có biết mỗi năng suất không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Chỉ có $x+y=40$. Các cặp $(15;25)$ và $(10;30)$ đều dương và phù hợp; thiếu quan hệ độc lập.
Cách tự kiểm
Một tổng năng suất không xác định từng máy.
Ví dụ 8. Thiết kế ngược một mô hình
Thử thách
Đề bài
Muốn tổng $12$ lít từ loại $5\%$ và $20\%$, trong đó loại $20\%$ đúng $4$ lít. Tỉ phần hỗn hợp phải là bao nhiêu?
Lời giải và cách suy nghĩ
Loại $5\%$ là $8$ lít. Lượng thành phần $0{,}05\cdot8+0{,}20\cdot4=1{,}2$ lít theo quy ước mô hình. Chia tổng $12$ được $c=0{,}1=10\%$.
Cách tự kiểm
Tỉ phần $10\%$ nằm giữa hai tỉ phần nguồn.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Cộng các năng suất nhưng quên nhân thời gian riêng.
- Dùng số phần trăm $10$ thay $0{,}10$ mà không đổi cả hai vế.
- Nhận thể tích âm hoặc bỏ giả định cùng cách đo nồng độ và cộng thể tích.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Hai máy cùng chạy $4$ giờ làm $240$ sản phẩm. Mỗi giờ A hơn B $10$ sản phẩm, năng suất không đổi. Tính năng suất.
Gợi ý bài 1
Lập tổng năng suất và hiệu năng suất.
-
Pha theo mô hình $8$ lít loại $5\%$ và $15\%$ thành loại $10\%$, cùng cách đo và thể tích cộng được. Tìm từng thể tích.
Gợi ý bài 2
Viết tổng thể tích và lượng thành phần.
-
Xưởng làm $90$ chi tiết: A làm $2$ giờ, B làm $3$ giờ; năng suất A hơn B $5$ chi tiết/giờ, mỗi nhóm làm liên tục đúng thời gian ấy. Lập hệ, giải.
Gợi ý bài 3
Sản lượng hai nhóm là $2x$ và $3y$.
-
Muốn $5$ lít loại $25\%$ chỉ từ hai loại $5\%$ và $15\%$, theo mô hình thể tích cộng được. Giải hệ để giải thích không thể.
Gợi ý bài 4
Giải hệ trên số thực rồi kiểm thể tích không âm.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Gọi $x>y>0$ theo sản phẩm/giờ. $4(x+y)=240,\ x-y=10$ cho $x+y=60$, $x=35,y=25$. Kiểm $4\cdot60=240$.
-
$x,y\ge0$: $x+y=8,\ 0{,}05x+0{,}15y=0{,}10\cdot8=0{,}8$. Trừ $0{,}05(x+y)=0{,}4$ cho $0{,}10y=0{,}4$, nên $x=y=4$ lít. Đây là mô hình giả định, không phải chỉ dẫn pha hóa chất thật.
-
Gọi $x>y>0$ theo chi tiết/giờ. $2x+3y=90,\ x-y=5$. Thế $x=y+5$ cho $5y+10=90$, $y=16,x=21$. Kiểm $42+48=90$.
-
$x+y=5,\ 0{,}05x+0{,}15y=1{,}25$ cho $0{,}10y=1$, $y=10,x=-5$. Không âm bị vi phạm. Tỉ phần đích cũng vượt $15\%$, nên không có phương án.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Hai máy cùng làm $2$ giờ được $100$ sản phẩm, A hơn B $6$ sản phẩm/giờ. Tìm năng suất.
Gợi ý bài 5
$x+y=50$ và $x-y=6$.
-
A làm $3$ giờ, B làm $2$ giờ, tổng $110$ sản phẩm; A hơn B $5$ mỗi giờ. Tìm năng suất.
Gợi ý bài 6
$3x+2y=110,\ x=y+5$.
-
Mô hình $6$ lít loại $10\%$ và $20\%$ thành $15\%$, cùng cách đo và thể tích cộng được. Tìm thể tích.
Gợi ý bài 7
Tổng thành phần là $0{,}15\cdot6$.
-
Mô hình $10$ lít loại $5\%$ và $25\%$ thành $17\%$. Tìm thể tích với cùng giả định cộng thể tích.
Gợi ý bài 8
Trừ $0{,}05$ lần tổng.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$x=28,y=22$ sản phẩm/giờ. Kiểm $2(28+22)=100$, $28-22=6$.
-
$5y+15=110$ nên $y=19,x=24$ sản phẩm/giờ. Kiểm $72+38=110$.
