Phần chung của mặt phẳng và hình cầu

Hình cầu, mặt cầu và thiết diện · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-42-B3

Bài này tập trung vào phần chung của mặt phẳng và hình cầu. Em kiểm điều kiện và đối tượng trước khi tính; phần nâng cao yêu cầu giải thích, suy ngược hoặc xét những dữ kiện chưa đủ.

Sau bài này, em có thể:

• Phần chung của mặt phẳng và hình cầu.
• Chọn đúng điều kiện, đơn vị và cách kiểm kết quả.
• Giải bài suy ngược hoặc phân biệt kết luận duy nhất với dữ kiện chưa đủ.

Cần biết trước: Mô-đun 40; đường tròn và khoảng cách trong mô hình không gian. Phần nâng cao dùng Pythagore, phương trình và kiểm các nghiệm nguyên khi đề yêu cầu.

1. Kiến thức và phương pháp

Gọi $d\ge0$ là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng. Với hình cầu: $d<R$ cho đĩa, $d=R$ cho một điểm, $d>R$ cho giao rỗng. Với mặt cầu, khi $d<R$ giao chỉ là đường tròn. Bán kính thiết diện thỏa

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đĩa hay đường tròn

Cơ bản

Đề bài

Khối cầu $R=13$ cm, mặt phẳng cách tâm $5$ cm. Giao có dạng gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

Giao là đĩa bán kính $\rho=\sqrt{169-25}=12$ cm. Nếu xét mặt cầu thì chỉ là đường tròn biên.

Cách tự kiểm

Phân biệt khối với mặt.

Ví dụ 2. Tiếp xúc

Cơ bản

Đề bài

Mặt cầu $R=8$ cm, mặt phẳng cách tâm $8$ cm. Giao là gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

Một điểm; không phải đường tròn có bán kính dương. Trường hợp này là biên $d=R$.

Cách tự kiểm

So khoảng cách với bán kính.

Ví dụ 3. Không giao

Cơ bản

Đề bài

Khối cầu $R=6$ cm, mặt phẳng cách tâm $7$ cm. Có giao không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không vì $d>R$. Công thức căn cho số âm cũng báo không có thiết diện thực.

Cách tự kiểm

Kiểm vị trí trước khi lấy căn.

Ví dụ 4. Qua tâm

Vận dụng

Đề bài

Mặt phẳng qua tâm cầu $R=7$ cm. Phân biệt giao với mặt và khối.

Lời giải và cách suy nghĩ

Với mặt cầu là đường tròn bán kính $7$; với khối cầu là đĩa cùng bán kính.

Cách tự kiểm

Không gọi đường tròn là cả đĩa.

Ví dụ 5. Diện tích thiết diện

Vận dụng

Đề bài

$R=10,d=6$ cm. Tính diện tích đĩa giao.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\rho^2=100-36=64$, nên diện tích $64\pi$ cm$^2$. Không cần làm tròn $\rho=8$ cm.

Cách tự kiểm

Dùng diện tích hình tròn của thiết diện.

Ví dụ 6. Suy ngược khoảng cách

Nâng cao

Đề bài

$R=17$ cm, thiết diện có bán kính $15$ cm. Tìm khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng.

Lời giải và cách suy nghĩ

$d=\sqrt{289-225}=8$ cm. Khoảng cách không âm; không nhận $-8$.

Cách tự kiểm

Dùng tam giác vuông tạo bởi tâm và hình chiếu.

Ví dụ 7. Hai vị trí đối xứng

Nâng cao

Đề bài

$R=5$ cm, đĩa giao bán kính $3$ cm. Mặt phẳng có duy nhất vị trí không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Khoảng cách tới tâm là $4$ cm. Với một hướng pháp tuyến cố định, có hai mặt phẳng ở hai phía tâm, cùng cách $4$ cm. Không duy nhất.

Cách tự kiểm

Khoảng cách không cho biết phía.

Ví dụ 8. Khôi phục hai khoảng cách

Thử thách

Đề bài

Hai thiết diện có bán kính $3$ và $4$ cm. Khoảng cách tới tâm lần lượt $d_1,d_2$ và $d_1-d_2=1$ cm. Tìm $R$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$d_1^2+9=d_2^2+16$ nên $(d_1-d_2)(d_1+d_2)=7$. Do đó $d_1=4,d_2=3$ cm, $R=5$ cm. Nghiệm không âm duy nhất.

Cách tự kiểm

Dùng hiệu hai bình phương.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
• Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
• Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Khối cầu bán kính $5$ cm bị cắt bởi mặt phẳng cách tâm $3$ cm. Giao là hình gì, bán kính bao nhiêu?

   Gợi ý bài 1

   So khoảng cách mặt phẳng với bán kính rồi dùng Pythagore.

2. Mặt cầu bán kính $6$ cm, mặt phẳng cách tâm $6$ cm. Phần chung là gì?

   Gợi ý bài 2

   Khi khoảng cách bằng bán kính, mặt phẳng tiếp xúc.

