Mô hình diện tích theo bình phương độ dài – Toán lớp 9

Ứng dụng hàm số y bằng ax bình phương · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-15-B1

Diện tích thường phụ thuộc bình phương của một độ dài. Mô hình đúng phải có biến, miền và đơn vị; thay đổi tỉ lệ chiều dài dẫn đến bình phương tỉ lệ diện tích.

Sau bài này, em có thể:

• Lập mô hình diện tích và miền.
• Suy tỉ lệ và đổi đơn vị chính xác.

Cần biết trước: Mô-đun 14; đọc dữ liệu và phân biệt mô hình với đo đạc thực.

1. Kiến thức và phương pháp

Với hình đồng dạng phóng to theo tỉ lệ $k>0$, mọi độ dài nhân $k$, diện tích nhân $k^2$. Các mô hình $S=ax^2$ cần giải thích $a$ theo hình và đơn vị. Độ dài của hình không suy biến phải dương; không chọn nghiệm âm chỉ vì nó cho cùng bình phương.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình vuông

Cơ bản

Đề bài

Vuông cạnh $x$ cm. Lập diện tích và tính khi $x=2{,}5$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S=x^2$, $x>0$. Khi $x=2{,}5$, $S=6{,}25$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Diện tích dùng đơn vị bình phương.

Ví dụ 2. Hai kích thước cùng tỉ lệ

Cơ bản

Đề bài

Chữ nhật rộng $x$ m, dài $3x$ m. Lập $A$ và tính tại $x=4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$A=x\cdot3x=3x^2$, $x>0$. Tại $4$ m, diện tích $48$ m$^2$.

Cách tự kiểm

Chiều dài cũng thay theo $x$.

Ví dụ 3. Tam giác đồng dạng

Cơ bản

Đề bài

Tam giác có đáy $2x$ cm, chiều cao tương ứng $3x$ cm. Tính diện tích theo $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S=(1/2)(2x)(3x)=3x^2$ cm$^2$, $x>0$.

Cách tự kiểm

Chiều cao phải ứng với đáy đã chọn.

Ví dụ 4. Hình tròn

Cơ bản

Đề bài

Tròn bán kính $r$ m, lập $S$ và tính tại $r=2$ giữ $\pi$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S=\pi r^2$, $r>0$; tại $2$ có $S=4\pi$ m$^2$. Hệ số theo biến $r$ là $\pi$.

Cách tự kiểm

Không thay bán kính bằng đường kính.

Ví dụ 5. Diện tích phần còn lại

Nâng cao

Đề bài

Một vuông cạnh $3x$ bỏ đi vuông cạnh $x$ nằm hoàn toàn bên trong. Diện tích còn lại?

Lời giải và cách suy nghĩ

$A=(3x)^2-x^2=8x^2$, $x>0$. Không trừ cạnh rồi mới bình phương vì phần còn lại không là vuông cạnh $2x$.

Cách tự kiểm

Phân biệt hiệu diện tích và diện tích từ hiệu cạnh.

Ví dụ 6. Tăng cạnh theo phần trăm

Nâng cao

Đề bài

Cạnh vuông tăng $20\%$. Diện tích tăng bao nhiêu phần trăm?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh mới $1{,}2x$, diện tích mới $1{,}44x^2$, bằng $144\%$ diện tích cũ. Vì vậy tăng $44\%$.

Cách tự kiểm

Tăng $20\%$ chiều dài không tăng $20\%$ diện tích.

Ví dụ 7. Đổi đơn vị hệ số

Nâng cao

Đề bài

Vuông cạnh $x$ cm, viết diện tích bằng m$^2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh bằng $x/100$ m, nên $S=(x/100)^2=x^2/10000$ m$^2$. Hệ số phụ thuộc đơn vị.

Cách tự kiểm

$100$ ở độ dài thành $10000$ ở diện tích.

Ví dụ 8. Điều kiện tỉ lệ diện tích

Thử thách

Đề bài

Hai vuông có cạnh dương $u,v$ và diện tích thứ hai gấp $3$ lần thứ nhất. Tìm tỉ lệ $v/u$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$v^2=3u^2$. Vì $u,v>0$, chia $u^2$ rồi lấy căn dương được $v/u=\sqrt3$. Không phải $3$.

Cách tự kiểm

Loại dấu âm bằng miền độ dài, không bằng cảm giác.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Lấy tỉ lệ cạnh làm tỉ lệ diện tích.
• Nhầm đơn vị độ dài và diện tích.
• Dùng cạnh âm hoặc cộng/trừ cạnh thay diện tích.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Một hình vuông có cạnh $x$ m. Lập $S$ theo $x$, nêu miền $x$ và tính $S$ tại $x=3{,}5$.

