Mô tả hai đường tròn không có điểm chung

Vị trí tương đối của hai đường tròn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-27-B3

Không có điểm chung có thể do hai đường tròn quá xa, hoặc do một đường nằm hẳn trong hình tròn kia. Phần mở rộng dùng bất đẳng thức để tính khoảng hở nhỏ nhất.

Sau bài này, em có thể:

• Không giao có hai cấu hình
• Phân loại bằng điều kiện chính xác, xét đủ ngưỡng và ngoại lệ.

Cần biết trước: Mô-đun 26; bất đẳng thức tam giác; trung trực đoạn thẳng; dựng tam giác theo ba cạnh; giải phương trình và bất đẳng thức đơn giản.

1. Kiến thức và phương pháp

Hai đường tròn không có điểm chung khi $d>R+r$ hoặc $0\le d<|R-r|$. Trường hợp đầu là ở ngoài nhau; trường hợp sau là nằm hẳn trong nhau, kể cả đồng tâm khác bán kính. Các ngưỡng bằng nhau thuộc tiếp xúc, nên không gộp vào miền không giao. Ở đây đường tròn là đường biên, còn hình tròn gồm cả miền trong.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Ở ngoài nhau

Khởi động

Đề bài

$R=7,r=2,d=11$. Có điểm chung không?

Lời giải và cách suy nghĩ

$d=11>9=R+r$, nên hai đường tròn ở ngoài nhau, không có điểm chung.

Cách tự kiểm

So với tổng để nhận ra tình huống quá xa.

Ví dụ 2. Nằm hẳn bên trong

Củng cố

Đề bài

$R=7,r=2,d=3$. Có điểm chung không?

Lời giải và cách suy nghĩ

$d=3<5=R-r$, nên đường tròn nhỏ nằm hẳn bên trong hình tròn lớn; hai đường tròn không có điểm chung.

Cách tự kiểm

Từ không có điểm chung không được tự suy ở ngoài nhau.

Ví dụ 3. Đồng tâm khác bán kính

Vận dụng

Đề bài

Hai đường tròn cùng tâm có bán kính 3 và 9. Chứng minh không giao bằng định nghĩa.

Lời giải và cách suy nghĩ

Một điểm chung sẽ cách cùng một tâm đồng thời 3 và 9, vô lý. Do đó không có điểm chung.

Cách tự kiểm

Không cần hình vẽ hoặc phép trừ gần đúng.

Ví dụ 4. Không thể có điểm chung ở ngoài ngưỡng

Giải thích

Đề bài

Chứng minh nếu $d>R+r$ thì không tồn tại điểm chung T.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu có T thì bất đẳng thức tam giác cho $d=OO^{\prime}\le OT+TO^{\prime}=R+r$, mâu thuẫn. Vậy không giao.

Cách tự kiểm

Dấu không nghiêm trong tam giác vẫn đủ tạo mâu thuẫn với giả thiết nghiêm.

Ví dụ 5. Không thể có điểm chung ở trong ngưỡng

Nâng cao

Đề bài

Giả sử $R>r$ và $d<R-r$. Vì sao không giao?

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu T là điểm chung, $R=OT\le OO^{\prime}+O^{\prime}T=d+r<R$, mâu thuẫn. Ngoài ra mọi điểm X của đường tròn nhỏ thỏa $OX\le d+r<R$, nên đều ở trong hình tròn lớn.

Cách tự kiểm

Phân biệt đường tròn là biên với hình tròn gồm cả miền trong.

Ví dụ 6. Tham số có hai miền

Phản biện

Đề bài

$R=6,r=2,d=x\ge0$. Tìm mọi x để không có điểm chung.

Lời giải và cách suy nghĩ

Không giao khi $0\le x<4$ hoặc $x>8$. Tại 4 và 8 tiếp xúc, nên phải loại hai đầu mút.

Cách tự kiểm

Có hai miền rời nhau; chỉ lấy $x>8$ sẽ thiếu.

Ví dụ 7. Khoảng hở nhỏ nhất ở ngoài

Nâng cao

Đề bài

Hai đường tròn có $R=5,r=2,d=10$. Tìm độ dài nhỏ nhất giữa một điểm trên mỗi đường tròn.

Lời giải và cách suy nghĩ

Với A trên đường tròn thứ nhất, B trên đường tròn thứ hai, $d\le OA+AB+BO^{\prime}=5+AB+2$, nên $AB\ge3$. Chọn A, B trên đoạn nối tâm ở hai phía đối diện nhau để khoảng hở đúng $10-5-2=3$.

Cách tự kiểm

Chặn được đạt trên đường nối tâm; không phải mọi cặp điểm đều cách 3.

Ví dụ 8. Khoảng hở nhỏ nhất khi chứa nhau

Thử thách

Đề bài

Đường tròn lớn bán kính 8, nhỏ bán kính 2, hai tâm cách 3. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đường tròn.

Lời giải và cách suy nghĩ

Với A trên đường tròn lớn, B trên đường tròn nhỏ, $8=OA\le OO^{\prime}+O^{\prime}B+BA=3+2+BA$, nên $BA\ge3$. Chọn B và A trên tia từ tâm lớn qua tâm nhỏ, ở phía gần biên lớn, thì đạt $8-3-2=3$.