3. Khối cầu bán kính $4$ cm, mặt phẳng cách tâm $5$ cm. Có phần chung không?

   Gợi ý bài 3

   So khoảng cách với bán kính trước khi lấy căn.

4. Mặt phẳng qua tâm cầu bán kính $R$. Phân biệt phần chung với hình cầu và mặt cầu.

   Gợi ý bài 4

   Hình cầu gồm bên trong, mặt cầu chỉ có biên.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Giao là hình tròn (đĩa) bán kính $\rho=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm.

2. Một điểm tiếp xúc vì khoảng cách bằng bán kính.

3. Không vì khoảng cách $5>4$.

4. Với hình cầu: hình tròn (đĩa) bán kính $R$. Với mặt cầu: đường tròn lớn bán kính $R$, chỉ gồm biên đĩa.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Khối cầu $R=5$ cm, mặt phẳng cách tâm $4$ cm. Tìm dạng giao và bán kính.

   Gợi ý bài 5

   Kiểm giao tồn tại trước.

6. Khối cầu $R=10$ cm, mặt phẳng cách tâm $8$ cm. Tìm dạng giao và bán kính.

   Gợi ý bài 6

   Kiểm giao tồn tại trước.

7. Khối cầu $R=13$ cm, mặt phẳng cách tâm $12$ cm. Tìm dạng giao và bán kính.

   Gợi ý bài 7

   Kiểm giao tồn tại trước.

8. Khối cầu $R=25$ cm, mặt phẳng cách tâm $7$ cm. Tìm dạng giao và bán kính.

   Gợi ý bài 8

   Kiểm giao tồn tại trước.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Vì $4<5$, giao là đĩa bán kính $\sqrt{25-16}=3$ cm.

6. Vì $8<10$, giao là đĩa bán kính $\sqrt{100-64}=6$ cm.

7. Vì $12<13$, giao là đĩa bán kính $\sqrt{169-144}=5$ cm.

8. Vì $7<25$, giao là đĩa bán kính $\sqrt{625-49}=24$ cm.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Chứng minh $\rho\le R$; khi nào bằng nhau?

   Gợi ý bài 9

   Khoảng cách có bình phương không âm.

10. Hai mặt phẳng cách tâm $d_1<d_2<R$. So hai bán kính giao.

    Gợi ý bài 10

    So bình phương.

11. Mặt cầu $R=9$ cm được báo có đường tròn giao bán kính $10$ cm. Có thể không?

    Gợi ý bài 11

    Thiết diện qua tâm là lớn nhất.

12. $R=13$ cm, đĩa giao diện tích $144\pi$ cm$^2$. Tìm $d$.

    Gợi ý bài 12

    Đọc diện tích để tìm bình phương bán kính.

13. Đĩa giao có diện tích $9\pi$ cm$^2$. Có xác định bán kính cầu không?

    Gợi ý bài 13

    Tìm hai tổng bình phương bằng quan hệ cần dùng.

14. $R=10$ cm và $6\le d\le8$ cm. Chặn bán kính giao.

    Gợi ý bài 14

    Tính ở hai đầu rồi kiểm tính giảm.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $\rho^2=R^2-d^2\le R^2$. Vì hai bán kính không âm, $\rho\le R$; dấu bằng khi $d=0$, mặt phẳng qua tâm.

10. $R^2-d_1^2>R^2-d_2^2$, nên $\rho_1>\rho_2$. Mặt phẳng xa tâm cho thiết diện nhỏ hơn.

11. Không vì mọi bán kính giao không vượt $R$. Đại số cho $d^2=81-100<0$.

12. $\rho^2=144$ nên $d^2=169-144=25$; $d=5$ cm. Không nhận căn âm.

13. Không. $(R,d)=(3,0)$ và $(5,4)$ đều cho $\rho=3$ cm. Cần thêm dữ kiện.

14. $36\le\rho^2\le64$ nên $6\le\rho\le8$ cm. Khi $d$ tăng thì $\rho$ giảm; không đảo nhầm đầu khoảng.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Cầu $R=4$ cm, mặt phẳng cách tâm $d=t+1$ cm. Phân loại mọi $t$ hợp lệ.

    Gợi ý bài 15

    Kiểm cả điều kiện $d\ge0$.

16. Hai thiết diện của cùng cầu có cùng bán kính dương nhưng khoảng cách tới tâm được báo khác nhau. Có thể chính xác không?

    Gợi ý bài 16

    Phân biệt vị trí với khoảng cách.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Khoảng cách đòi $t\ge-1$. Nếu $-1\le t<3$ thì giao đĩa; $t=3$ giao một điểm; $t>3$ không giao. $t<-1$ không là dữ kiện khoảng cách.

16. Không: $R^2-d_1^2=R^2-d_2^2$ nên $d_1^2=d_2^2$; các khoảng cách không âm cho $d_1=d_2$. Vị trí hai phía có thể khác nhưng khoảng cách phải bằng nhau.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.