-
$x+y=6,\ 0{,}1x+0{,}2y=0{,}9$ cho $0{,}1y=0{,}3$, $x=y=3$ lít.
-
$x+y=10,\ 0{,}05x+0{,}25y=1{,}7$ cho $0{,}2y=1{,}2$, $y=6,x=4$ lít.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Hai máy có tổng năng suất $40$ sản phẩm/giờ, máy A hơn B $50$. Có phù hợp hai năng suất dương không?
Gợi ý bài 9
Giải tổng–hiệu trước.
-
Mô hình $8$ lít từ loại $10\%$ và $30\%$, đích đúng $10\%$. Có thể có thể tích dương của cả hai loại không?
Gợi ý bài 10
Giải phương trình thành phần sau khi trừ $0{,}1$ lần tổng.
-
Trong mô hình hỗn hợp, bạn viết $x+y=10,\ 10x+30y=18$ để tạo loại $18\%$ từ $10\%$ và $30\%$. Sửa hệ và giải.
Gợi ý bài 11
Nếu dùng số phần trăm $10,30$ thì vế phải cũng phải nhân $100$.
-
Hai máy có năng suất $x,y$ sản phẩm/giờ. Lần một mỗi máy chạy $2$ giờ làm $120$ sản phẩm; lần hai A chạy $1$ giờ, B chạy $3$ giờ làm $100$. Tìm năng suất không đổi.
Gợi ý bài 12
Từ lần một có $x+y=60$.
-
Mô hình hai loại có cùng tỉ phần $12\%$, tổng $5$ lít. Có xác định từng thể tích nếu đích là $12\%$ không? Nếu đích $15\%$ thì sao?
Gợi ý bài 13
So phương trình thành phần với $0{,}12$ lần tổng.
-
Hai nhóm cùng chất lượng sản phẩm; năng suất A gấp đôi B. A làm $2$ giờ, B làm $3$ giờ, tổng $140$ sản phẩm. Tìm năng suất và thời gian nếu cùng làm $140$ sản phẩm.
Gợi ý bài 14
$x=2y$, $2x+3y=140$.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
$x=45,y=-5$ sản phẩm/giờ. Trái điều kiện dương, nên không có mô hình như mô tả; không sửa dấu để nhận phương án.
-
$0{,}2y=0$ nên $y=0,x=8$. Nếu yêu cầu cả hai loại dương thì không thể; nếu cho phép một loại vắng mặt, cặp này hợp lệ.
-
Hệ đúng $x+y=10,\ 10x+30y=180$, hoặc dùng các tỉ phần $0{,}10,0{,}30,1{,}8$. Suy ra $20y=80$, $y=4,x=6$ lít.
-
$x+3y=100$ trừ $x+y=60$ cho $2y=40$, nên $y=20,x=40$. Kiểm $2\cdot60=120$ và $40+60=100$.
-
Đích $12\%$ cho hai hàng phụ thuộc, mọi $x,y\ge0$ có tổng $5$ đều được, không duy nhất. Đích $15\%$ đòi thành phần $0{,}75$ nhưng tổng nguồn chỉ $0{,}6$, nên không thể.
-
$7y=140$, $y=20,x=40$ sản phẩm/giờ. Khi cùng làm, tổng năng suất $60$, thời gian $140/60=7/3$ giờ, nếu năng suất không đổi.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Tổng $V>0$ lít từ hai loại tỉ phần $p<q$, thể tích cộng được. Tìm công thức thể tích mỗi loại theo tỉ phần đích $c$ và điều kiện cả hai loại có mặt.
Gợi ý bài 15
Trừ $p(x+y)=pV$ khỏi phương trình thành phần.
-
Hai máy năng suất dương không đổi $x,y$. Chỉ biết A chạy $a>0$ giờ, B chạy $b>0$ giờ làm $N$ sản phẩm và $x-y=d>0$. Tìm điều kiện tồn tại và chứng minh duy nhất.
Gợi ý bài 16
Thế $x=y+d$ vào phương trình sản lượng.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$x+y=V,\ px+qy=cV$ cho $y=V(c-p)/(q-p)$, $x=V(q-c)/(q-p)$. Vì $V>0,q-p>0$, cả hai dương khi và chỉ khi $p<c<q$. Hai biên chỉ dùng một loại.
-
$(a+b)y=N-ad$, nên $y=(N-ad)/(a+b)$, $x=(N+bd)/(a+b)$. Vì $a,b,d>0$, hai năng suất dương khi và chỉ khi $N>ad$. Mẫu $a+b>0$ bảo đảm cặp duy nhất; khi điều kiện thỏa, thay lại đúng sản lượng và hiệu.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.