Nhân bất đẳng thức với số dương

Thứ tự số thực và tính chất bất đẳng thức · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-11-B4

Nhân hoặc chia với một số dương giữ thứ tự. Trọng tâm là biết dấu hệ số, giữ điểm biên và hiểu vì sao nhân với không không thể suy ngược.

Sau bài này, em có thể:

• Nhân và chia dương với chiều đúng.
• Chặn biểu thức qua nhiều bước và giữ điểm biên.
• Xét điều kiện của hệ số và chứng minh phát biểu luôn đúng.

Cần biết trước: Mô-đun 01; số thực và quy tắc dấu.

1. Kiến thức và phương pháp

Nếu $c>0$ thì $a<b$ tương đương $ac<bc$; các dấu không nghiêm cũng giữ chiều. Chia cho số dương là nhân với nghịch đảo dương. Với $c=0$, hai tích bằng nhau, nên mất thông tin về thứ tự ban đầu. Với hệ số là biểu thức, chỉ dùng quy tắc này sau khi biết biểu thức dương.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Nhân giữ chiều

Cơ bản

Đề bài

Từ $-3<2$, nhân hai vế với $5$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$-15<10$ vì $5>0$. Không cần hai số ban đầu dương; chỉ cần số nhân chung dương.

Cách tự kiểm

Phân biệt dấu của số nhân với dấu của hai vế.

Ví dụ 2. Kết hợp nhân và cộng

Cơ bản

Đề bài

Biết $a\le4$. Chặn $3a-2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân $3>0$: $3a\le12$, rồi trừ $2$: $3a-2\le10$.

Cách tự kiểm

Điểm $a=4$ cho dấu bằng.

Ví dụ 3. Chia dương

Cơ bản

Đề bài

Viết điều kiện tương đương với $x/5>-2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân với $5>0$ được $x>-10$. Chia lại với $5$ khôi phục, nên tương đương.

Cách tự kiểm

Không đổi chiều khi nhân số dương.

Ví dụ 4. Nhân với 0 làm mất thông tin

Cơ bản

Đề bài

Vì sao từ $0a\le0b$ không thể suy $a\le b$?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tiền đề chỉ là $0\le0$, đúng với mọi $a,b$. Chọn $a=7,b=1$, tiền đề đúng nhưng kết luận sai. Không chia ngược cho $0$.

Cách tự kiểm

Phản ví dụ nêu đúng chiều không suy được.

Ví dụ 5. Hệ số có điều kiện

Nâng cao

Đề bài

Biết $a<b$ và $t>2$. So $(t-2)a,(t-2)b$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vì $t-2>0$, nhân giữ chiều: $(t-2)a<(t-2)b$. Nếu $t=2$, hai tích bằng nhau, không nghiêm.

Cách tự kiểm

Xác định dấu của cả hệ số.

Ví dụ 6. Chặn tích các số không âm

Nâng cao

Đề bài

Biết $0\le a\le2$ và $0\le b\le3$. Chứng minh $ab\le6$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Với $b\ge0$, có $ab\le2b$ (nếu $b=0$ thì bằng; nếu dương dùng quy tắc). Với $2>0$ và $b\le3$, $2b\le6$. Nối lại được $ab\le6$.

Cách tự kiểm

Không được nhân hai chặn tùy ý khi số có thể âm.

Ví dụ 7. Từ bình phương của số dương

Nâng cao

Đề bài

Với $0<a<b$, chứng minh $a^2<ab<b^2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân $a<b$ với $a>0$ cho $a^2<ab$; nhân cùng bất đẳng thức với $b>0$ cho $ab<b^2$.

Cách tự kiểm

Cần hai bước nhân chung riêng, không gọi trực tiếp là “bình phương hai vế” thiếu điều kiện.

Ví dụ 8. Điều kiện hệ số để luôn giữ nghiêm

Thử thách

Đề bài

Tìm mọi $c$ sao cho từ mọi $a<b$ luôn suy $ca<cb$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu $c>0$, quy tắc bảo đảm. Ngược lại, lấy $a=0,b=1$, yêu cầu cho $0<c$. Vậy điều kiện cần và đủ là $c>0$; $c=0$ chỉ cho bằng.

Cách tự kiểm

Chọn cặp đơn giản để kiểm điều kiện cần.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Cho rằng hai vế phải dương thì mới nhân giữ chiều.
• Nhân với biểu thức chưa biết dấu.
• Suy ngược sau nhân với $0$ hoặc giữ dấu nghiêm tại hệ số bằng không.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Từ $1<\sqrt2$, nhân hai vế với $3$.

   Gợi ý bài 1

   $3>0$ nên giữ chiều.

2. Biết $a\le5$. Chặn $2a+1$.

   Gợi ý bài 2

   Nhân $2$ rồi cộng $1$.