   Gợi ý bài 1

   Miền cạnh dương, diện tích là bình phương cạnh.

2. Một hình tròn bán kính $r$ cm có $S=\pi r^2$. Đây có phải dạng $y=ax^2$ theo biến $r$ không? Nêu $a$ và miền.

   Gợi ý bài 2

   Hệ số theo biến bán kính là $\pi$.

3. Nếu cạnh hình vuông tăng gấp $3$, diện tích thay đổi thế nào? Giải thích bằng mô hình.

   Gợi ý bài 3

   Bình phương cả tỉ lệ $3$.

4. Hai khu vuông cạnh $x$ và $2x$ m có tổng diện tích $A$. Viết $A$ theo $x$ và tìm $A$ khi $x=4$.

   Gợi ý bài 4

   Cộng $x^2$ với $(2x)^2$, không cộng cạnh.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $S=x^2$, $x>0$. Tại $3{,}5$ m, $S=12{,}25$ m$^2$; không dùng đơn vị m cho diện tích.

2. Có, với biến độc lập $r$, hệ số $a=\pi>0$. Miền $r>0$ cho hình tròn không suy biến; $S$ tính bằng cm$^2$.

3. $S$ mới $=(3x)^2=9x^2=9S$ cũ, nên gấp $9$ lần; không phải gấp $3$.

4. $A=x^2+(2x)^2=5x^2$ với $x>0$. Tại $x=4$, $A=5\cdot16=80$ m$^2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Vuông cạnh $4{,}5$ cm có diện tích bao nhiêu?

   Gợi ý bài 5

   Bình phương cạnh.

6. Chữ nhật rộng $x$, dài $5x$ m. Lập diện tích.

   Gợi ý bài 6

   Nhân hai kích thước.

7. Tròn bán kính $3$ cm có diện tích chính xác?

   Gợi ý bài 7

   $S=\pi r^2$.

8. Cạnh vuông gấp $4$, diện tích gấp mấy?

   Gợi ý bài 8

   Bình phương hệ số $4$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $20{,}25$ cm$^2$.

6. $A=5x^2$ m$^2$, $x>0$.

7. $9\pi$ cm$^2$.

8. Gấp $16$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Vuông cạnh $x$ cm giảm cạnh một nửa. Diện tích mới so với cũ?

   Gợi ý bài 9

   Bình phương tỉ lệ $1/2$.

10. Tam giác đáy $4x$, cao $x$ m có diện tích gì?

    Gợi ý bài 10

    Nhân rồi chia $2$.

11. Vuông cạnh $2x$ và vuông cạnh $3x$ không chồng lấn có tổng diện tích bao nhiêu?

    Gợi ý bài 11

    Cộng hai diện tích.

12. Vuông cạnh $x$ m, viết diện tích theo cm$^2$.

    Gợi ý bài 12

    Cạnh là $100x$ cm.

13. Cạnh tăng $10\%$, diện tích tăng bao nhiêu?

    Gợi ý bài 13

    Tỉ lệ mới $1{,}1^2$.

14. Trong $A=6x^2$ với $x$ cm, tìm $A$ tại $x=1/2$ và nêu đơn vị.

    Gợi ý bài 14

    $(1/2)^2=1/4$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Diện tích còn $1/4$ diện tích cũ, tức giảm $75\%$.

10. $S=2x^2$ m$^2$, $x>0$.

11. $A=4x^2+9x^2=13x^2$, $x>0$; không phải $(5x)^2$.

12. $S=10000x^2$ cm$^2$.

13. Diện tích gấp $1{,}21$, nên tăng $21\%$.

14. $A=3/2$ cm$^2$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Diện tích vuông giảm $36\%$. Tỉ lệ cạnh mới so với cũ là bao nhiêu?

    Gợi ý bài 15

    Diện tích còn $64\%$.

16. Chứng minh hai vuông cạnh dương có diện tích bằng nhau thì cạnh bằng nhau; nếu bỏ điều kiện cạnh dương, phương trình đại số có thêm khả năng gì?

    Gợi ý bài 16

    Phân tích $u^2-v^2$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Tỉ lệ cạnh dương là $\sqrt{0{,}64}=0{,}8$, tức cạnh giảm $20\%$.

16. $u^2=v^2$ cho $(u-v)(u+v)=0$. Vì $u+v>0$, phải $u=v$. Với số thực tùy ý còn có $u=-v$; đó không tạo hai độ dài dương khác nhau.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.