Cách tự kiểm

Khoảng hở trong dùng bán kính lớn trừ khoảng cách tâm và bán kính nhỏ.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ so khoảng cách tâm với tổng mà bỏ hiệu hai bán kính.
• Dùng dấu bằng trong miền cắt hai điểm hoặc không giao.
• Gọi hai đường tròn đồng tâm cùng bán kính là tiếp xúc trong.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Hai đường tròn bán kính $5$ và $3$ cm, tâm cách $10$ cm. Phân loại và so sánh.

   Gợi ý bài 1

   So 10 với tổng 8.

2. Hai đường tròn bán kính $5$ và $3$ cm, tâm cách $1$ cm. Phân loại và so sánh.

   Gợi ý bài 2

   So 1 với hiệu 2.

3. Hai đường tròn đồng tâm bán kính $6$ và $2$ cm. Giải thích không có điểm chung bằng định nghĩa khoảng cách, không chỉ nhìn hình.

   Gợi ý bài 3

   Một điểm không thể có hai khoảng cách khác nhau tới cùng tâm.

4. Hai đường tròn không giao có nhất thiết ở ngoài nhau không? Cho một bộ $R,r,d$ nằm trong nhau và một bộ ở ngoài nhau.

   Gợi ý bài 4

   Tách trường hợp quá xa và nằm hẳn trong nhau.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $d=10>8=R+r$, nên ở ngoài nhau, không giao; hiệu hai bán kính là $2$ cm.

2. $d=1<2=|R-r|$, nên đường tròn nhỏ nằm hẳn trong hình tròn lớn và không có điểm chung.

3. Một điểm chung sẽ phải cách cùng một tâm vừa $6$ vừa $2$ cm, điều không thể. Đồng tâm khác bán kính không phải trùng nhau.

4. Không. Với $(R;r;d)=(5;2;1)$, có $1<3$ nên nằm hẳn trong nhau; với $(5;2;8)$, có $8>7$ nên ở ngoài nhau. Cả hai có $0$ điểm chung.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. $R=9,r=3,d=14$. Giải thích không giao.

   Gợi ý bài 5

   So với 12.

6. $R=9,r=3,d=4$. Giải thích không giao.

   Gợi ý bài 6

   So với 6.

7. $R=9,r=3,d=6$. Có thuộc trường hợp không giao không?

   Gợi ý bài 7

   Kiểm dấu bằng.

8. $R=9,r=3,d=12$. Có thuộc trường hợp không giao không?

   Gợi ý bài 8

   Kiểm tổng.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $14>12$ nên ở ngoài nhau,0 điểm chung.

6. $4<6$ nên đường tròn nhỏ nằm hẳn trong hình tròn lớn,0 điểm chung.

7. Không. Đây là tiếp xúc trong, đúng một điểm chung.

8. Không. Tiếp xúc ngoài, đúng một điểm chung.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. $R=10,r=4,d=x\ge0$ nguyên. Liệt kê các x để nhỏ nằm hẳn trong lớn.

   Gợi ý bài 9

   Lấy số nguyên dưới hiệu 6.

10. $R=5,r=2,d=2x+1$, $x\ge-1/2$. Tìm x để ở ngoài nhau.

    Gợi ý bài 10

    Giải khoảng cách lớn hơn tổng 7.

11. Cùng dữ kiện trên, tìm x để không có điểm chung.

    Gợi ý bài 11

    Thêm miền khoảng cách nhỏ hơn hiệu 3.

12. Hai đường tròn bán kính bằng nhau, tâm khác nhau, có thể một đường nằm hẳn trong hình tròn kia không?

    Gợi ý bài 12

    Điều kiện cần $d<|R-r|$.

13. $R=8,r=3,d=15$. Tìm khoảng hở nhỏ nhất giữa hai đường tròn.

    Gợi ý bài 13

    Ở ngoài nhau dùng tổng bán kính.

14. $R=10,r=2,d=5$. Tìm khoảng hở nhỏ nhất.

    Gợi ý bài 14

    Bên trong dùng $R-d-r$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $x\in\{0,1,2,3,4,5\}$. Giá trị 0 là đồng tâm khác bán kính, vẫn không giao.

10. $2x+1>7$, tức $x>3$. Tại 3 tiếp xúc ngoài nên loại.

11. $0\le2x+1<3$ hoặc $2x+1>7$, suy ra $-1/2\le x<1$ hoặc $x>3$.

12. Không, vì hiệu 0 trong khi $d>0$. Nếu không giao thì phải ở ngoài nhau với $d>2R$.

13. $15-8-3=4$; đạt ở hai điểm trên đoạn nối tâm hướng về nhau.

14. $10-5-2=3$; đạt trên tia từ tâm lớn qua tâm nhỏ, phía biên lớn gần nhất.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Cho $R>r>0$ cố định. Hai đường tròn không giao với khoảng hở nhỏ nhất $g>0$. Tìm các khoảng cách tâm có thể.

    Gợi ý bài 15

    Xét ngoài và trong riêng.

16. $R=7,r=2$ và khoảng hở nhỏ nhất 3. Tìm tất cả d.

    Gợi ý bài 16

    Dùng hai công thức ở hai cấu hình.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Ngoài: $d=R+r+g$. Trong: $d=R-r-g$ chỉ hợp lệ khi $0<g\le R-r$, để $d\ge0$. Không có khả năng trong nếu $g>R-r$.

16. Ngoài: $d=7+2+3=12$. Trong: $d=7-2-3=2$. Cả hai hợp lệ, nên không thể suy duy nhất d chỉ từ khoảng hở.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.