3. Biết $x/4>-3$. Nhân $4$ để nêu điều kiện tương đương.

   Gợi ý bài 3

   $4>0$.

4. Vì sao từ $0a\le0b$ không thể suy $a\le b$? Cho phản ví dụ.

   Gợi ý bài 4

   Tiền đề đúng với mọi $a,b$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $3<3\sqrt2$.

2. $2a\le10$ nên $2a+1\le11$.

3. $x>-12$. Chia lại cho $4$ khôi phục điều kiện gốc.

4. Đó chỉ là $0\le0$. Chọn $a=5,b=1$ thì tiền đề đúng nhưng $a\le b$ sai; không thể chia cho $0$ để suy ngược.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Từ $-2<4$, nhân với $3$.

   Gợi ý bài 5

   Giữ chiều vì số nhân dương.

6. Biết $x\ge2$. Chặn $5x-1$.

   Gợi ý bài 6

   Nhân $5$ rồi trừ $1$.

7. Viết điều kiện tương đương $a/3\le4$.

   Gợi ý bài 7

   Nhân với $3>0$.

8. Biết $x<0$. So $x/2$ với $0$.

   Gợi ý bài 8

   Chia cho số dương.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $-6<12$.

6. $5x\ge10$ nên $5x-1\ge9$.

7. $a\le12$.

8. $x/2<0$; dấu âm của $x$ không làm thay quy tắc chia dương.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Biết $a<b$ và $m>1$. So $(m-1)a,(m-1)b$. Điều gì tại $m=1$?

   Gợi ý bài 9

   Kiểm hệ số $m-1$.

10. Biết $0\le a\le4$. Chứng minh $a^2\le16$ và nêu lúc bằng.

    Gợi ý bài 10

    Có thể nhân với $a\ge0$ rồi dùng $4a\le16$.

11. Từ $a\le b$ có thể nhân cùng $x^2+1$ mà không xét dấu $x$ không?

    Gợi ý bài 11

    $x^2\ge0$.

12. Từ $a<b$, nhân cùng $x^2$ có luôn cho dấu nghiêm không?

    Gợi ý bài 12

    Xét $x=0$ riêng.

13. Biết $0<a<b$ và $c>0$. Chứng minh $ca<cb$ nhưng không nhất thiết $a<cb$.

    Gợi ý bài 13

    Quy tắc nhân cả hai vế; cho phản ví dụ về nhân một vế.

14. Biết $2\le x\le5$. Chặn $\dfrac{3x+1}{2}$ và kiểm hai đầu.

    Gợi ý bài 14

    Nhân $3$, cộng $1$, chia $2$, đều giữ chiều.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Với $m>1$, hệ số dương nên tích trái nhỏ hơn tích phải. Tại $m=1$, hai tích cùng $0$, không còn dấu nghiêm.

10. $a^2\le4a\le16$. Nếu $a=4$ thì bằng; nếu $0\le a<4$, bình phương nhỏ hơn $16$, nên dấu bằng chỉ tại $a=4$.

11. Có, vì $x^2+1>0$ với mọi $x$. Kết quả $a(x^2+1)\le b(x^2+1)$ tương đương với giả thiết, do chia ngược được.

12. Không. Nếu $x\ne0$, $x^2>0$ nên $ax^2<bx^2$. Nếu $x=0$, hai vế bằng $0$; chỉ luôn kết luận $ax^2\le bx^2$.

13. $ca<cb$ theo nhân dương. Với $a=1,b=2,c=1/4$, ta có $cb=1/2<a$, nên $a<cb$ sai.

14. $7/2\le(3x+1)/2\le8$. Hai đầu đạt tại $x=2$ và $x=5$, nên không được bỏ dấu bằng.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tìm mọi $c$ để từ mọi $a\le b$ đều có $ca\le cb$. So với trường hợp dấu nghiêm.

    Gợi ý bài 15

    Thử $a=0,b=1$ cho điều kiện cần, xét $c=0$.

16. Với $0<a<b$, chứng minh $\dfrac1b<\dfrac1a$ bằng phép nhân dương, rồi giải thích vì sao không được nhân từng vế bởi một số khác nhau mà vẫn gọi là cùng quy tắc.

    Gợi ý bài 16

    Nhân điều cần chứng minh với cùng số $ab>0$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Cần $c\ge0$. Nếu $c>0$, quy tắc đúng; nếu $c=0$, hai tích bằng nhau cũng thỏa. Vậy điều kiện là $c\ge0$, khác yêu cầu giữ dấu nghiêm vốn cần $c>0$.

16. $\dfrac1b<\dfrac1a$ tương đương $a<b$ khi nhân cả hai vế với $ab>0$, nên đúng. Quy tắc dùng cùng một số; nhân vế trái với $a$ và vế phải với $b$ là thao tác khác, cần một lập luận riêng chứ không được viện dẫn giữ chiều tự động.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.